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专题六 排列、组合、概率与统计


专题六

排列、组合、二项式定理、概率与统计

【考点聚焦】 考点 1:排列、组合的概念,排列数、组合数的计算公式和组合数的性质; 考点 2:二项式定理和二项展开式的性质及利用它们计算和证明一些简单问题; 考点 3:利用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率,利用互拆事件的加法公 式一些事件的概率,利用独立事件的概率乘法公式计算一些事

件的概率,会计算在 n 次独 立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 【自我检测】 1、 ___________________________叫做从 n 个不同元素中
m 取出个元素的一个排列,排列数 An =_____________________________=_________.

2、 ______________________叫做从 n 个不同元素中取出 m 元素
m 的一个排列,组合数 C n =______________________=_______________. m m m 3、 组合数的性质: (1) C n =_______, (2) C n + Cn ?1 =_________.

4、 二项式定理的内容是__________________________.其 通项为 Tr ?1 =_______________. 5、 二项式系数的性质是(1)_________________(2)______ ______________________ (3) _____________. 6、 在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生___________________ ________叫做事件 A 的概率,记作____. 7、 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的______,那么每 一个基本事件的概率都是___,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P(A)=________. 8、 ____________叫做互斥事件,______________对立事件. 设 A,B 是互斥事件,P(A+B)=_____.P( A )=_____. 9、 ______________________,这样的两个事件叫做相互独立事 件.设 A、B 是相互独立事件,则 P(A·B)=________. 10、若 n 次独立重复试验中,每次试验结果的概率_____________则称这 n 次试验是独立的.在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=_________. 【重点 ? 难点 ? 热点】 问题 1:排列组合应用题 解决此类问题的方法是:直接法,先考虑特殊元素(或特殊位置) ,再考虑其他元素 (或位置) ;间接法,所有排法中减去不合要求的排法数;对于复杂的应用题,要合理设 计解题步骤,一般是先分组,后分步,要求不重不漏,符合条件.
1

例 1:在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点,在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外),连同 O 点 共 m+n+1 个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有( )

A.C1 ?1C2 ? C1 ?1C2 m n n m C.C1 C2 ? C1 C2 ? C1 C1 m n n m m n

B 1 C2 ? C1 C2 .Cm n n m
1 D.Cm C2?1 ? C2 ?1C1 n m n
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思路分析:法一分成三类方法;法二,间接法,去掉三点共线的组合 解法一 第一类办法 从 OA 边上(不包括 O)中任取一点与从 OB 边上(不包括 O)中任
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取两点,可构造一个三角形,有 C 1 C 2 个; m n 第二类办法
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从 OA 边上(不包括 O)中任取两点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点, 与
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O 点可构造一个三角形, C 2 C 1 个; 有 m n 第三类办法

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从 OA 边上(不包括 O)任取一点与 OB
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边上(不包括 O)中任取一点,与 O 点可构造一个三角形,有 C 1 C 1 个 m n 由加法原理共有 N=C 1 C 2 +C 2 C 1 +C 1 C 1 个三角形 m n m n m n 解法二
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从 m+n+1 中任取三点共有 C 3 ?n ?1 个, 其中三点均在射线 OA(包括 O 点), C 3 ?1 有 m m
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个,三点均在射线 OB(包括 O 点),有 C 3 ?1 个 n
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所以,个数为 N=C 3 ?n ?1 -C 3 ?1 -C 3 ?1 个 n m m

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答案 C 点评:本题考查组合的概念及加法原理,解题中常用分类讨论思想及间接法 例 2:四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方案的总 数是_________ 思路分析 解法一,采用处理分堆问题的方法 解法二,分两次安排优等生,但是进 入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的
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解: (法一)分两步

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先将四名优等生分成 2,1,1 三组,共有 C 2 种;而后,对三组 4
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学生安排三所学校,即进行全排列,有 A33 种 (法二)分两步
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依乘法原理,共有 N=C 2 A 3 =36(种) 4 3

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从每个学校至少有一名学生,每人进一所学校,共有 A 3 种;而后, 4
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再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校, 3 种 有 的两名学生是不考虑进入的前后顺序的
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值得注意的是

