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抛物线定义及标准方程


抛物线及其标准方程

赵州桥

1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. N l
M

定点F叫做抛物线的焦点,
定直线l叫做抛物线的准线.

· · F

2. 抛物线标准方程的推导

/>l

想 一 想 ?

求曲线方 程的基本 步骤是怎 样的?

N

M

· · F

建系设点 找等量关系 列方程 化简 检验(证明)

设焦点到准线的距离 为常数p(p>0),如何建 立坐标系,求出抛物线 的标准方程呢?

如图,以过F点垂直于直线l的直线为x轴, F 和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系. 设 | FK |? p,( p ? 0), M ( x, y), p p 则F ( ,0), l : x ? ? 2 2 p 2 p 2 ? MF ? d 即 ( x ? ) ? y ?| x ? | 2 2
2 2 p p ? x 2 ? px ? ? y 2 ? x 2 ? px ? 4 4

l
K

y

d

.M . F
x

O

一般地,我们把顶点在原点、焦点F 在坐标轴上的 抛物线的方程叫做抛物线的标准方程。

3. 抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px(p>0)表示的抛物线,其 焦点F位于X轴的正半轴上,其准线交于X 轴的负半轴 p p 即焦点F ( 2 ,0 ) 准线L: x = - 2 其中p 为正常数,它的几何意义是:

y

o

.

x

焦点到准线的距离(焦准距)
例1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:

( 1 ) y2

=6x

3 F ( , 0) 2

3 准线方程 : x ? ? 2

抛物线的标 准方程还有 哪些形式?
想 一 想 ?

其它形式的抛 物线的焦点与 准线呢?

L

y

p F( ,0) 2
o
L: χ=-

F

x

p 2

y2=2pχ (p>0)

y

L

p ,0) F(- 2
F o
x

y2=-2pχ
(p>0)

χ=

p 2

y

χ2=2py

p F(0, ) 2
F o

(p>0)

x L

p L: y =- 2

y

p L: y = 2
L

o

p ) F(0,- 2

F

χ2=-2py (p>0)

x

﹒ ﹒ ﹒
o
y

图象 y

开口方向

标准方程

焦点

准线

x

向右 向左

o

x

y

o

x

向上


o

y

x

向下

怎样把抛物线的位置特 征(标准位置)和方程特 征(标准方程)统一起来?
想 一 结论:1 一次项的值定焦点 想 ? 2 一次项系数正负定开口

4. 例题讲解
例1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: ( 1 ) y2 =-6x
2

3 F (? , 0) 2

3 准线方程 : x ? 2

(2)y=6x2

1 x = y 6

1 F (0, ) 准线方程 : y ? ? 1 24 24

注:求抛物线的焦点一定要先把抛物线化 为标准形式后定焦点、开口及准线

例2 1)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方


x ? ?8 y
2

2)已知抛物线焦点在X轴上,焦准距为2,求它的标 准方程 2

y ? ?4x
2

3)已知抛物线的焦准距为2,求它的标准方程

1 4)若抛物线的准线方程是 x ? ? ,求它的标准方程 4

y ? ?4x
2
2

x ? ?4 y

y ?x

反思研究
已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位,后定量p(p>0)

例4 求焦点在直线2x+3y-6=0上的 抛物线的标准方程。
y

x ? 8y
2
x

O

y ? 12 x
2

例5 点M到点F(4, 0)的距离比它到直线l: x+6 = 0
的距离小2,求点M满足的方程.
解 点M到点F的距离比它到直线 l: x+6 = 0的距离小2.
等价于“M到点F的距离等于它到 直线l: x+4= 0 的距离” 由此可知,点M的轨迹是以F(4, 0)为焦点,直线x+4=0 为准线的抛物线,此时, p =8. 故点M满足的方程是
x=-4

y ? 16x.
2

变题: 1、动圆M经过点A(1,0)且与直 线x=-1相切,求圆心M的轨迹方程

y ? 4x
2

4、抛物线y2=4x,斜率为1的直线L 过其焦点与抛物线交于A、B两点, y 求弦AB的长
A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ). F(1, 0).
? y ? x ?1 ? 2 ? y ? 4x
? x1 ? x2 ? 6 ? ? x1 x2 ? 1
| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 8

A

x2 ? 6 x ? 1 ? 0

o

F

x

B

课堂小结
1. 抛物线的定义

2. 抛物线的标准方程与其焦点、准线
3. 抛物线的标准方程类型与图象特征的

对应关系及判断方法 4. 注重数形结合的思想
5. 注重分类讨论的思想

抛物线的标准方程
抛 物 线 的 标 准 方 程 左右型
标准方程为

y2 =+2px
(p>0)

开口向右: y2 =2px(x≥0) 开口向左: y2 = -2px(x≤0)

标准方程为

上下型

x2 =+2py
(p>0)

开口向上: x2 =2py (y≥0) 开口向下: x2 = -2py (y≤0)


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