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电路分析基础第四章


第四章 分解方法及单口网络
4-1 分解的基本步骤 4-2 单口网络的伏安关系 4-3 单口网络的置换-置换定理 4-4 单口网络的等效电路 4-5 戴维南定理 4-6 诺顿定理 4-7 最大功率传递定理 4-8 T形网络和П形网络的等效变换

单口网络:由元件相连接组成、对外只有两
个端钮的网络整体称为二端网络或单口网络, 二端网络 或直接称为单口。 单口

N

§4-1 分解的基本步骤
1. 把给定的网络分为两个单口网络 N1和N2。 2. 分别求N1,N2的VCR。 3. 联立VCR,或由它们伏安特性曲线交点,求单口 网络端钮上的电压u和电流i。 4. 分别求单口网络N1,N2中的电压,电流。

N

u Us Q

O

Us/R

i

{ u = Ri

u = Us

?

{ i =U / R
s

u = Us

Q:工作点,坐标(Us/R,Us)

§4-2 单口网络的伏安关系
求解单口网络的伏安关系方法:
1. 列电路方程:求u-i关系。 列电路方程: 2. 外施电流源求电压法:端钮上加电流源,求入 端电压,得到u-i关系。 3. 外施电压源求电流法:端钮上加电压源,求入 端电流,得到u-i关系。

例1:求图示含电源和电阻的单口网络的 VCR。

例2:求图示含电源、电阻和受控源的单口 网络的VCR。

例3:求图示只含电阻的单口网络的VCR。

(1)外施电压源法

1 4

(2)外施电流源法

2

3

§4-3

单口网络的置换—置换定理

若网络N由两个单口网络 N1 和N2 连接组成,且已 知端口电压和电流值分 别 为 u=α , i=β , 则 N2 ( 或 N1 ) 可 用 一 个 电压 为α的电压源或用一个 电流为β的电流源置 换 ,不影响N1 (或N2 ) 内各支路电压、电流原 有数值。

例1:求图示电路的各支路电流。
i1 = 3.75A i2 = 1.5A

i3 = 2.25A
4Ω电阻用电流源置换: 置换后对其他支路没有影响。

i2 = 1.5A

i3 = 2.25A

例2:图示电路的N1能否用结构更简单的电路代替而 保持N2的电流电压不变?6Ω电阻可否置换为其他元 件?
i 2.5 1

u=6

u = 6i
Q

i =1
u = 10 ? 4i
10 u

O N1 N2

6

工作点:Q(6V, 1A)

置换是一种基于工作点相同 的“等效”替换。
6V

例3:电路如图,试用分解方法求i1和u2。

i

N1

N2

i1 = 0.4 A

u2 = 12V

例4:图示为含非线性电阻的电路,其伏安特性曲线 如图,试求非线性电阻两端的电压u和流过的电流i。

i’ i1

i Us/R Q IQ O UQ Us/2 u

2u = U S ? Ri

工作点:Q(UQ, IQ)

例5:图示电路中已知N的VCR为u=i+2,试 用置换定理求解i1。

3 i1 = A 5

例6:图示电路中,已知uab=0,求电阻R。

R = 6Ω

例7:求图示二端电路的VCR。

u = 7i

§4-4

单口网络的等效电路

一、等效单口网络:
两个内部 结构完全不同的单口网络N1 和N2 ,如 结构完全不同 果它们的端口电压、电流关系完全相同,亦即它 端口电压、电流关系完全相同 们在u-i平面上的伏安特性曲线完全重叠,则这 两个单口网络 N1和N2等效。 等效

注意:等效是指对任意外电路都等效。

二、无独立源单口网络的等效电路:
等效电阻或输入电阻:无源单口网络对外可等效 输入电阻 成一个电阻,其端口电压与端口电流的比值称为 等效电阻或输入电阻,记作Req或Ri。

