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2013寒假数学竞赛 集训一 代数导学


2013 寒假集训一代数导学,内容中标有★的部分,是中学数学竞赛大纲中 提出要求的内容,需要引起同学们注意,希望能提前做好预习和学习准备.
一、初等函数导学 知识点 1、函数的定义域 求定义域有以下几种情况: (1)当 f(x)是整式时,定义域为 R; (2)当 f(x)是分式时,定义域是使分母不为 0 的 x 取值集合; (3)当 f(x)是偶次根式时,定义域是使被开

方式取非负值的 x 取值集合; (4)当 f(x)是零指数幂或负数指数幂时,定义域是使幂的底数不为 0 的 x 取值集合; (5) 当f (x ) 是对数式时, 定义域是使真数大于 0 且底数为不等于 1 的正数的 x 取值集合; 求函数的定义域一般有三种类型: 第一种是给出函数的解析式求其定义域,此时即求使解析式有意义的自变量的取值集合; 第二种不给出函数 f(x)的解析式,而由 f(x)的定义域,求复合函数 f[g(x)]的定义域, 此时用换元法; 第三种是应用题中求函数的定义域, 此时出了考虑使函数解析式有意义外, 还应考虑所给问 题的实际意义对自变量的制约. 2、函数的图象 图象变换主要有:平移变换、伸缩变换、对称变换等. 引理 1 函数图象对称性的判定

.q

bx

t.

cn
a?b 对称. 2 a ?b 对称. 2

1) 若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? a ? ? f ? b ? x? ,则 f ? x ? 的图象关于直线 x ? 对称.

?a?b ? ,0? 2) 若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? a ? ? ? f ? b ? x? ,则 f ? x ? 的图象关于点 ? ? 2 ? 对称. 引理 2

1) 函数 y ? f ? a ? x ? 与函数 y ? f ? x ? b ? 的图象关于直线 x ? 2) 函数 y ? f ? a ? x ? 与函数 y ? f ? b ? x ? 的图象关于直线 x ?

注:①引理 1 中 1)是对一个函数而言的,引理 2 中的两个命题是对两个函数而言的. ②证明的思路是一样的,即任取一点 ? 求其对称点 ? 验证对称点是否在函数图象上 ? 最 后由点的任意性得证. 3、函数的单调性及其应用 (1) 由函数单调性定义判断或证明某一函数在某一区间内的单调性.

ww w

a?b 2

(2) 通过画图象或运用复合函数的单调性定理求函数的单调性区间. (3)函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性. (4)对于复合函数 y ? f ? g ? x ? ? ,若 y ? f ? u ? 与 u ? g ? x ? 的单调性相同,则 y ? f ? g ? x ? ? 是 增函数;若 y ? f ? u ? 与 u ? g ? x ? 的单调性相反,则 y ? f ? g ? x ? ? 是减函数. (5)若 f ? x ? 与 g ? x ? 是定义在同一区间上的两个函数, 当 f ? x ? 与 g ? x ? 都是增(减)函数时, f ? x ? ? g ? x ? 也必为增(减)函数; 当 f ? x ? 与 g ? x ? 恒大于 0,且 f ? x ? 与 g ? x ? 都是单调递增(减)的,则 f ? x ? ? g ? x ? 也是 单调递增(减)的. (6)函数的单调性主要有以下应用: 利用函数的单调性求函数的值域(或最值) ;利用函数的单调性解不等式;利用函数的单调 性确定参数的取值范围;利用函数的单调性解方程等等. 4、函数的奇偶性及其应用 (1)定义法:定义域若不是关于原点对称区域,则该函数不具有奇偶性;若定义域是关于

(2)函数是奇函数的充要条件是图象关于原点对称;函数是偶函数的充要条件是它的图象 关于 y 轴对称. (3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为 0)仍为偶函数,奇函数的和、差仍为 奇函数.奇*奇=偶;奇*偶=奇; (4)定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和的形 式. (5)若函数是奇函数,则其反函数也为奇函数,反之亦然. (6)函数的奇偶性主要有以下应用: 求函数值; 求函数表达式; 判断函数的单调性: 如果已知具有奇偶性的函数 f ? x ? 在区间 ? a, b?

? 0 ? a ? b ? 上的单调性,由奇偶函数的对称性可直接判断 f ? x ? 在 ? ?b, ?a ? 上的单调性.
5、函数的奇偶性与单调性的关系: (1) 若 x ? 0 , f ( x) 是增函数, 则 x ? 0 , f ( x) 也是增函数; 若x?0, f ( x) 为奇函数:

f ( x) 为减函数,则 x ? 0 , f ( x) 也是减函数.
(2)

f ( x) 为偶函数:若 x ? 0 , f ( x) 是增函数,则 x ? 0 , f ( x) 是减函数;若 x ? 0 , f ( x) 是减函数,则 x ? 0 , f ( x) 是增函数.

ww w

.q

bx

t.

cn

原点对称,再判断 f (? x) ? ? f ( x), 或判断 f (? x) ? f ( x) 是否等于 0.

★6、函数的周期性 对于函数 f ? x ? ,如果存在一个不为零的正数 T ,使得当 x 取定义域中的每一个数时,

f ? x ? T ? ? f ? x ? 总成立,那么称 f ? x ? 是周期函数, T 称为这个周期函数的周期.
(1)若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? a ? ? f ? x ? b? , a ? b ,则 f ? x ? 是周期函数,且 周期为 b ? a . (2)若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? a ? ? ? f ? x ? b ? , a ? b ,则 f ? x ? 是周期函数,且 周期为 2 b ? a . 7、 函数的对称与周期的关系: (1)若定义在 R 上的函数 f ? x ? 既关于直线 x ? a 对称,又关于直线 x ? b 对称,且 a ? b , 则 f ? x ? 是周期函数,且 2 b ? a 是周期. (2)若定义在 R 上的函数 f ? x ? 既关于直线 x ? a 对称,又关于点 ? b, 0 ? 对称,且 a ? b ,则

f ? x ? 是周期函数,且 4 b ? a 是周期.
8、函数的值域(最值)的求法 常用方法有: (1) 直接法:利用常见函数的值域来求

(4) 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2

当 a>0 时,值域为{

(4ac ? b 2 ) y? 4a 当 a<0 时,值域为{ }
(5) 配方法:如果所给的函数是二次函数或可化为二次函数的形式,一般采用配方法, 但在求解时,要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围. (6) 判别式法:将所给函数 y ? f ? x ? 看作是关于 x 的方程.若是关于 x 的一元二次方程, 则可利用判别式大于等于 0 来求 y 的取值范围,但要注意取等号的问题.

ww w
y?