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同在一所学校
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因此,共有 N=

1 3 A 4 ·3=36(种) 2

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点评:本题主要考查排列、组合、乘法原理概念,以及灵活应用上述概念处理数学问 题的能力 根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生,常采用先安排每学校一人,而后
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将剩的一人送到一所学校,故有 3A 3 种 4

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忽略此种办法是
2

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将同在一所学校的两名学生

按进入学校的前后顺序,分为两种方案,而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无 顺序要求的 演变 1:四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放 在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现 打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法 种数为 ( ) A.96 B.48 C.24 D.0 点拨与提示:本题考查了排列组合综合运用问题,可以画出四棱锥标出 8 个数字帮助 直观分析,注意分类要全面准确,抓住问题实质. 演变 2:4 位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲.乙两道题中 任选一题作答,选甲题答对得 100 分,答错得-100 分;选乙题答对得 90 分,答错得-90 分.若 4 位同学的总分为 0,则这 4 位同学不同得分情况的种数是( ) A.48 B.36 C.24 D.18 点拨与提示:注意对甲进行分类讨论. 问题 2:求展开式中的系数
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r 二项式系数是指二项展开式中出现的组合数 Cn (r ? 0,1,2,?) ;系数是指每一项前的

系数,注意它们的区别.要正确运用通项公式和基本定理. 例 3: (1 ? 2 x) n 展开式中第 6 项与第 7 项的系数的绝对值相等,求展开式中系数最大的项 和系数绝对值最大的项. 思路分析:先求出 n 的值,再由二项式系数的最大项是“最中间”的项,求出二项式系数 的最大项.利用不等式组求系数绝对值最大项.
5 6 5 6 解: T5?1 ? Cn (?2x) 5 , T6?1 ? Cn (?2x) 6 ,依题意有 Cn 25 ? Cn 26 ,∴n=8.则 (1 ? 2 x) 展
n

4 开式中二项式系数最大的项为 T5 ? C8 (?2x) 4 ? 1120x .

设第 r+1 项系数的绝对值最大,则有

?C8r 2 r ? C8r ?1 2 r ?1 ? 5 ? r ? 6, 又? r ? Z ,? r ? 5或r ? 6 . ? r r C8 2 ? C8r ?1 2 r ?1 ?
则系数绝对值最大项为 T6 ? 1792 , T7 ? 1792 . x x
5 6

点评:求展开式中某一项或某一项的系数问题是高考题型之一,复习时要给予重视. 演变 3:如果 (3 x ? A.7

1
3

x

2

) n 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中
C.21 D. ?21

1 的系数是 x3

B. ?7

点拨与提示:本题考查二项展开式的性质.
3

演变 4:已知 ( x cos? ? 1) 5 的展开式中 x 2 的系数与 ( x ?

则 cos ? ? . 2 3 点拨与提示:分别求出 x 和 x 的系数. 问题 3:求复合事件的概率 对较复杂事件的概率通常是将所求事件化面彼此互斥的事件的和或求其对立事件的概率. 例 4: 乙两人各射击一次, 甲、 击中目标的概率分别是

5 4 ) 的展开式中 x 3 的系数相等, 4

2 3 和 . 假设两人射击是否击中目标, 3 4

相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (Ⅲ)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概 ... 率是多少? 思路分析:本题是一道概率综合运用问题,第一问中求“至少有一次末击中问题”可 从反面求其概率问题;第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率,乙恰有 3 次末击中 目标的概率,再利用独立事件发生的概率公式求解.第三问设出相关事件,利用独立事件发 生的概率公式求解,并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式. 解:(1)记“甲连续射击 4 次至少有一次末中目标”为事件 A1,由题意知,射击 4 次, 相当于作 4 次独立重复试验,故 P( A1 ) ? 1 ? P( A1 ) = 1 ? ( ) ?
4

2 3

65 . 81

答:甲连续射击 4 次至少有一次末中目标的概率为:

65 . 81

(2)记“甲射击 4 次,恰有 2 次射中目标”为事件 A2, “乙射击 4 次,恰有 3 次射中 目标”为事件 B2,则

8 3 3 3 1 27 3 , P( B2 ) ? C 4 ? ( ) ? (1 ? ) ? 27 4 4 64 8 27 1 ? ? . 由于甲乙射击相互独立,故 P( A2 B2 ) ? P( A2 ) P( B2 ) ? 27 64 8
P ( A2 ) ? C 4 ? ( ) ? (1 ? ) ?
2 2 2

2 3

2 3

答:两人各射击 4 次,甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为 . (3)记“乙恰好射击 5 次后被中止射击”为事件 A3“乙第 i 次射击末中”为 事件 Di(I=1,2,3,4,5),则 A3= D5 ? D4 ? D3 ? D2 D1 ,且 P ( Di ) ?

1 8

1 4

由于各事件相互独立,故 P( A3 ) ? P(D5 ) ? P(D4 ) ? P(D3 ) ? P(D2 D1 )

1 1 3 1 1 45 ? ? ? (1 ? ? ) ? . 4 4 4 4 4 1024
答:乙恰好射击 5 次后被中止射击的概率为

45 . 1024
4

点评:本题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件发生的概率的计算方法,考查运用 概率知识解决实际问题的能力. 演变 5:甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

1 2 与 . 2 5

(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率; ()甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率. 点拨与提示:对于(Ⅰ)分甲中乙未中和乙中甲未中两类;对于(Ⅱ)可考虑其对立事件. 问题四:求离散型随机变量的分布列、期望和方差 求分布列,首先要确定随机变量的取值,其次求其取某个值的概率,在这里,一般都 要通过排列组合的知识来计算其取值的概率.期望和方差是离散型随机变量两个重要特征, 求期望和方差的步骤是: (1)写出随机变量的分布列; (2)正确应用期望和方差的公式计 算(同时还应掌握如二项分布的期望和方差计算的结论等) 例 5:在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元的 奖品;有二等奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖,某顾客从此 10 张 券中任抽 2 张,求: (Ⅰ)该顾客中奖的概率; (Ⅱ)该顾客获得的奖品总价值 ? (元)的概率分布列和期望 E? . 思路分析:随机取出 2 张奖券奖品总价值的可能情况有:0,10,20,50,60,求出 ? 取 每一个值时的概率,列出分布列,根据离散型随机变量的期望与方差的概念、公式及性质 解答. 解: (法一) (Ⅰ) P ? I ?
2 C6 2 15 2 ? 1? ? ,即该顾客中奖的概率为 . 2 3 45 3 C10

(Ⅱ) ? 的所有可能值为:0,10,20,50,60(元).

且P(? ? 0) ? P(? ? 20) ?

C 62 1 C 1C 1 2 ? , P(? ? 10) ? 3 2 6 ? , 2 5 C10 3 C10

C32 C 1C 1 1 2 ? , P(? ? 50) ? 1 2 6 ? , 2 15 C10 15 C10

1 1 C1 C3 1 P(? ? 60) ? ? . 2 15 C10

故 ? 有分布列:

?
P

0

10

20

50

60

1 3

2 5
5

1 15

2 15

1 15

从而期望 E? ? 0 ? 解法二: (Ⅰ) P ?

1 2 1 2 1 ? 10 ? ? 20 ? ? 50 ? ? 60 ? ? 16. 3 5 15 15 15

1 1 2 (C4 C6 ? C4 ) 30 2 ? ? , 2 45 3 C10

(Ⅱ) ? 的分布列求法同解法一 由于 10 张券总价值为 80 元,即每张的平均奖品价值为 8 元,从而抽 2 张的平均奖品 价值 E? =2×8=16(元). 点评:在计算离散型随机变量的期望与方差时,首先要搞清其分布特征和分布列,然后要 准确运用公式,特别是充分利用性质解题,能避免繁琐的运算过程,提高运算速度和准确 度. 演变 6:袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 , 现有甲、乙两 人从袋中轮流摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取??取后不放回,直到两人中有一 人取到白球时即终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用 ? 表示取球终止所需 要的取球次数.(I)求袋中所有的白球的个数; (II)求随机变量 ? 的概率分布; (III) 求甲取到白球的概率. 点拨与提示:对于(II) ? 的可能取值为 1,2,3,4,5,分别求出它们的概率,得到分布列. 专题小结 1、解决排列组合应用问题的方法是:直接法,先考虑特殊元素(或特殊位置) ,再考 虑其他元素(或位置) ;间接法,所有排法中减去不合要求的排法数;对于复杂的应用题, 要合理设计解题步骤,一般是先分组,后分步,要求不重不漏,符合条件.
r 2、二项式系数是指二项展开式中出现的组合数 Cn (r ? 0,1,2,?) ;系数是指每一项前

