当前位置:首页 >> 数学 >>

椭圆的简单几何性质(三)


椭圆的简单几何性质3

直线与椭圆的位置关系

种类:

相离(没有交点) 相切(一个交点)

相交(二个交点)

直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 由方程组 ? x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

/>
? mx 2 ? nx ? p ? 0( m ? 0)

△ =n 2 ? 4 mp

△?0

方程组有两解 方程组有一解 方程组无解

两个交点 一个交点 无交点

相交 相切 相离

△= 0 △?0

题型一:直线与椭圆的位置关系
例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个 公共点?有一个公共点?没有公共点?
6 当k = ? 时有一个交点 3 当k> 当6 6 或k<时有两个交点 3 3

x2 y2 ? ?1 变式练习.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 9 4 交点情况满足( D )

6 6 ? k< 时没有交点 3 3

A.没有公共点
C.两个公共点

B.一个公共点
D.有公共点

x2 y2 ? ? 1 , 直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 的距离的表达式.

4 ?5 尝试遇到困难怎么办?
2 2

d?

4 x0 ? 5 y0 ? 40

?

4 x0 ? 5 y0 ? 40 41
l


m

x0 2 25

?

y0 2 9
m

?1

作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

x2 y2 ? ? 1 , 直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少 ? y
解:设直线m平行于l,

则l可写成: 4x ? 5 y ? k ? 0

?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 2 2 2 消去y,得25x ? 8kx ? k - 225 ? 0 由方程组 ? x y ?1 ? ? ? 25 9 由? ? 0,得64k 2 - 4 ? 25 (k 2 - 225) ?0
解得k1 =25,k 2 =-25

o

x

由图可知k ? 25.

x y ? ? 1 , 直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? y
?直线m为: 4 x ? 5 y ? 25 ? 0

2

2

直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d ? ? 41 42 ? 52 41 40 ? 25

o

x

dmax

思考:最大的距离是多少?

65 ? ? 41 42 ? 52 41

40 ? 25

弦长公式的探究
设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,直线P1P2的斜率为k.

弦长公式:

1 | AB |? 1 ? k | xA ? xB |? 1 ? 2 | y A ? yB | k
2

当直线斜率不存在时,则 AB ? y1 ? y2 .

可推广到任意二次曲线

题型二:弦长公式的运用
例3:已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.
解 :由椭圆方程知 : a2 ? 4, b2 ? 1, c2 ? 3.

的右焦点,

右焦点F ( 3,0).
?y ? x ? 3 ? 2 ?x 2 ? y ?1 ? ?4

直线l方程为: y ? x ? 3. 消y得: 5x2 ? 8 3x ? 8 ? 0
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

8 3 8 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 5 5
? AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k
2 2

8 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 5
2

x2 y2 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点, 4 求 △F1 AB 的面积.

分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,

要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

x y 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4 x2
解:∵椭圆

2

2

∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? x ?1 ? 由 ? x2 消去 y 并化简整理得 2 ? y ?1 ? ? 2
2

2

? y 2 ? 1 的两个焦点坐标 F1 (?1, 0), F2 (1, 0)

3x ? 4x ? 0

4 2 ? 2 ∴ AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ? = ( x ? x ) ? 4 x x 2 1 2? ? 1 3

4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 0 3
0 ? ( ?1) ? 1 2

∵点 F1 到直线 AB 的距离 d ?
∴ S F1 AB

= 2

1 1 4 4 4 ? ? d ? AB = ? 2 ? 2= . 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3

题型三:中点弦的问题
例5 :已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被

平分,求此弦所在直线的方程. 解:

韦达定理→斜率 韦达定理法:利用韦达定理及中点坐标公式来构造

例 5已知椭圆

过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被

平分,求此弦所在直线的方程.



作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作 差构造出中点坐标和斜率.

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ), y1 ? y2 则有: 2x0 ? x1 ? x2 , 2 y0 ? y1 ? y2 又k AB ? x1 ? x2 2 2 x1 y1 x2 2 y2 2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 a b a b 2 2 2 2 2 2 b ( x ? x ) ? a ( y ? y 两式相减得: 1 2 1 1 )?0 2 2 2 y ? y b 由b2 ( x12 ? x22 ) ? a2 ( y12 ? y12 ) ? 0 即 12 12 ? ? 2 x1 ? x2 a y1 ? y1 b2 x1 ? x2 b2 x0 ? k AB ? ?? 2 ?? 2 x1 ? x2 a y1 ? y1 a y0
直线和椭圆相交有关弦的中点问题,常用设而不求的 思想方法.