(3) 反比例函数 y ?

k ( k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

(4ac ? b 2 ) 4a };

.q

(2) 一次函数 y=ax+b(a≠0)的定义域为 R,值域为 R;

bx

t.

cn

(7) 换元法:将一个复杂的函数中某个式子当作整体,通过换元可化为我们熟知的表达 式,这里要注意所换元的表达式的取值范围. 化归思想. (8) 利用函数单调性法:如果所给的函数是熟悉的已知函数的形式,则可利用函数的单 调性来示值域,但要注意其单调区间. (9) 反函数法:若某函数存在反函数,则可利用互为反函数两个函数的定义域与值域互 换,改求反函数的定义域. (10) 分式转化法(或改为“分离常数法” ) (11) 三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域. (12) 基本不等式法: 转化成型如: y ? x ?

k ( k ? 0) ,利用平均值不等式公式来求值域; x

(13) 数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域. (14) 逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式, 得出 y 的取值范围;常用来解,型如: y ?

ax ? b , x ? ( m, n ) cx ? d

(15) 构造法:通过构造相应图形,数形结合求出最值. (16) 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类: (1)求常见函数值域; (2)求由常见函数复合而成的函数的值域; (3)求由常见函 数作某些“运算”而得函数的值域 ★9、求一个函数的反函数可分为三个步骤:

(1) 求原函数 f ( x) 的定义域和值域,其值域即为反函数的定义域;

bx

t.

cn
?1

(2) 将 y ? f ( x) 看做关于 x 的方程,在函数 y ? f ( x) 的定义域中解出 x ? f

( y ) ,并

10、指数函数、幂函数和对数函数比较大小: (1)底数相同、指数不同或底数不同、指数相同或底数相同、真数不同的两个数分别用指 数函数、幂函数、对数函数的单调性来比较. (2)底数不同,指数也不同,或底数不同,真数也不同的两个数可引入中间变量,或画出 图像来比较. (3) 在幂函数中, 不论 n ? 0, 或 n ? 0, 当 x ? 1 时, 均有 n 大的函数值也大; 在 0 ? x ? 1 中,

n 大的函数值反而小.
0 ? x ?1 (4) 在对数函数中, 不论 a ? 1, 或 0 ? a ? 1 , 均有 x ? 1 时, 底数大的函数值反而小;
时,底数大的函数值也大. 典型例题: 例 1:已知 f ( x ? 3) ? lg
2

x2 ,求 f ( x) 的定义域. x2 ? 6

ww w

的定义域,即得反函数 y ? f

?1

.q

据此判断 x 是否为 y 的函数; (3) 若 x 不是 y 的函数,则反函数不存在;若 x 是 y 的函数,则对换 x、y 并注明反函数

( x) ,求分段函数的反函数时,应分段求解.

【 解 析 】 令 u ? x 2 ? 3 则 f ( x) 的 定 义 域 为 u 的 值 域 . 要 使 lg

x2 有意义,必须使 x2 ? 6

x2 ? 0.? x ? 6 或 x ? ? 6.? u ? 3 x2 ? 6
故所求 f ( x) 的定义域为 x x ? 3 . 例 2: f ( x ? 1) 的定义域是 [?2,3) ,求 f ( ? 1) 的定义域. 【解析】由已知条件知 ?2 ? x ? 3, ?1 ? x ? 1 ? 4, 得 f ( x) 的定义域是 [?1, 4) .

?

?

1 x

1 1 1 ? 2 ? 4, 解得 x ? ? , 或x ? . x 3 2 1 1 1 故所求 f ( ? 1) 的定义域为: ( ??, ? ) ? ( , ?? ). x 3 2
由 ?1 ? 例 3:求 f ( x) ? lg(a ? k ? 2 )(a ? 0, a ? 1, a ? 2) 的定义域.
x x

【解析】由 a ? k 2 ? 0 ? ( ) ? k ,
x x x

(1) 当 k ? 0 时, x ? R ; (2) 当 k ? 0 时,若 a ? 2, 得 x ? log k a.
2

综上,当 k ? 0 时,所求函数的定义域为 R;当 k ? 0 , a ? 2 时,定义域为 (log k a , ??) ;当
2 k a 2

ww w

k ? 0 , 0 ? a ? 1 或 1 ? a ? 2 时,定义域为 (??, log ).
例 4:已知 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ?

.q

bx
x , ? ( x) ? 2 x ,求 g ? ?1[ f ( x)] 的定义域.

【解析】

x ?? ?1 ( x) ? log 2 ( x ? 0),

?? ?1[ f ( x)] ? log (2x ?1)

? g ?? ?1[ f ( x)]? ? log (2x ?1) .由 log (2x ?1) ? 0, 得x ? 1 ? 1,? x ? 0.

?函数的定义域为 [0, ??).
例 5: 设函数 f ( x) ? log
2 x ?1 2 x ?1 2

1 1 ( x ? ? , 或x ? )的反函数为f ?1 ( x), 证明:f ?1 ( x) 是奇函数, 2 2

且在定义域上是增函数.

t.
? ?

a a 0 ? a ? 1 或 1 ? a ? 2 时, 0 ? ? 1 , ? 1, 得 x ? log k a ;当 2 2 2

cn

a 2

?2 x ?1 2 x ?1 【解析】? f (? x) ? log 2 ? log 2 ? log 22 x ?1

?2 x ?1

2 x ?1

(

2 x ?1

)?1

2 x ?1 ? ? log 2 ? ? f ( x),

2 x ?1

? f ( x) 为奇函数,从而 f ?1 ( x) 为奇函数.又 t ?
上均为增函数,且 y ? log 2 为增函数,
t

2x ?1 2 1 1 ? 1? 在 ( ?? , ? ) 和 ( , ?? ) 2x ?1 2x ?1 2 2

1 1 ? f ( x) 在 ( ??, ? ) 和 ( , ??) 上均为增函数. 2 2
故f
?1

( x) 在其定义域 (??, 0) , (0, ??) 上是增函数.
1 2
x

( )( x ? 0) 和定义域在 R 上的奇函数 g ( x) ,当 x ? 0 时,有 例 6 :已知函数 f ( x ) ?

f ( x) ? g ( x),试求 g ( x) 的反函数.
【解析】? g ( x) 为 R 上的奇函数,? g (0) ? 0. 当 x ? 0 时, f ( x ) ? g ( x) ? ( ) ;
x

1 2

当 x ? 0 时, g ( x) ? ? g (? x) ? ? f (? x) ? ?2 .
x

分别求出在各段上的反函数,再合并可得:

例 7: 设函数 f ( x) 是 R 上的偶函数, 又 f (0) ? a, 且 g ( x) ? f ( x ?1) , g ( x) 是 R 上的奇函数, 求 f (2000) 的值. 【解析】? g ( x) 是 R 上的奇函数,且 g ( x) ? f ( x ?1),

? g (? x) ? f (? x ?1) ? ? g ( x) ? ? f ( x ?1).
又 f ( x) 在 R 上为偶函数,? f ( x ? 1) ? f (? x ?1).

