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2006年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题


2006 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
2006 年 4 月 16 日 本卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟 三 15 16 17

题号 得分





总分

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分。 选择题: 小题, 题号 答案 1、设A到B的映射 f:x → y=(x-1) 2 ,若集合 A = {0,1,2},则集合 B 不可能是(▲) ... A、 {0,1} B、 {0,1,2} C、 {0,?1,2} D、 {0,1,?1} 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 评卷人

2、若命题P: ( ) A、充分不必要

1 2

x ?1

< 4 ;Q: log ( x ?1) 4 < 0 ,则命题 ? P是 ? Q成立的(▲)条件
B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

3、设 sin(π ? 2) = a ,则 tan(

π
2

? 2) 的值为(▲)
C、

A、

a 1? a2

B、 ?

a 1? a2

1? a2 a

D、 ?

1? a2 a

4、将长度为 1 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形与一个圆形,则当它们的面积之积最大时, 正方形与圆的周长之比为(▲) A、 1 : 1 B、 π : 4 C、 4 : π D、 2 : π

5、设正整数集 N ? ,已知集合 A = x | x = 3m, m ∈ N ? , B = x | x = 3m ? 1, m ∈ N ? ,

{

}

{

}

C = x | x = 3m ? 2, m ∈ N ? ,若 a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C ,则下列结论中可能成立的是(▲)
A、 2006 = a + b + c C、 2006 = a + bc B、 2006 = abc D、 2006 = a (b + c )

{

}

6、用“十四进制”表示数时,满十四进前一位。若在“十四进制”中,把十四个数码从小到大依 次记为 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十,J,Q,K;则在“十四进制”中的三位数 JQK 化成“二进制”数时

高一数学竞赛试卷 第 1 页(共 6 页)

应为(▲)位数。 A、13 B、12 C、11 D、10

?1, x为有理数 , xf ( x ) ≤ g ( x ) 对于一切 x ∈ R 都成立, 若 则函数 g ( x ) 可以是 (▲) 7、 设函数 f ( x) = ? ?0, x为无理数
A、 g ( x ) = sin x B、 g ( x ) = x C、 g ( x) = x
2

D、 g ( x) = x

8、如图,请观察杨辉三角(杨辉是我国南宋时期的数学家)中各数排列的特征,其中沿箭头所示 的数依次组成一个锯齿形数列:1、1、2、3、3、6、4、 10 、 5 、 … … , 设 此 数 列 的 前 n 项 和 为 Sn , 则 1 1 1 2 3 3 1 1 1 1 A、502501 C、502503 B、520502 D、以上都不对 1 … 1

S 2004 ? 2 S 2005 + S 2006 等于(▲)

4 6 4 1 5 10 10 5 1 … … … … … …

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 8 分,共 48 分。 填空题: 9、现定义 A ? B = {x | x ∈ A, 但x ? B} ,若 A = { ,2,3,4,5}, A ? B = { ,2,3}, 1 1 则集合 B 可以是___________(写出一个即可).

得分

评卷人

10、 在等差数列 {a n } 中, S 9 = 18, a n ? 4 = 30, S n = 240 ,则正整数 n 的值为_________________. 若 11、某安全部门为了保证信息安全传输,采用一种密钥密码系统,其加密、解密原理如下图: 加密密钥密码 明文 密文 发送 密文 解密密钥密码 明文

现设解密密钥为: x → y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ,如上所示,若密文“3”通过解密后得到明文“8” , 则当输入方输入明文为“4”时,接受方所得密文应为“ ” .