1 7

的系数,注意它们的区别.要正确运用通项公式和基本定理 3、对较复杂事件的概率通常是将所求事件化面彼此互斥的事件的和或求其对立事件 的概率. 4、求分布列,首先要确定随机变量的取值,其次求其取某个值的概率,在这里,一 般都要通过排列组合的知识来计算其取值的概率.期望和方差是离散型随机变量两个重要 特征,求期望和方差的步骤是: (1)写出随机变量的分布列; (2)正确应用期望和方差的 公式计算(同时还应掌握如二项分布的期望和方差计算的结论等) 【临阵磨枪】
6

一.选择题 1. 个人并排站成一排, 站在 A 的右边, 站在 B 的右边, 6 B C 则不同的排法总数为 ( A
3 4 A3 A4



B

4 A4

C

6 3 A6 ? A3

D

4 3 A4 A5

2.某人射击 8 次,命中 4 次,并且恰好有 3 次命中排在一起,则不同的结果有( ) A 20 种 B 240 种 C 480 种 D 720 种 3.两人掷一枚硬币,掷出正面者为胜,但这枚硬币不均匀,以致出现正面的概率 P1 与出 现反面的概率 P2 不相等.已知出现正面与出现反面是对立事件.设两人各掷一次成平局的概 率为 P,则 P 与 0.5 的大小关系为( ) A P<0.5 B P>0.5 C P=0.5 D 不确定 4.三边长均为整数,且最长边长为 11 的三角形的个数为( ) A 25 B 26 C 36 D 37 5.某体育彩票规定:从 01 到 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元.某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号,从 11 至 20 中选 2 个连续的号,从 21 至 30 中选 1 个号,从 31 至 36 中选 1 个号,组成一注,则这人把这种特征的号买全,至少要花( ) A 3360 元 B 6720 元 C 4320 元 D 8640 元 8 5 6.在(x?1)(x+1) 的展开式中 x 的系数是( ) A ?14 B 14 C ?28 D28 7.若 (1 ? 2x)100 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? ? ? a100 ( x ? 1)100 , 则 a1 ? a2 ? ? ? a100 =( A )

5100 ? 3100

B

5100

C

3100

D

3100 ? 1

8.若二项式 ( x x ? A

1 2

1 6 1 1 1 ) 展开式中的第 5 项是 5,则 lim( ? 3 ? ? ? 2 n ?1 ) 等于 n ?? x x x x 3 9 B C 1 D 8 8


9.将 1,2,?,9 这 9 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为(

1 1 1 1 A. B. C. D. 70 336 56 420
10.为了解某校高三学生的视力情况,随机 频率 地抽查了该校 100 名高三学生的视力情 组距 况,得到频率分布直方图,如右,由于 不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的 频数成等比数列,后 6 组的频数成等差 数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 0.3 5.0 之间的学生数为 b, a, b 的值分别 0.1 则 4.3 4.4 为( ) A.0,27,78 B.0,27,83 C.2.7,78
7