u Ri = i
i
无源单口 网络N

+ + u _ 等效
Ri

u _

(一) 纯电阻单口网络
1. 电阻串联

R = ∑ Rk
k =1 n

n

2. 电阻并联

G = ∑ Gk
k =1

3. 电阻的串、并混联 纯电阻网络,端口VCR为u=Bi,当u和i关联时, B为正。

例1:图示电路中,所有的电阻均为6Ω,求 电阻Rab。

Rab=R1//R2//R3+R4 = 6//6//6+6 = 2+6 =8Ω

例2:试求图示电阻网络的Rab和Rcd。

Rab = 6 + 15 //(5 + 5) = 6 + 6 = 12Ω
Rcd = 5 //(15 + 5) = 4Ω

例3:试求图示电阻网络的Rab和Rcd。

Rab = 8 + {4 //[2 + 1 + ( 2 // 2)]} = 8 + {4 // 4} = 10Ω

Rcd = ( 2 // 2) + {1 //[4 + 2 + ( 2 // 2)]} = 1 + (1 // 7) = 1.875Ω

例4:试求电流I。 I
+ 24V




12Ω 6Ω I +



24V –

12//4//3//6Ω

24 I= = 20 A 1. 2

(二)含受控源的无源单口网络
含受控源无源的等效电阻不能用电阻串并联公式 化简,应用外加电源法求得,即 外加电源法

u Ri = i
含受控源的无源单口网络,端口VCR为u=Bi, B可正可负。

例5:求图中所示单口网络的等效电阻。

u R i = = ( μ + 1) R i

例6:求图所示单口网络的等效电阻。

u R Ri = = i 1+α

例7:求图示电路输入电阻Ri,已知α =0.99。

1. 外施电源法 2. 电源变换法

Ri = 35Ω

三、含独立源单口网络的等效电路:
1. 只含独立源、电阻,不含受控源 只含独立源、电阻不含受控源的网络,端口 VCR为u=A+Bi,u和i关联时,B为正。 2. 含受控源的有源单口网络 含受控源、独立源、线性电阻的网络,端口 VCR为u=A+Bi,B可正可负。 等效为电压源串联电阻组合或电流源并联电阻组合。

例8:试化简如图所示的单口网络。

u = 10 + 1500i

例9:试化简如图所示单口网络。

u = 10i + 20

1 等效 i = u ? 2 10

四、含独立源单口网络等效电路的一些规律:
1. 两种电源模型的等效变换
i

Rs R + us ?

+ A
u
? B

R=R

'

us = R 'is

is

+A i

等效

Gs’ u R
?B

u = us ? Ri
如果满足:

u i = is ? ' R

R=R

'

u = R 'is ? R 'i
'

u s = R is

则二者等效

独立电压源和电阻串联单口网络可以等效变换为 独立电压源和电阻串联 独立电流源和电阻并联单口网络。 独立电流源和电阻并联

等效

u = 8 ? 4i

相同的VCR

u i =2? 4

2. 注意几种情况: (1)
若Us1≠Us2, 违背KVL。

(2)

与电压源并联 的元件称为多 余元件,多余 元件开路。

(3)

与电流源串联 的元件称为多 余元件,多余 元件短路。

(4)
若Is1≠Is2, 违背KCL。

应用:利用电源转换可以简化电路计算。 例10:
5A 2A 3Ω 7Ω 4Ω I + 15V _ _ 8V + 7Ω I 7Ω I=0.5A

例11:
5Ω 10V 10V 5Ω 6A + U _ + U _

2A

6A

5∥5Ω

U=20V

例12:求电阻RL两端电压UL。
R R + UL _

IS R

2R

2R

RL

I + UL _

IS/4

R

RL

IS RRL UL = 4 R + RL

例13:
2A I1 2Ω

电源转换 3(2+I) I - + 4V _ 2Ω +

+

3I1

U=3I1+2I1=5I1=5(2+I)=10+5I
I ? + U _ ? + 10V _ 5Ω I ? + U _ ?



? + U _ ?

U=3(2+I)+4+2I=10+5I

受控源和独立源一样可以进行电源转换。 一个受控电压源和电阻串联单口网络,等效变换 为一个受控电流源和电阻并联单口网络。

Ri = 35Ω

例14:将如图所示单口网络化为最简形式。

i + 10V ?

1A

i
+ u
?

A

+ 15V -

+

A

+ 5V ?

u
- B

B

在等效电路两端钮上加相同的电阻: 有 伴 电 压 源
10 2 I= = A 10 + 5 3

有 伴 电 流 源
5 2 I = 2× = A 10 + 5 3

20 P源 = ?10 I = ? W 3
'

2 I =I= A 3
'

10 4 I = 2× = A 10 + 5 3 40 ' P源 = ?5 I × 2 = ? W 3
'

结论:等效电路对外电路等效,对内电路不等效。

习题:
1. 求ab端等效电阻。
a R b R a b a R b R a R b

Rab = R // R // R // R // R // R

R = 6

R c

Rab = 18 + 6 // 3
b c

= 20?

d 4Ω c 6Ω 2Ω 4Ω c 0.6Ω

Rab = 0.6 + [6 //(2 + 4 // 4)]
= 3?

a

b

3 Rab = Ω 2

a b

a

c

b

b

Rab = 6 // 4 //[(5 + 3) + (6 // 12)] = 2Ω

c 2Ω

c

c c


4Ω 4Ω

d c




a a

a



b
b

Rab = 3 //[2 // 2 + 4 //(4 // 4 + 2)] = 1.5?
5 Rac =2 // 2 //[( 4 // 4 + 2) // 4 + 3] = ? = 0.833? 6

a a c c

b b

c

d

Rab = [( 2 + 2) // 4 + 1] // 3 = 1.5Ω

c

d

c

d

b

b

b

Rab = 12 + 6 // 6 //[12 // 12 // 12 + 4 // 4] = 14Ω

2. 如图所示含受控源电路,求各图中ab端的等效 电阻。

(1)