? f ( x ? 1) ? ? f ( x ?1). ? f ( x ? 4) ? ? f [( x ? 3) ?1)] ? ? f ( x ? 2)

ww w

?log x 1 (0 ? x ? 1), ? 2 ? g ?1 ( x) ? ?0( x ? 0), ?log ( ? x ) (?1 ? x ? 0). ? 2 ?

.q

bx

t.

? 1 x ?( 2 ) ( x ? 0), ? ? g ( x) ? ?0( x ? 0), ??2 x ( x ? 0). ? ?

cn

= ? f [( x ? 1) ? 1] = f [( x ? 1) ?1] = f ( x)

? f ( x) 是以 4 为周期的周期函数. ? f (2000) ? f (4 ? 500) ? f (0) ? a.
例 8:设 a ? R, f ( x) ?

a ? 2x ? a ? 2 ( x ? R), 2x ? 1

(1) 确定 a 的值,使 f ( x) 为奇函数; (2) 当 f ( x) 为奇函数时,对于给定的正实数 k ,解关于 x 的不等式 f
?1

( x) ? log

1? x k 2

.

【解析】 ( 1 )由 f ( x) 为奇函数,则对任意 x ? R ,都有 f (? x) ? ? f ( x) . 令 x ? 0 ,得

a?a?2 2x ? 1 f (0) ? 0, ? ? 0,故 a ? 1, f ( x) ? x ( x ? R) . 2 2 ?1
(2)由 f ( x) ?

不等式化为 ( x ? 1)( x ? 1 ? k ) ? 0.

?当 0 ? k ? 2 时, 1 ? k ? x ? 1; 当 k ? 2 时, ?1 ? x ? 1 .
x 2 x 例 9:设 p ? (log 2 ) ? (t ? 2) log 2 ?t ? 1 ,若 t 在区间 [?2, 2] 上变动时, p 恒为正值,试求

x 的取值范围.
【解析】条件中有多个变量, t 与 p 的变化范围已给出,构造函数
x x p ? f (t ) ? (log 2 ?1)t ? (log 2 ?1) 2 x x ? 2 时 , l o2 ?g

ww w

?

1? x 1? x ? . ? ?1 ? x ? 1, k ? 0, 1? x k

(1)



x 2 x pmin ? f (?2) ? (log 2 ) ? 4 log 2 ?3.

.q
? 1p 0? f , t在 [? (2, 2] ) 上 是 增 函 数 ,

故不等式即为 log

1? x 1? x 2

? log

1? x k 2

.

bx

1? x 2x ? 1 ?1 1? x ,得 ( x ? R ) f ( x ) ? log 2 (?1 ? x ? 1) . x 2 ?1

t.

cn

由?

x 2 x ?(log 2 ) ? 4log 2 ?3 ? 0

?x ? 2

,解得 x ? 8.

(2)

x g 当 0 ? x ? 2 时 , l o2 ? x 2 pmin ? f (2) ? (log 2 ) ? 1,

?1 p 0 ?f ,

t在 [(?2, )2] 上 是 减 函 数 ,

由?

x 2 ?(log 2 ) ?1 ? 0

?0 ? x ? 2

,解得 0 ? x ?

1 . 2

(3)

当 x ? 2 时, p ? f (t ) ? 0, 不适合 p ? 0 .

综上可知, x 的取值范围是 (0, ) ? (8, ??) .

1 2

例 10:设 f(x)=

1 2 ? 2
x

,求 f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6).

【解析】∵f(-x)+f(x+1)=

1 2
?x

∴f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)=3 2 .

提示:x+y=1?f(x)+f(y)=1
2

例 11: 设不等式 2 ( log 1 x ) +9 log 1 x +9≤0 的解集为 M, 求当 x?M 时, 函数 f (x) = (log2
2 2

ww w
2

x x ) (log2 )的最大值、最小值. 2 8
2

.q

bx
2

学生思考:设 f(x)=

1 2 1000 4x ,求 f( )+f( )+?+f( ). x 1001 1001 1001 4 ?2

【解析】∵2( log 1 x ) +9 log 1 x +9≤0?―3≤ log 1 x ≤―
2

≤8 ∴M=[2 2 ,8]

x x 2 ) (log2 )=(log2x-1) (log2x-3)=(log2x-2) -1 2 8 3 ∵2 2 ≤x≤8? ≤log2x≤3 2
∵f(x)=(log2 ∴当 log2x=2?x=4 时,ymin=-1 当 log2x=3?x=8 时,ymax=0. 例 12:解不等式 log 2 x ? 1 +

1 log 1 x 3 +2>0.(2004 全国数学联赛) 2 2

t.

cn
3 3 ? ≤log2x≤3?2 2 ≤x 2 2

? 2 2

+

1
x ?1

? 2 2?2 ? 2
x

=

2 ? 2x ?1

=

2 2

【解析】∵ log 2 x ? 1 +

1 3 log 1 x 3 +2>0? log 2 x ? 1 - log2x+2>0 2 2 2

令 t= log 2 x ? 1 (t≥0) ∴t-

3 2 1 t + >0 (t≥0)?0≤t<1?0≤ log 2 x ? 1 <1?1≤log2x<2?2≤x<4 2 2
( ax ? x )

∴所求不等式的解集为[2,4) 例 13:是否存在实数 a ,使得 f ( x) ? log a 取值范围. 在区间 [2, 4] 上是增函数,若存在,求出 a 的

bx
1 6
2

例 14:求下列函数的值域: (1) y ? 3x ? x ? 2 ;
2

t.
(3) y ?

得 a ? 1 .?存在实数 a ,只需 a ? (1, ??) 即可满足要求.

(2) y ?