视力
4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2

D.2.7,83

二.填充题 11 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示) 12.左口袋里装有 3 个红球,2 个白球,右口袋里装有 1 个红球.若从左口袋里取出 1 个球 装进右口袋里,掺混好后,再从右口袋里取出 1 个球,这个 球是红球的概率为__ 13.如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给它们着色,要求 相邻区域不得使用同一种颜色.若有 4 种颜色可供选择,则不同的着 色方法共有___(用数字作答) 14.某学校共有教师 490 人,其中不到 40 岁的有 350 人,40 岁及以上的有 140 人.为了了解普通话在该校中的推广普及情况,用分层抽样的方法,从全 体教师中抽取一个容量为 70 人的样本进行普通话水平测试,其中在不到 40 岁的教师中应 抽取的人数为_____. 三、解答题 15.假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为 1-P,且各引擎是否故障是相互独立,如 有至少 50%的引擎能正常运行,飞机就可以成功飞行,问对于多大的 P 而言,四引擎飞机 比二引擎更安全? 16.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致 相等,而每个保护区每个季度发现的违反保护条例的事件次数的分布列分别为 甲保护区 乙保护区
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?
P

0 0.3

1 0.3

2 0.2

3 0.2

?
P

0 0.1

1 0.5

2 0.4

试评定这两个保护区的管理水平. 17 某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花色的 A,有 5 次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法? 18 二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a、b、c,在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 中选取 3 个不同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条? 19.某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正 常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿命为 2 年以上 的概率为 p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作, 只更换已坏的灯泡, 平时不换. (Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率; (Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的 概率; (Ⅲ)当 p1=0.8,p2=0.3 时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换 4 只灯泡的概率 (结果保留两个有效数字).
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20. 设函数 f n ( x) ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x
2 3 4 2 n

n ?2

当 (n ? N , n ? 2) , x>-1 且 x≠0

时,试证明: f n ( x) ? 0 恒成立.
8

参考答案 1. C 提示:6 个人的全排列中,A、B、C 三人的顺序已定.
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2 2. A 提示:将 3 次和 1 次命中看着 2 个元素插入四次未命中的空中,有 A5 种.

3. B

提 示 : 因 为 P1≠P2 , P1 + P2 = 1 , P = P 2 ? P22 , 又 因 为 1

P12 ? P22 P ? P2 2 1 ?( 1 ) ? , P 2 ? P22 >0.5 1 2 2 4
4. C 提示:另两边边长用 x, y 表示,且不妨设 1≤x≤y≤11,构成三角形必须 x+y≥12.当 y 取 11 时,x=1,2,3,?,11,可能有 11 个三角形;当 y 取 10 时, x=2,3,?,10,可能有 9 个三角形;??;当 y 取 6 时,x=6,有 1 个三角形; 所以所求三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36 个. 5. D 提示:这种特殊要求的号共有 8 ? 9 ? 10 ? 6 ? 4320 (注). 6. B 7. A 提 示 : 令 x-1=0, 即 x=1 时 得 到 a0 ? 31 0 0, 再 令 x-1=1 即 x=2 时 得

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a1 0 0 ? 51 0 0,∴ a1 ? a2 ? ? ? a100 ? 5100 ? 3100 .
8. B 提示: T5 ? 15x ?1 ? 5 ,x=3,原式=
1 3 1 1? 9 3 8

?

9.A 提示:将 1,2,3,?,9 平均分成三组的数目为 数成等差数列,种数为 4,所以答案为 B

3 3 3 C9 C6 C3 ? 280 ,又每组的三个 3 A3

10.A 提示:由图象可知,前 4 组的公比为 3,最大频率 a ? 0.1? 3 ? 0.1 ? 0.27 ,
4

设后六组公差为 d ,则 0.01 ? 0.03 ? 0.09 ? 0.27 ? 6 ?

5? 6 d ? 1 ,解得: d ? ?0.05 , 2

后四组公差为-0.05, 所以,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为(0.27+0.22+0.17+ 0.12)×100=78(人).选 A. 11.30 提示
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因为直线过原点,所以 C=0,从 1,2,3,5,7,11 这 6 个数中任取
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2 2 个作为 A、B 两数的顺序不同,表示的直线不同,所以直线的条数为 A 6 =30

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12.