(2)

6 Rab = 5?r

2 Rab = 3?α

3. 化简下列各单口网络。

(1)

(3)

(2)

4. 对如图所示电路,求电流i1。

i1 = 2.5A

5. 非串、并联电路如图,已知外施电压为12V时,电 压u1=6V。若R=1/2Ω,试根据外施电压法求ab间的 等效电阻。


Rab = 1.6Ω

6. 电路如图,试求当a、b端所接电阻R分别为10Ω、 20Ω时流过R的电流。
a

b

60 i= 10 + R

7. 电路如图,如要求I=2A,电压源US应为多少?

U s = 8V

8. 试设法利用置换定理求解图示电路中的电压uo。 何处划分为好?置换时用电压源还是电流源为好? u1 i

N1

N2

uo = 1V

9. 利用u=Ai+B这一普遍形式,求解图中所示电路ab 端的VCR和等效电路。

u = 6i + 17

§4-5
一、戴维南定理:

戴维南定理

由线性电阻、受控源和独立源组成的单口网络N, 就其端口来看,可等效为一个 电压源串联电阻 支 路 。电压源的电压等于该网络N的开路电压 uoc , 其串联电阻为该网络中所有独立源为零值时所得 网络N0的入端等效电阻Ro。 联参考方向,其VCR为:u = uoc ? Roi 含源线性单口网络的端口电压u和电流i 对Ro为非关

开路电压

等效电阻

二、戴维南定理证明:
置换

叠加

线性含源

线性或非线性

u ' = uoc
N中所有独立源产生的电压 电流源开路
' ''

u '' = ? Rabi
电流源产生的电压 N0中所有独立源为零值

u = u + u = uoc ? Rabi

u = uoc ? Rabi

含源线性单口网络N可等效为 电压源串联电阻支路

三、戴维南等效电路参数的确定:
1. 开路电压uoc: 将负载支路断开,设出uoc的参考方向后求解。 计算方法:串并联等效,分流分压公式,电源 计算方法: 互换,叠加原理,网孔法,节点法等。

2. 等效电阻R0: (1) 外施电源法:

u R0 = i
uoc R0 = isc

所有独立源为 0 (理想电压源 短路,理想电流源开路),受 控源保留!!!

(2) 开路电压比短路电流法: 开路 短路
求 uoc和 isc时所有独立源、受控 源均保留!!!

四、戴维南定理应用条件:
1. 戴维南等效电路只能用来计算外电路中的电压电 流,不能用来计算被等效网络内部的电压电流; 2. 外电路可以是线性电路,也可以是非线性电路; 3. 求等效电阻R0,所谓电压源短路,电流源开路, 均指独立源,不包括受控源,对于非独立源,不能 够任意地短路或开路。

§4-6
一、诺顿定理:

诺顿定理

由线性电阻、受控源和独立源组成的单口网络N, 就其端口来看,可以等效为一个 电流源并联电阻 组合。电流源电流等于网络N的短路电流isc,并联电 组合 阻等于网络中所有独立源为零值时所得网络N0 的 入端等效电阻Ro。 含源线性单口网络的端口电压u和电流i的VCR为:

u i = isc ? R0

短路电流

等效电阻

二、诺顿定理证明:(略) 三、诺顿定理应用条件: 同戴维南定理的应用条件。

例1:利用戴维南定理求图示电路中的电流I。

uoc = 24V

Ro = 6Ω

I = 3A

例2:利用戴维南定理求图示电路中的电流I3。

uoc = 12V

Ro = 0.6Ω

10 I3 = A 3

例3:利用诺顿定理求图示电路中的电流I。

iSC = 5A

Ro = 2.4Ω

I = 3A

例4:求图示电路的诺顿等效电路。

iSC = 1.5A

Ro = 6Ω

例5:求图示各电路ab端的戴维南等效电路或 诺顿等效电路。
(1)

uoc = 6V

Ro = 2Ω

(2)

uoc = 4V

iSC = 4 A

Ro = 1Ω

(3) 1 2

3

uoc = 8V

Ro = 2Ω

(4) 1 2

uoc = ?3V

iSC = 4 A

Ro = 1.5Ω

§4-7

最大功率传递定理

含源线性 单口网络

负载

戴维南等效电路

诺顿等效电路

最大功率传递定理:
由含源线性单口网络传递给可变负载RL的功率为最 大的条件是:负载RL应与戴维南(或诺顿)等效电 阻相等,即RL=Ro ,此时称为最大功率匹配,负载 得到的最大功率为: p
max

u = 4 R0

2 oc

或 pmax

2 isc R0 = 4

证明:
? uoc ? p = i RL = ? ? R + R ? RL ? L ? ? 0
2
2

若使p有极值,则应使dp/dRL=0
? ( R0 + RL )2 ? 2( R0 + RL ) RL ? dp 2 = uoc ? ? 4 dRL ( R0 + RL ) ? ?
( R0 ? RL ) =u =0 3 ( R0 + RL )
2 oc