? x2 ? 6 x ? 5 ;

.q
2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ;

(5) y ? x ? 1 ? x2 ;

(6) y ? x ?1 ? x ? 4 ;

1 ? sin x 2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 (7) y ? 2 ; (8) y ? ( x ? ) ; (9) y ? 2 ? cos x 2x ?1 2 x ? x ?1
【解】 (1) (配方法)? y ? 3 x ? x ? 2 ? 3( x ? ) ?
2

ww w
23 , ??) 12

23 23 ? , 12 12

∴ y ? 3x ? x ? 2 的值域为 [
2 2

改题:求函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ?[1,3] 的值域 【解】 (利用函数的单调性)函数 y ? 3x ? x ? 2 在 x ?[1,3] 上单调增, ∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26 ∴函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ?[1,3] 的值域为 [4, 26]
2

(2)求复合函数的值域: 设 ? ? ? x ? 6 x ? 5( ? ? 0) ,则原函数可化为 y ?
2

?

cn

1 x ,由对数的定义有 ax ? x ? 0 ? at 2 ? t ? 0 ? at (t ? ) ? 0 . a 1 ? a ? 0, t ? 0, 解得 t ? 时原式有意义. a 1 2 1 1 1 2 ) ? (t ? ) 是以 t ? 又知 u (t ) ? at ? t ? a (t ? 为对称抽的抛物线, 2a 4a a 2a 1 1 1 1 且有 t ? ? ,即定义区间 t ? ( , ?? ) 在对称轴 t ? 的右侧.因抛物线开口向上,知 a 2a a 2a 1 u (t ) 在定义区间上单调递增,要使原函数在 x ?[2, 4] 上单调增,应 a ? 1 ,且 ? 2 ,解 a
【解析】设 t ?

3x ? 1 ; x?2

又∵ ? ? ? x ? 6 x ? 5 ? ?( x ? 3) ? 4 ? 4 ,
2 2

∴ 0 ? ? ? 4 ,故 u ? [0, 2] , ∴y?

? x2 ? 6 x ? 5 的值域为 [0, 2]

(3) 【法一】反函数法:

3x ? 1 2x ?1 的反函数为 y ? ,其定义域为 ? x ? R x ? 3? , x?2 x?3 3x ? 1 ∴原函数 y ? 的值域为 ? y ? R y ? 3? x?2 3 x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 ? ? 3? 【法二】分离变量法: y ? , x?2 x?2 x?2 7 7 ? 0 ,∴3+ ? 3, ∵ x?2 x?2 3x ? 1 ∴函数 y ? 的值域为 ? y ? R y ? 3? x?2 y?
(4)换元法(代数换元法) :设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t ,
2

∴原函数可化为 y ? 1 ? t ? 4t ? ?(t ? 2) ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 ,
2 2

∵ 1 ? x2 ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] , 则 y ? cos ? ? sin ? ? ∵ ? ? [0, ? ] ,∴ ? ? ∴ 2 sin(? ?

2 sin(? ?

4

)

?

? 5? ? 2 ? [ , ] ,∴ sin(? ? ) ? [? ,1] , 4 4 4 4 2

?
4

) ? [?1, 2] ,

∴原函数的值域为 [?1, 2]

??2 x ? 3, ( x ? ?4) ? (6)数形结合法: y ? x ? 1 ? x ? 4 ? ?5, (?4 ? x ? 1) , ?2 x ? 3, ( x ? 1) ?
∴ y ? 5, ∴函数值域为 [5, ??) (7)判别式法:∵ x2 ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R

ww w

.q

?

bx

(5)三角换元法:

t.

∴原函数值域为 (??,5]

cn

由y?

2 x2 ? x ? 2 2 得: ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 2 x ? x ?1



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3 x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根,
2

∴ ? ? ( y ? 1) ? 4 x( y ? 2) ? 0 , ∴ 1 ? y ? 5 且 y ? 2 ,
2 2

∴原函数的值域为 [1,5]

1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 (8) y ? ? ? x? ? x? ? 2 ? 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2
1 1 1 1 ? x ? ,? x ? ? 0 ? x ? ? ? 2 (x ? ) ? 2 2 2 2 x?1 2 (x ? 1 ) 2 2 1 2 1 2

(9) (法一)方程法:原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y ,

ww w

.q
1 1? y

bx
2

1 1? 2 1 当且仅当 x ? ? 2 时,即 x ? 时等号成立 2 2 x?1 2 1 1 ∴ y ? 2 ? ,∴原函数的值域为 [ 2 ? , ?? ) 2 2

∴ 1 ? y 2 sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y (其中 cos ? ?

t.
,sin ? ? y 1? y2
) ,
y 3 -1 O 2 x

∴ sin( x ? ? ) ?

1? 2 y 1? y2
2

?[?1,1] ,
2

∴ 1 ? 2 y ? 1 ? y ,∴ 3 y ? 4 y ? 0 ,∴ 0 ? y ? ∴原函数的值域为 [0, ]

4 , 3

4 3

例 15: (分段函数法及图像法)求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域 【解法一】将函数化为分段函数形式:

?? 2 x ? 1( x ? ?1) ? y ? ?3(?1 ? x ? 2) ?2 x ? 1( x ? 2) ? ,

cn

画出它的图象,由图象可知,函数的值域是{y|y ? 3} 【解法二】 (几何法或图象法)∵函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点-1,2 的距离之和,∴易见 y 的最小值是 3,∴函数的值域是[3,+ ? ] 如图
x -1 O 1 2 -1 Ox 1 2
-1 O 1 2x

★二、函数与方程导学 知识点 1、概念 定义 1:含有未知数的等式称为方程. 定义 2:含有未知函数的等式称为函数方程. 例如: (1) f ? x ? ? f ? ?x ? , (2) f ? x ? ? ? f ? ? x ? , (3) f ? x ? T ? ? f ? x ? (常数 T ? 0 ) , (4) f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ? 1 等,都是函数方程,其中 f ? x ? 是未知函数. 定义 3:如果函数 f ? x ? 在其定义域内的一切值均满足所给函数方程,那么称 f ? x ? 是该函数 方程的解. 函数方程的解可以是一个或几个,甚至可以是无限多个函数,例如上述方程(1) , (2) , (3) 的解分别是一切偶函数,一切奇函数,一切以 T 为周期的函数. 定义 4:寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程,叫做解函数方程. 2、函数方程的类型与方法

解函数方程不需要专门的知识,关键是要清楚它的类型和基本解题方法.