4 15

提示:分两种情况,从左边口袋里取出的是红球放在右边口袋里,则从右
9

边口袋里取出的是红球,其概率是 里取出的是红球,其概率是 13.72

3 2 ? ;从左边口袋里取出的是白球,再从右边的口袋 5 6

2 1 ? ,相加得所求概率. 5 6 350 x ? ,则 x= 140 70 ? x

14.50 提示:设不到 40 岁的教师中应抽取的人数为 x 人,则 50

2 3 4 15.解:四引擎飞机成功飞行的概率为 C4 P 2 (1 ? P) 2 ? C4 P 3 (1 ? P) ? C4 P 4 ;二引 1 2 擎飞机成功飞行的概率为 C2 P(1 ? P) ? C2 P 2 ,要使四引擎的飞机比二引擎的飞机更安 2 3 4 1 2 全,则 C4 P 2 (1 ? P) 2 ? C4 P 3 (1 ? P) ? C4 P 4 ≥ C2 P(1 ? P) ? C2 P 2 ,解得 P≥

2 3

16.解:甲保护区的违规次数的数学期望与方差分别为 1.3 和 1.21;乙保护区违规次 数的数学期望与方差分别为 1.3 和 0.41.两保护区每季度发生的违规平均次数相等,但乙 保护区的违规事件次数更集中和稳,而甲保护区的违规事件数相对分散和波动. 17 解 出牌的方法可分为以下几类
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(1)5 张牌全部分开出,有 A 5 种方法; 5
2 (2)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A 5 种方法; 4 (3)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A 5 种方法; 2 (4)2 张 2 一起出,3 张 A 分两次出,有 C 3 A 3 种方法; 5

(5)2 张 2 分开出,3 张 A 一起出,有 A 3 种方法; 5
2 4 (6)2 张 2 分开出,3 张 A 分两次出,有 C 3 A 5 种方法
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2 4 2 2 4 因此,共有不同的出牌方法 A 5 +A 5 +A 5 +A 3 A 3 +A 3 +C 3 A 5 =860 种 5 5 5
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18 解 由图形特征分析,a>0,开口向上,坐标原点在内部 ? f(0)=c<0;a<0,开口 向下, 原点在内部 ? f(0)=c>0,所以对于抛物线 y=ax2+bx+c 来讲, 原点在其内部 ? af(0)=ac <0,则确定抛物线时,可先定一正一负的 a 和 c,再确定 b,故满足题设的抛物线共有
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C 1 C 1 A 2 A 1 =144 条 3 4 2 6

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19.解: (I)在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为 p1 , 需要更换 2
10

5

2 3 只灯泡的概率为 C5 p1 (1 ? p1 ) 2 ;

(II)对该盏灯来说,在第 1、2 次都更换了灯泡的概率为(1-p1)2;在第一次未更换 灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为 p1(1-p2),故所求的概率为

p ? (1 ? p1 ) 2 ? p1 (1 ? p2 );
(III)至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况,换 5 只的概率为 p5(其中 p 为
1 (II)中所求,下同)换 4 只的概率为 C5 p 4 (1-p) ,故至少换 4 只灯泡的概率为
1 p3 ? p 5 ? C5 p 4 (1 ? p).

又当p1 ? 0.8, p 2 ? 0.3时, p ? 0.2 2 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.6 ? p3 ? 0.6 5 ? 5 ? 0.6 4 ? 0.4 ? 0.34. 即满2年至少需要换 只灯泡的概率为 .34. 4 0
20.解: x 2 f n ( x) ? (1 ? x) n ? nx ? 1,要证 f n ( x) ? 0 由于 x>-1 且 x≠0 所以只要用 数学归纳法证明 x 2 f n ( x) ? (1 ? x) n ? nx ? 1 ? 0 即可. 【挑战自我】 已 知 数 列 { an } 满 足 an = n2n-1(n>0,n∈Z), 是 否 存 在 等 差 数 列 { bn } , 使 an =
1 2 n b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn 对一切自然数 n 成立,证明你的结论.

解:n=1 时 b1=1,当 n=2 时 b2=2,因为{bn}是等差数列,∴bn=n.
1 2 n 1 2 n 当 bn=n 时, b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn = Cn ? 2Cn ? ? ? nCn . 1 2 n 1 2 n 令 xn= b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn?1Cn ?1 = Cn ? 2Cn ? ? ? (n ? 1)Cn ?1

= (n ? 1)Cn
1

n?1

n 1 ? (n ? 2)Cn ?2 ? ? ? Cn . 2 n?1 n

2xn= n(Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? n(2 ? 2) ∴xn= n(2
n ?1

? 1) .