R0 = RL

d2p 2 dRL

RL = R0

2 uoc =? 3 <0 8 R0

p有最大值

则 pmax

2 uoc = 4R0

例1:图示电路,若负载RL可以任意改变,问负 载为何值时其上获得的功率最大?并求出此时负 载上得到的最大功率PLmax。

R0 = 6Ω

PL max = 6W

例2:电路如图,负载RL 可任意改变,问负载 RL=?时其上获最大功率?并求PLmax。

R0 = 15Ω

PL max = 15W

4-8

T形网络和П形网络的等效变换

三端无源网络 : 引出三个端钮的网络,并且内部
没有独立源。

三端网络等效:两个三端网络端钮电压u12、u23和
电流i1、i2完全相同。

T 形电路 (Y 形,星形)

π 形电路 (Δ 形,三角形)

π 形(Δ 形)电路转换成 T 形(Y 形) 电路:
就是已知π形电路中的三个电阻R12、R13、R23,通过变 换公式求出T形电路中的三个电阻R1、R2、R3,将之连 接成T形去代换π形电路中的三个电阻,这就完成了π 形 等效互换为T形电路的任务。 等效互换

KCL: i3 = i1 + i2 KVL: u12 = u13 ? u23

u13 = R1i1 + R3i3 = ( R1 + R3 )i1 + R3i2 u23 = R2i2 + R3i3 = R3i1 + ( R2 + R3 )i2

1 1 i1 = u13 + u12 R13 R12
? 1 1 ? 1 =? ? R + R ?u13 ? R u23 ? 12 ? 12 ? 13

1 R12 + R13 u13 ? u23 = R13 R12 R12
1 1 ? 1 1 1 ? i2 = u23 ? u12 = ? u13 + ? ? R + R ?u23 ? R23 R12 R12 12 ? ? 23

1 R12 + R23 u13 + u23 =? R12 R23 R12

π形

R13 ( R12 + R23 ) R23 R13 u13 = i1 + i2 R12 + R23 + R13 R12 + R23 + R13

R23 R13 R23 ( R12 + R13 ) u23 = i1 + i2 R12 + R23 + R13 R12 + R23 + R13

T形

u13 = R1i1 + R3i3 = ( R1 + R3 )i1 + R3i2

u23 = R2i2 + R3i3 = R3i1 + ( R2 + R3 )i2
R13 ( R12 + R23 ) ? R1 + R3 = ? R12 + R23 + R13 ? ? R13 R23 R3 = ? R12 + R23 + R13 ? R23 ( R12 + R13 ) ? R2 + R3 = ? R12 + R23 + R13 ?

若等效,则i1、i2前 系数对应相等,即:

π形电路等效互换为T形电路的变换公式为: 等效互换

? R12 R13 R1 = ? R12 + R23 + R13 ? ? R12 R23 R2 = ? R12 + R23 + R13 ? ? R13 R23 R3 = ? R12 + R23 + R13 ?

接于端钮i的两电阻的乘积 Ri = 三电阻之和

T 形(Y 形)电路转换成 π 形(Δ 形)电路:
就是已知T形电路中的三个电阻R1、R2、R3,通过变换 公式求出π形电路中的三个电阻R12、R13、R23,将之连 接成π形去代换T形电路中的三个电阻,这就完成了T形 等效互换为π 形电路的任务。 等效互换

R13 ( R12 + R23 ) ? R1 + R3 = R12 + R23 + R13 ? ? ? R13 R23 R3 = ? R12 + R23 + R13 ? R23 ( R12 + R13 ) ? R2 + R3 = ? R12 + R23 + R13 ?

T形电路等效互换为π形电路的变换公式为: 等效互换
R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 ? R12 = ? R3 ? R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 ? R23 = ? R1 ? R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 ? R13 = ? R2 ?

Rmn

电阻两两乘积之和 = 接在与Rmn 相对端钮的电阻

例1:图示电路,求电压U1。

1

2

3

U1 = 6V

例2:如图所示双T形电路,分别求当开关S闭合 时及断开时ab端的等效电阻。

1

2

3 S断开时,Rab=4Ω S闭合时,Rab=3Ω

例3:非串、并联电路如图,已知外施电压为12V 时,电压u1=6V。若R=1/2Ω,试根据外施电压法求 ab间的等效电阻。


1

3

2

Rab = 1.6Ω

作业
P154 习题 4-16,23,26,27,28,29,30


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