12、设 [a ] 表示不超过 a 的最大整数,则对函数 y = x ? [ x]( x ∈ R ) 在定义域内有以下判断: (1) 存在最大值与最小值; (2)是周期函数; (3)是增函数; (4)是偶函数。 其中正确的有___________(填上相应的序号即可) 。 13、 若函数 f ( x ) = 4 cos 2 ( x + θ ) + 4 3 sin( x + θ ) cos( x + θ ) ? 2 的图象关于原点对称, 则实数 θ

高一数学竞赛试卷 第 2 页(共 6 页)

的最小正值为_________________。 14、若不等式 0 < ax + bx + c < 1 的解集为 (0,1) ,则实数 a 的取值范围是_________。
2

小题, 三、解答题:本大题共 3 小题,共 54 分。 解答题: 15、 本题满分 16 分)已知函数 f ( x ) = log a ( x 2 ? a | x | +3), ( a > 0, a ≠ 1) . ( (1)若 a = 4 ,写出它的单调递增区间; (2)若对于 ? 1 ≤ x1 < x 2 ≤ ?

得分

评卷人

1 的任意实数 x1 , x2 都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 0 成立,试求实数 a 的范围. 2

16、 本题满分 18 分)如图,已知 ?ABC ,BC=9 cm ,现有两个质点甲、乙 ( 同时从 C 点出发,甲沿路线 C → B → A 以每秒 2 cm 的速度匀速向前移动,

得分

评卷人

乙沿路线 C → A 以每秒 1 cm 的速度匀速向前移动,当甲到达 B 点时,乙到达 D 点,并满足

CD 3 = ,最后它们同时到达 A 点。 CA 8
(1)试判断 ?ABC 的形状; (2)设在 t 时刻,甲、乙分别到达 E、F 处,试确定 ? CEF 的面积 S 与 t 的关系,并求出 S 的最 大值。

B

A

D

C

高一数学竞赛试卷 第 3 页(共 6 页)

17、 本题满分 20 分)已知函数 f ( x ) = (

x +1? a , a ∈ R 。利用函数 y = f (x) a?x

得分

评卷人

构造一个数列 {x n } ,方法如下:对于定义域中给定的 x1 ,令

x 2 = f ( x1 ), x3 = f ( x 2 ), ? , x n = f ( x n?1 )(n ∈ N ? ) ,…
如果取定义域中任一值作为 x1 ,都可以用上述方法构造出一个无穷数列 {x n } 。 (1)求实数 a 的值; (2)若 x1 = 1 ,求 ( x1 + 1)( x 2 + 1) ? ( x n + 1) 的值; ( 3 ) 设 Tn = ( x1 + 1)( x 2 + 1) ? ( x n + 1)( n ∈ N ) , 试 问 : 是 否 存 在
?

n

使 得

Tn + Tn+1 + ? + Tn + 2006 = 2006 成立, 若存在, 试确定 n 及相应的 x1 的值;若不存在, 请说明理由?

高一数学竞赛试卷 第 4 页(共 6 页)

2006 年温州市高一数学竞赛参考答案与评分标准
一、选择题(每小题 6 分,共 48 分) 选择题( 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C

二、填空题(每小题 8 分,共 48 分) 填空题( 9、 {4,5}或 {4,5,6}等 三、解答题(共 54分) 解答题( 4 15、解(1)所求函数的单调递增区间为 (?1,0] 与 (3,+∞) (2)易知已知函数为偶函数,则当 x ∈ [ ,1] 时为减函数。 对于 x ∈ [ ,1] 时, f ( x ) = log a ( x 2 ? ax + 3), (a > 0, a ≠ 1) —————8 分
2 设 g ( x) = x ? ax + 3 ,

10、15

11、2

12、 (2)

13、

5π 12

14、 (?4,4)

—————6 分

1 2

1 2

? ?0 < a < 1 ?a > 1 ? ? a ?a 1 ? 由题意得: ?1 ≤ , 或? ≤ ?2 2 ? 2 g (1) > 0 ? ? 1 ? ?g ( 2 ) > 0 ?
则2 ≤ a < 4或0 < a <1 16、解(1)如图,由题意可得: CD =