按问题的性质分,函数方程可分成三类: (1) 确定函数的表达式 (2) 确定满足函数方程的函数的性质 (3) 确定函数值 若按热点内容相对较集中,而彼此又有所区分来划分,则可分为六类: (1) 柯西方程 (2) 确定周期函数的方程 (3) 函数值与界的估算 (4) 连续型函数方程 (5) 离散型函数方程 (6) 函数方程解的存在性 方法 解函数方程所用的方法与技巧大致如下: (1)定义法(或拼凑法) :把所给函数的解析式,通过配方法、凑项等方法使之变形为关于 “ 自 变 量 ” 的 表 达 式 , 然 后 以 x 代 替 “ 自 变 量 ” 即 得 函 数 f ? x? 的 表 达 式 . 如 : 已 知
1? 1 ? f ? x ? ? ? x 2 ? 2 ,求 f ? x ? .因为 x? x ?

ww w

.q

1? ? 1? ? f ? x ? ? ? ? x ? ? ? 2 ,所以 f ? x ? ? x 2 ? 2, ? x ? 2 ? . x? ? x? ?

bx
2

类型

t.

cn

(2)换元法:将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量) ,然后找 出函数对中间变量的关系,从而求出函数的表达式.如:已知 f 2x ? x2 ? sin x ,求 f ? x ? .令

? ?

g l 2t t ? 0? 则 x ?o 2x ? t ,

? f ? t ? ? log 2 即 f ? x ? ? log 2 ?, 2 t ? sin ? log 2 t ? ? t ? 0 ? , 2 x ? sin ? log 2 x ? ,

? x ? 0? .
(3) 解方程组法: 将函数方程的变量 (或关系式) 进行适当的变量代换 (有时需几次代换) , 得到一个(或几个)新的函数方程,然后与原方程联立,解方程组,即可求出所求的函数. (4)待定系数法:此法适用于所求函数是多项式的情形.首先确定多项式的次数,设出它的 一般表达式,然后由已知条件,根据多项式的恒等定理确定待定系数. (5)赋值法:在函数定义域内,赋予变量一个或几个特殊值,使方程化简,从而使问题获 得解决. (6)反证法. (7)递推法:已知满足函数方程的函数定义在正整数集上时,常可先由函数方程得到一个 关于自然数 n 的递推公式,然后运用特殊的技巧求得函数方程的解. (8)柯西法:是一种“爬坡式”的推理方法,即首先求出自变量取正整数时,函数方程的 解,然后依次求出自变量取整数、有理数、实数时,函数方程的解. (9)构造法.

cn
?

(10)参数法:通过设参数、消参数得出函数的对应关系,从而求出 f ? x ? 的表达式.如已知

由(1)2+(2)消去 t ,得 y ? x 2 ? 4 x ? 8 ,即 f ? x ? ? x 2 ? 4 x ? 8 , x ? ?1,3? . 还有数学归纳法、函数迭代法和不动点等. 3、函数迭代的定义

0 设 f :D?D 是 一 个 函 数 , 对 任 意 的 x?D , 记 f ? ? ? x ? ? x, f ?1? ? x ? ? f ? x ? ,

f?

2?

? x ? ? f ? f ? x ?? ,?, f ? n?1? ? x ? ?

n 并称 n 为 f ? ? ? x ? 的迭代指数.

n ?n 如果 f ? ? ? x ? 有反函数,则记为 f ? ? ? x ? .于是迭代指数可取所有整数.

f?

n?

? x ? 的常用求法

n (1) 先猜后证法:先迭代几次发现规律,然后猜测 f ? ? ? x ? 的表达式,最后用数学归纳法

证明.如已知 f ? x ? ?

ww w

f f?

x x n ,求 f ? ? ? x ? ,先猜测 f ? n? ? x ? ? n , a ? bx a ? bx 1 ? a ? ? ? a n ?1

.q

?

n?

? x ? ? , n ? N * ,称 f ? n? ? x ? 为 f ? x ? 的 n 次迭代,

bx

t.

?cos t ? 2 ? x ? x ? 2 ? cos t ? f ? 2 ? cos x ? ? 5 ? sin 2 x ,求 f ? x ? .可设 ? ( t 为参数)则 ? 2 2 ? y ? 5 ? sin t ? ?sin t ? 5 ? y

?1? , ? 2?

?

然后再用数学归纳法证明. (2) 桥函数相似法(也简称为相似法或共轭法) :所谓桥函数,即若 f ? x ? ? ? ?1 ? g ? ? (其 中 ? ?1 为 ? 的反函数) ,则称 f 与 g 是相似的,并称 ? 为桥函数 . 由定义,显然有
f?
2?

? x ? ? g ? g ? x ? ? ? ?1 ? g ? ? ? ? ?1 ? g ? ? ? x ? ? ? ?1 ? g ? 2? ? ?













f?

n?

? x ? ? ? ?1 ? g ? n? ? ? .这样就把 f ? x ? 的几次迭代问题转化为 g ? x ? 的迭代函数 .这一

方法的关键是根据具体问题,选择合适的桥函数. (3) 不动点法: f ? x? ? x 的根称为 f ? x ? 的不动点,如果 x0 是 f ? x ? 的不动点,那么
f?
n?

? x0 ? ? x0 ,即 x0 也是 f ? n? ? x ? 的不动点.

0 (4) 递 归 法 : 设 f ? x ? 是 定 义 于 M 上 且 取 值 于 M 上 的 函 数 , 记 f ? ? ? x ? ? x ,

1 ? n ?1? f ? ? ? x? ? f ? x? , a ?,f ? n? ? x ? ? f ? a0 已知, a0 ? M , ? x ?? ?f ? .由此定义数列 ? n ? 满足:

an ? f ? an ?1 ? .于是有下面重要结论.
定理 1 设 f ? x ? 是定义于 M 上且取值于 M 上的函数, f ? n ? ? x ? 及数列 ?an ? 的意义

n 如上,则有 f ? ? ? x ? ? F ? x ? ? an ? F ? a0 ? .

常见的函数的 n 次迭代
n ① 若 f ? x ? ? x ? b ,则 f ? ? ? x ? ? x ? nb ;

③ 若 f ? x ? ? ax ? b ,则 f ?

n ④ 若 f ? x ? ? ax 2 ,则 f ? ? ? x ? ? a 2 ?1 x 2 ;
n n

n ⑤ 若 f ? x ? ? x k ,则 f ? ? ? x ? ? x k ;
n

⑥ 若 f ? x? ? ⑦ 若 f ? x? ? 典型例题:

x x ,则 f ? n ? ? x ? ? ; x ?1 nx ? 1 x x ,则 f ? n ? ? x ? ? . 1 ? bx 1 ? nbx

ww w
n?

n ② 若 f ? x ? ? ax ,则 f ? ? ? x ? ? a n x ;

? x ? ? an x ?

例 1:对任意整数 x ,函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 1? ?

.q
1 ? an b; 1? a
1 ? f ? x? 1 ? f ? x?
,若 f ?1? ? 2 ,则 f ? 2005? ? ______.

bx

t.

cn

【解】由 f ? x ? 1? ?