1 2 n n n b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn =xn+ bn C n = n(2 n?1 ? 1) + bn C n = n 2 n ?1



an= b1Cn ? b2Cn ? ? ? bn Cn 对一切自然数 n 成立
1 2 n

【答案及点拨】
11

演变 1:由题意分析,如图,先把标号为 1,2,3,4 号化工
4 产品分别放入①②③④4 个仓库内共有 A4 ? 24

P 1 A 5 B 6 C 2 8 7 3 4 D

种放法;再把标号为 5,6,7,8 号化工产品对 应按要求安全存放: 7 放入①,8 放入②,5 放入③,6 放入④;或者 6 放入①,7 放入②,8 放入③, 5放
4 入④两种放法.综上所述:共有 A4 ? 2 ? 48 种放

法.故选 B. 演变 2:设四个人为 A,B,C,D. (1)设 A 选甲且回答对,则选 B、C、D 回答错有 C 1 种;余下两人答乙,一个答对,一 3 个答错共有:C 1 .A 2 ? 6 种. 2 3 (2)设 A 选甲且回答错,同(1)有 6 种. 同理 B,C,D 再同样讨论,则共有 12+12+12+12=48 种. 除去其中有 12 种重复的情况. 综合得 4 位同学不同的得分情况为 36 种.故选 B 演变 3: (3 x ?

1
3

x

2

) n 的展开式中各项系数之和为 128,所以 n=7,展开式中第 7 项为
1
1 21 ,∴ 3 的系数是 21. [答案] C 3 x x

6 T6?1 ? C7 (3x)1 ? (?

3

x

2

)6 ?

演变 4:解: ( x ?

5 4 5 r ) 的通项为 Tr ?1 ? C 4 ? x 4? r ? ( ) r ,? 4 ? r ? 3,? r ? 1 , 4 4 5 5 1 ∴ ( x ? ) 4 的展开式中 x 3 的系数是 C 4 ? ? 5 , 4 4

( x cos? ? 1) 5 的通项为 TR?1 ? C5R ? ( x cos? ) 5?R ,? 5 ? R ? 2,? R ? 3 ,
3 ∴ ( x cos? ? 1) 5 的展开式中 x 2 的系数是 C5 ? cos2 ? ? 5,

∴ cos 2 ? ?

1 2 , cos? ? ? . 2 2

演变 5:(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件 A,“乙投一次命中”为事件 B,则 P(A)=

1 2 1 3 ,P(B)= ,P( A )= ,P( B )= 2 5 2 5
12

甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的事件为 A ? B ? B ? A P( A ? B ? B ? A )=P( A ? B )+P( A ? B )=

1 3 2 1 1 ? ? ? ? 2 5 5 2 2 1 2

答:甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率为

1 1 3 3 9 ? ? ? ? 2 2 5 5 100 9 91 ? ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为 P=1- P =1100 100 91 答:甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为 100 n(n ? 1) 2 1 Cn n(n ? 1) 2 演变 6:解:(I)设袋中原有 n 个白球,由题意知 ? 2 ? ? 7?6 7 C7 7?6 2 可得 n ? 3 或 n ? ?2 (舍去)即袋中原有 3 个白球.
(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中” 的概率是 P ? (II)由题意, ? 的可能取值为 1,2,3,4,5

3 4?3 2 4 ? 3? 2 6 P (? ? 1) ? ; P ?? ? 2 ? ? ? ; P(? ? 3) ? ? ; 7 7?6 7 7 ? 6 ? 5 35 4 ? 3? 2 ? 3 3 4 ? 3 ? 2 ? 1? 3 1 P (? ? 4) ? ? ; P(? ? 5) ? ? ; 7 ? 6 ? 5 ? 4 35 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 35
所以 ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

4

5

3 7

2 7
22 35

6 35

3 35

1 35

(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第 5 次取球,记”甲取到白球”为事件 A , 则 P ( A) ? P ?? ? 1? ? P ?? ? 3? ? P ?? ? 5 ? ?

13


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