—————14 分

—————16 分

9 ,则 AC=12,从而可得 AB=15,则 ? ABC 是以 AB 为 2

斜边的直角三角形。 —————6 分 ( 2 ) 当 甲 在 C → B 的 过 程 中 时 , ? CEF 是 直 角 三 角 形 , 则 它 的 面 积 为

1 9 ? t ? 2t = t 2 (0 < t ≤ ) , 2 2 当甲在 B → A 的过程中时,易知 EF//BD, S1 =
可知 ∠CFE = ∠ADB = arctan 2 ,令 CF = t ( 则 AF = 12 ? t , 由 EF//BD 得 FE = 故

—————10 分

9 < t < 12) , 2
A F

B E

3 5 (12 ? t ) , 5
的 面 积

D

C

?

CEF

S2 =

1 3 108 FE ? FC ? sin ∠CFE = ? (t ? 6) 2 + , 2 5 5

高一数学竞赛试卷 第 5 页(共 6 页)

9 ?2 ?t ,0 < t ≤ 2 ? 故S = ? ?? 3 (t ? 6) 2 + 108 , 9 < t < 12 ? 5 5 2 ?
易知当 t =

————16 分

9 81 108 81 108 > ,故 ? CEF 的面积的最大值为 时有最大值 ;当 t = 6 时有最大值 。 2 4 5 4 5

——18 分 17、 (1)求证: (1)解:根据题意可知, xi ≠ a (i = 1,2,3, ?) ,则 x ≠ a ,且方程

x +1? a = a 无解, ——2 分 a?x

即当 x ≠ a 时方程 (1 + a ) x = a 2 + a ? 1 无解 由于 x = a 不是方程 (1 + a ) x = a 2 + a ? 1 的解
2 所以对于任意 x ∈ R, (1 + a ) x = a + a ? 1 无解。

则 a + 1 = 0 ,且 a + a ? 1 ≠ 0 ,故 a = ?1 。
2

—————6 分

(2)当 a = ?1 时,对于 x1 ≠ ?1 ,有 x 2 = f ( x1 ) = ?
?

x1 + 2 x +2 , x3 = f ( x 2 ) = ? 2 = x1 x1 + 1 x2 + 1

同理得 x n + 2 = x n 对一切 n ∈ N 都成立,即数列 {x n } 是一个以 2 为周期的周期数列。 ——10 分 则 x 2 n ?1 = 1, x 2 n = ?

3 , 2

?2, n = 4k ? 3 ?? 1, n = 4k ? 2 ? (k ∈ N ? ) 故 ( x1 + 1)( x 2 + 1) ? ( x n + 1) = ? ?? 2, n = 4k ? 1 ?1, n = 4k ?
解法二:由上可知, x n +1 = f ( x n ) = ?

—————12 分

xn + 2 ,则 ( x n + 1)( x n +1 + 1) = ?1 ,从而可得出结果。 xn + 1

?1 + x1 , n = 4k ? 3 ?? 1, n = 4k ? 2 ? (3)由(2)易知: Tn = ? (k ∈ N ? ) ?? (1 + x1 ), n = 4k ? 1 ?1, n = 4k ?
?

—————14 分

则 Tk + Tk +1 + Tk + 2 + Tk + 3 = 0( k ∈ N ) ,若 Tn + Tn +1 + ? + Tn + 2006 = 2006 , 则 Tn + Tn +1 + Tn + 2 = 2006( n ∈ N ) ,
?

高一数学竞赛试卷 第 6 页(共 6 页)

又 Tn + Tn +1 + Tn + 2

?1 + x1 , n = 4k ?? 1, n = 4k ? 3 ? =? (k ∈ N ? ) ? (1 + x1 ), n = 4k ? 2 ? ?1, n = 4k ? 1 ?

—————18 分

故当 n = 4k , x1 = 2005 或 n = 4k ? 2 , x1 = ?2007 时 Tn + Tn +1 + ? + Tn + 2006 = 2006 —20 分

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