1 ? f ? x? 1 ? f ? x?

,得

1? 1? f ? x ? 2? ? 1? 1? 1? 1?

f f f f

? x? ? x? 1 ?? , x f ? x? ? ? ? x?

所以 f ? x ? 4 ? ? ?

1 ? f ? x? . f ? x ? 2?

故 f ? x ? 是以 4 为周期的函数,又 f ?1? ? 2 , 故 f ? 2005? ? f ? 4 ? 501 ? 1? ? f ?1? ? 2 . 例 2:设 f ? x ? 是定义在 R 上的实值函数,且满足

af ? x ? 1? ? bf ?1 ? x ? ? cx ,
其中 a , b, c 为实常数,求 f ? x ? . 【解】在已知方程中令 y ? x ? 1 并把 y 换成 x ,得

当 a2 ? b2 , c ? 0 时,方程无解;

当 a ? b ? 0 , c ? 0 时, f ? x ? 为任何奇函数; 当 a ? ?b ? 0 , c ? 0 时, f ? x ? 为任何偶函数; 当 a ? b ? c ? 0 时, f ? x ? 为可取实数集上任意实值函数. 例 3:求满足下列条件的所有的函数 f ? x ? 与 g ? x ? :

f ? x ? ? f ? y ? ? g ? x ? ? g ? y ? ? sin x ? cos y, x, y ? R .
【解】令 x ? y 代入题设方程,得 f ? x ? ?
sin x ? cos x ,所以 2

sin x ? cos x sin y ? cos y ? ? g ? x ? ? g ? y ? ? sin x ? cos y 2 2

ww w

当 a2 ? b2 时, f ? x ? ?

c c ; x? a ?b a?b

.q

于是 a2 ? b2 f ? x ? ? c ? a ? b ? x ? c ? a ? b ? .

?

?

bx

同理得 af ? ? x ? ? bf ? x ? ? c ?1 ? x ? .

t.

af ? x ? ? bf ? ? x ? ? c ? x ? 1? .

cn

1 1 1 1 得 g ? x ? ? sin x ? cos x ? g ? y ? ? sin y ? cos y . 2 2 2 2 1 1 令 h ? x ? ? g ? x ? ? sin x ? cos x ,因此对任意的 x, y ? R , h ? x ? ? h ? y ? ,所以 h ? x ? ? 常数, 2 2

从而推知
f ? x? ? sin x ? cos x sin x ? cos x , g ? x? ? ?C. 2 2

例4 : (柯西方程)设 f ? x ? 在 k 上单调,对任意 x, y ? k 有

f ? x ? y ? ? f ? x ? ? ? y ? ,??①
求函数 f ? x ? . 【解】令 y ? x ,得 f ? 2 x ? ? 2 f ? x ? . 令 y ? 2 x ,得 f ? 3x ? ? f ? x ? ? f ? 2 x ? ? 3 f ? x ? , 一般有 用

f ? nx ? ? nf ? x ?? n ? N ? ,

因此又有 f ? 0 ? x ? ? 0 ? f ? x ? .

令 y ? ? x ,得 0 ? f ? x ? ? ? x ? ? ? f ? x ? ? f ? ? x ?

? f ? ?x? ? ? f ? x?
于是对 ?r ? Q ,有 f ? rx ? ? rf ? x ? . 令 x ? 1 ,并记 f ?1? ? k ,于是对有理数 r ,有

又? f ? x ? 在 k 上单调,? 函数方程①的惟一解为 f ? x ? ? kx . 事实上,对无理数 x ,取 x 的不足近似有理数 rn 和过剩近似有理数 sn ,使得

ww w
f ? r ? ? rf ?1? ? kr ??②

? f ? 0? ? 0 .

.q

令 y ? 0 ,由①得

f ? x ? 0? ? f ? x ? ? f ? 0?

bx

?m ? ?1 ? m 于是对 n, m ? N ,有 f ? x ? ? mf ? x ? ? f ? x ? , ?n ? ?n ? n

t.

? x? 1 ? f ? ? ? f ? x? , ?n? n

cn

x 代 x ,得 n

? x? f ? n ? ? ? nf ? n?

? x? ? ?, ?n?

rn ? x, sn ? x ? n ? ? ?
不妨 k ? 0 ,于是有不等式

krn ? f ? rn ? ? f ? x ? ? f ? sn ? ? ksn
令 n ? ? ,则得到 f ? x ? ? kx . 即①的惟一解为 f ? x ? ? kx .

? x ? y ? f ? x? ? f ? y ? 例 5: 设 f ? x ? 在 k 上单调,且 f ? ,求 f ? x ? . ?? 2 ? 2 ?
【解】设 f ? 0? ? b ,由已知有

f ? x? ? f ? y? 2
得 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ? f ? 0? ,

? ? x ? y ? ? 0 ? f ? x ? y ? ? f ? 0? ? f? ?? 2 2 ? ?

【解】 f ?1? ? x ? ? f ? x ? ?

x , a ? bx

f

? 2?

x x , ? x ? ? f ? f ? x ? ? ? a ? bxx ? 2 a ? bx ?1 ? a ? a ?b? a ? bx

x a ? bx ?1 ? a ? x 3 2 , f ? ? ? x? ? f f ? ? ? x? ? ? 3 x a ? bx ?1 ? a ? a 2 ? a ?b? 2 a ? bx ?1 ? a ?

?

?

由此猜测: f ? n? ? x ? ?

x , a ? bx ?1 ? a ? ? ? a n ?1 ?
n

用数学归纳法易证上式成立. 三、三角函数导学

ww w
2

例 6:已知 f ? x ? ?

x n ,试求 f ? ? ? x ? 的表达式. a ? bx

.q

即 f ? x ? ? ax ? b .

bx

由柯西方程得 g ? x ? ? ax ? f ? x ? ? f ? 0 ?

t.

记 g ? x ? ? f ? x ? ? f ? 0 ? ,于是有柯西方程 g ? x ? 在 k 上单调,且 g ? x ? y ? ? g ? x ? ? g ? y ? ,

cn

即 f ? x ? y ? ? f ? 0? ? ? ? f ? x ? ? f ? 0 ?? ??? ? f ? y ? ? f ? 0 ?? ?.

知识点: 1、 三角函数的概念: 设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距离是

r r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?
2、同角三角函数的基本关系:

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

?sin
? 2?

2

? ? 1 ? cos2 ? , cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ;

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?
3、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? .

? 6 ? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

口诀:奇变偶不变,符号看象限. 4、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
函 性 质 数

ww w

.q
y ? cos x

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

bx

? 4? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .

t.