练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.

(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.

x y 直线l:y ? x ? 2 解 : (1)椭圆 ? ? 1 F (2, 0) 9 5 2 得: 14 x ? 36 x ? 9 ? 0 ?y ? x ? 2 由? 2 18 9 2 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ?5 x ? 9 y ? 45 7 14 6 11 2 2 ?弦长 ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 7

2

2

练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.

(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
? A(1,1)在椭圆内。 设以A为中点的弦为MN且M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 5x12 ? 9 y12 ? 45 2 2 2 2 两式相减得: ( 5 x ? x ) ? ( 9 y ? y ?0 1 2 1 2) 2 2 5x2 ? 9 y2 ? 45 5 y1 ? y2 5 x1 ? x2 ?? ? kMN ? ?? ? 9 x1 ? x2 9 y1 ? y2 5 ?以A为中点的弦为MN 方程为:y ? 1 ? ? ( x ? 1) 9

椭圆的弦所在的直线方程.

解 : (2)5 ?12 ? 9 ?12 ? 45

? 5x ? 9 y ? 14 ? 0

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 2、弦长的计算方法: 弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · ( x1 ? x 2) ? 4 x1 x 2

相交

=

1 1? 2 · (y1 ? y2) ? 4 y1 y 2 k

(适用于任何曲线)

3、弦中点问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。


相关文章:
椭圆的简单几何性质习题
椭圆的简单几何性质习题_数学_高中教育_教育专区。[学业水平训练] 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于( ) 1 3 A. B. 3 3 1 3 C...
椭圆的简单几何性质(三)教案
高中数学教案 第 8 章圆锥曲线方程(第 6 课时) 课 题:8.2 椭圆的简单几何性质(三) 教学目的: 1. 能推导,掌握椭圆的焦半径公式,并能利用焦半径公式解决有...
椭圆的简单几何性质
椭圆的定义:___ 2.椭圆的标准方程 3.椭圆的简单几何性质 标准方程 (a ? b ? 0) x2 y2 ? ?1 a 2 b2 y2 x2 ? ?1 a 2 b2 图形 x 范围 y ...
椭圆的简单几何性质
重点:椭圆的简单几何性质 难点:运用椭圆的方程的几何性质处理一些简单的实际问题。 教具:多媒体 过程: 一、复习回顾: 1.椭圆的定义: 2.椭圆的标准方程: 3.椭圆...
椭圆的简单几何性质练习题
椭圆的简单几何性质练习题_语文_初中教育_教育专区。课时作业(八) [学业水平层次] 一、选择题 3 1.(2015· 人大附中月考)焦点在 x 轴上,短轴长为 8,离心...
椭圆的简单几何性质
3 、初步利用椭圆的几何性质解决问题。 复习提问: 1、椭圆的定义___ 2 、椭圆的标准方程: 焦点在 x 轴上时:___, 焦点在 y 轴上时:___ 3、椭圆中 a...
椭圆的简单几何性质(一)(教案)
椭圆的简单几何性质(一)(教案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。椭圆的简单...2 使学生掌握椭圆的对称性,明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心. 3....
《椭圆的简单几何性质》练习题一
椭圆的简单几何性质》练习题一 椭圆的简单几何性质》练习题一 的简单几何性质...下列条件的椭圆的标准方程 6 (1)椭圆过 ,0)点,离心率 e= )椭圆过(3, ...
《椭圆的简单几何性质》 (2)
3.情感态度与价值观:通过探究椭圆的简单几何性质激发学生的积极性,获取学习数学的成就感。 教学重点:椭圆的简单几何性质 教学难点:椭圆几何性质的理解应用 一、椭圆...
更多相关标签:
椭圆的简单几何性质 | 椭圆的简单几何性质2 | 椭圆简单几何性质ppt | 椭圆简单几何性质教案 | 椭圆简单几何性质 | 椭圆的简单几何性质1 | 椭圆简单几何性质视频 | 椭圆的几何性质 |