?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? .

cn

? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .

y ? sin x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Ζ ? 2 ? ?
R

值域

? ?1,1?
当 x ? 2 k? ?

? ?1,1?
当 x ? 2k? ? k ? Ζ? 时,

?
2

? k ? Ζ? 时,
?
2

最值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

? k ? Ζ? 时, ymin ? ?1 .
周期性 奇偶性 在 ? 2 k? ?

? k ? Ζ? 时, ymin ? ?1 .
2?
偶函数

2?
奇函数

?
奇函数

? ?

?
2

, 2 k? ?

??
2? ?
在 2k? ? ? , 2k?

?

? ? k ? Ζ?

? k ? Ζ? 上是增函数;在
单调性

上 是 增 函 数 ; 在

在 ? k? ?

? k ? Ζ? 上是减函数.
对 称 中

2

.q

对称性

对称轴 x ? k? ?

?

?k ? Ζ?

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? Ζ ? 2 ? ?

bx

对称中心 ? k? ,0?? k ? Ζ?

t.
心 对称中心 ? 无对称轴

? k ? Ζ? 上是减函数.

cn

? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

?2k? , 2k? ? ? ?

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ? Ζ? 上是增函数.

? k? ? , 0 ? ?k ? Ζ? ? 2 ?

关于周期函数,常用如下结论:

① 若 y ? f ? x ? 是以 T 为周期的函数, 则 y ? f ? x ? a ? ,y ? f ? ax ? b ?( a ? 0 ,a, b 为常数) 也是周期函数,且周期分别为 T ,
T ; a

② 设函数 y ? F ? u ? 是定义在 R 上的单调函数, u ? g ? x ? 是定义在 R 上的周期函数,则
? y?F? ? g ? x ?? 也是周期函数,且与 y ? g ? x ? 有相同的周期.

5、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: (1) cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; (2) cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

ww w

对称轴 x ? k? ? k ? Ζ ?

(3) sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; (4) sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; (5) tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

(6) tan ?? ? ? ? ?

6、二倍角的正弦、余弦和正切公式: (1) sin 2? ? 2sin ? cos ? . (2) cos 2? ? cos ( cos ? ?
2

2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) . 2 2

(3) tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

★8、万能公式:

?? ? ?? ? ?? ? 1 ? tan 2 ? ? 2 tan ? ? 2 tan ? ? ? 2 ? , cos? ? ? 2 ? , tan ? ? ?2? . sin ? ? ?? ? ?? ? ?? ? 1 ? tan 2 ? ? 1 ? tan 2 ? ? 1 ? tan 2 ? ? ?2? ?2? ?2?
9、辅助角公式: 如果 a, b 是实数且 a2 +b2 ? 0 ,则取始边在 x 轴正半轴,终边经过点(a, b)的一个角

i n β= 为 β, 则s

b a ?b
2 2

ww w
a a ?b
2 2

sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?? ? tan ? ? = ? = ? . sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?2?

.q

,cos β=

, 对任意的角 α:asin? +bcos? =

bx
(a 2 ? b 2 )

(1 ? cos? ) ?? ? cos ? ? = ? , 2 ?2?

sin(α+β). 10、和差化积与积化和差公式

t.

(1 ? cos? ) ?? ? sin ? ? = ? , 2 ?2?

cn

★7、半角公式:

?? ? ? ? ?? ? ? ? sin? ? sin? =2sin ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? sin? ? sin? =2sin ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? cos ? ? ? ? 2 ? ? ?, ?

?? ? ? ? ?? ? ? cos? ? cos ? =2cos ? ? cos ? ? 2 ? ? 2 ?? ? ? cos? ? cos ? =2sin ? ? 2
sin? cos? =

? ? sin ?

?? ? ? ? ? 2

? ?, ?

(这里有个小口角:一 cos 加一 cos 等于二 cos ;一 cos 减一 cos 等于二 sin )

① sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ; ② cos ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos2 ? ? sin2 ? ; ③ cos3? ? 4cos? cos 600 ? ? cos 600 ? ? ; ④ sin3? ? 4sin ? sin 600 ?? sin 600 ? ? ; ⑤ sin ? ? sin ? ? ?
? ? ? ?

?

? ?

2? 3

2? ? ? ? ? sin ? ? ? 3 ? ?

⑥ sin 2 ? ? sin 2 ? ? ? ⑦ sin 3 ? ? sin 3 ? ? ?
? ? ? ?

2? ? 2? ? 3 ? ? sin 2 ? ? ? ? ; ? 3 ? 3 ? ? ? 2 2? ? 2? ? 3 ? ? sin 3 ? ? ? ? ? ? 4 sin 3? ; 3 ? 3 ? ? ? 2? 3 2? ? 3? ? ? cos ? ? ? 3 ? ?
? 3 ? ? 4 cos 3? ; ?

⑧ cos3 ? ? cos3 ? ? ?

⑨定理(三角判别式) : 对于三角方程 a sin x ? b cos x ? c ? 0(0 ? x ? 2? , a, b不同时为零) ,则 Ⅰ方程有两个不同的解 ? ? ? 0 ; Ⅱ方程有唯一解 ? ? ? 0 Ⅲ方程无解 ? ? ? 0

ww w
? ??0; ?

?

? ?

.q
? ?

bx

t.

11、补充公式:

cn

1 [sin(? +? )+sin(? -? )] , 2 1 cos? sin ? = [sin(? +? )-sin(? -? )] , 2 1 cos? cos ? = [cos(? +? )+cos(? -? )] , 2 1 sin? sin ? =- [cos(? +? )-cos(? -? )] . 2

? ? a2 ? b2 ? c2
12、常用结论 (1) y ? sin x , y ? cos x 在 ? 0, 函数; (2)若 0 ? x ? (3) y ?

?? ? ?? 内是上凸函数, y ? tan x , y ? cot x 在 ? 0, ? 内是下凸 ? ? 2? ? 2?
?

?
2

,则 0 ? sin x ? x ? tan x ;

sin x ? ? ? tan x 在 ? 0, ? 上是减函数, y ? 上是增函数. x x ? 2?

13、三角函数图象的几种变换
横不变 ? y ? A sin x (1) 振幅变换: y ? sin x ????? 纵变为A倍

纵不变 ? y ? sin ? x (2) 周期变换: y ? sin x ????? 1 横变为 倍
?

向左或向右 (3) 相位变换: y ? sin x ????? ? y ? sin ? x ? ? ? ,当 ? ? 0 时向左移, ? ? 0 时向右移. 平移 ? 个单位

(上述 A 、 ? 均为正数) 典型例题:

【解法一】由已知 sin ? +sin ? =1????①,

.q

① 2 +②2 得 2+2cos (? ? ?) ?1;

( ? ? ?) ?? ∴ cos

① 2 -②2 得 cos2 ? +cos2 ? +2cos( ? ? ? )=-1,
即 2cos( ? ? ? ) 〔 cos (? ? ?) ? 1 〕=-1.∴ cos?? ? ? ? ? ?1 .

? 1 ????③ 2 2 ??? ??? cos ? 0 ????④ 由②得 2 cos 2 2 ??? ??? 1 ? tan 2 cot 2 ?1 ??? 2 ? 2 ? 0, ? cos?? ? ? ? ? ④÷③得 cot ? ?1 2 2 ? ? ? 2 ? ? ? 1 ? tan cot ?1 2 2
【解法二】由①得 2 sin

???

2 例 2:已知函数 f ( x) ? ? 3 sin x ? sin x cos x

ww w
cos

???

bx

下面的两种解法.

cos ? +cos ? =0????②,

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x)在x ? ?0,

t.
1 . 2

【分析】因为 既可看成是 ?与?的和,也可以 看作是 (? ? ?)

cn
???
2

(? ? ?)的值 . 例 1:已知 sin ? ? sin ? ? 1 , cos? ? cos ? ? 0 ,求 cos

的倍角,因而可得到

? ?? ? 的值域. ? 2?

2 【解析】 f ( x) ? ? 3 sin x ? sin x cos x ? ? 3 ?

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x 2 2

?
(I) T ?

1 3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? sin( 2 x ?

?
3

)?

3 2

2? ?? 2

(II)∴ 0 ? x ?

?
2



?
3

? 2x ?

?
3

?

4? 3



?

3 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 3

所以 f ( x) 的值域为: ?? 3 ,

? ?

2? 3? ? 2 ?
7 成立,那么角 A 是( 12


例 3:在△ABC 中,如果等式 sinA+cosA =

(A)锐角

(B)钝角

(C)直角

【解】当 A=90°时, sinA 和 cosA=1 ;

当 A=45°时, sinA+cosA ?

当 0<A<45°时, sinA >0,cosA>

∴ sinA+cosA >

2 2

∵ 2, 1,

7 2 都大于 . 12 2

ww w
2
2 2

∴ sinA+cosA >

2 2

.q

bx

当 45°<A<90°时 sinA >

2 , cosA >0, 2

t.

cn

【分析】对 A 分类,结合 sinA 和 cosA 的单调性用枚举法讨论.

∴淘汰(A) 、 (C) ,选(B) 例 4:求 y ?

sin x cos x 的值域. 1 ? sin x ? cos x

【解析】 设 t =sinx +cosx = 因为 ? 1 ? sin( x ? 所以 ? 2 ? t ?

? 2 ? 2 ? ? 2? ? 2 sin x ? 2 cos x ? ? 2 sin( x ? 4 ). ? ?

?
4

) ? 1,

2.

又因为 t 2 =1+2sinxcosx ,

x2 ?1 t 2 ?1 2 ? t ?1 , 所以 sinxcosx = ,所以 y ? 1? t 2 2
所以

? 2 ?1 ? y? 2

2 ?1 . 2

所以函数值域为 y ? ??

?

例 5:求函数 ( )

1 2

cos 2 x ? cos x

的值域.

【解析】令 u ? cos x ? cos x ? (cos x ? ) ?
2 2

? ?1 ? cos x ? 1, ∴当 cos x ?
当 cos x ? ?1 时, umax ? 2 .

??

1 1 1 ? u ? 2 .又 y ? ( )u 在 [ ? , 2] 上递减, 4 2 4
∴所求的值域为 [ , 4 2] .

1 1 ?1 ? ( )2 ? y ? ( ) 4 . 2 2
模拟真题:

题 1:已知函数 y=sinx+ 1 ? cos x ,求函数的最大值与最小值.
2

ww w
1 4
2

1 时, umin 2

【解析】令 sinx = 2 cos? , 1 ? cos x ?

.q
1 2 1 , 4 1 ?? ; 4

bx
3 ? ?? 2 sin ? ? ? 0 ? ? ? , 4 ? ?4

t.

?

2 ?1 ? ? 2 ? 1? ,?1? ?? ? 1, ?. ? ? 2 2 ? ? ?

cn

因为 t ? -1,所以

t ?1 ? ?1 ,所以 y ? -1. 2

则有 y= 2 cos? ? 因为

2 sin ? ? 2 sin(? ?

?
4

).

?
4

?0?

3 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? , 4 2 4

所以 0 ? sin(? ? 所以当 ? ? 当? ?

?

?
4

3 ? ? ,即 x=2kπ- (k∈Z)时,ymin=0, 4 2

4

) ≤1,

,即 x=2kπ+

? (k∈Z)时,ymax=2. 2

题 2:若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值. 【解析】 因为 sinA+sinB=2sin

A? B A? B A? B ? 2 sin cos , ① 2 2 2

sinC+sin

?
3

? 2 sin

C? 2

?
3 cos C? 2

C? 2

?
3 ? 2 sin

C? 2

?
3 ,


又因为 sin

所以 sinA+sinB+sinC≤3sin

当 A=B=C=

ww w

注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、 柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段. 题 3:已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且

.q
0

? 3 3 时, (sinA+sinB+sinC)max= . 3 2

cos

A?C 的值. 2
0

【解析】因为 A=120 -C,所以 cos

A?C 0 =cos(60 -C) , 2

1 1 1 1 cos(120 0 ? C ) ? cos C ? ? ? ? 又由于 cos A cos C cos(120 0 ? C ) cos C cos C cos(120 0 ? C )
=

2 cos 60 0 cos(60 0 ? C ) 1 [cos120 0 ? cos(120 0 ? 2C )] 2

?

2 cos(60 0 ? C ) 1 cos(120 ? 2C ) ? 2

bx
1 1 2 ,试求 ? ?? cos A cos C cos B

t.
? ?2 2 ,

? 3 3 = , 3 2

cn

4 ? ? 由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin ≤4sin , 3 3

A? B ? sin 2

?
3 ? 2 sin

A? B?C ?

?
3 cos

A? B?C ? 4

?

3 ? 2 sin ? ,③ 3

所以 4 2 cos

2

A?C A?C ? 2 cos ? 3 2 =0. 2 2

解得 cos

A?C 3 2 A?C 2 或 cos . ?? ? 2 8 2 2

又 cos

A?C A?C 2 >0,所以 cos ? 2 2 2

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ww w

.q

bx

t.

cn


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