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2016淮北二模数学文科试题(含答案)4.16


淮北市 2016 届高三第二次模拟考试数学试题(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。考生要认真核 对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。 2.第 1 卷每小题选出答案后

,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选出其他答案标号。第 II 卷用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作 答,在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x x ? 1 ? 2, x ? R} ,集合 N ? {?1,0,1,2,3},则 M ? N ? ( A. {0,1,2} B. )

{?1,0,1,2}

C.

{?1,0,2,3}

D.

{0,1,2,3}
( )

2. 已知 sin( ? ? ? ) ? ?2 sin( A.

?
2

? ? ) ,则 tan ? 的值为

1 1 B. 2 C. ? D. ? 2 2 2 3. “ m ? ?1 ”是“直线 mx ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 与直线 3x ? m y ? 3 ? 0 垂直”的(
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 4.已知数列 {an } 满足: an?1 ? 2an ? 0 ,且 a 2 ? 2 ,则 {an } 前 10 项和等于 ( )



D. 既不充分也不必要条件

A.

1 ? 210 3

B. ?

1 ? 210 3

C. 2

10

?1

D. 1 ? 2

10

5. 以双曲线

1 x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点为焦点,离心率为 的椭圆的标准方程为( 2 3
B.



x2 y2 ? ?1 A. 12 16

x2 y2 ? ?1 12 8

C.

x2 y2 ? ?1 16 12


D.

x2 y2 ? ?1 8 12

6.函数 y ? x sin x ? cos x 的图像大致为 (

A
数学试题 第 1 页

B
2016 届高三二模

C

D

7.欧阳修《卖油翁》中写到: (翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔 入,而钱不湿. 可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止. 若铜钱是直径为3cm的圆,中 间有边长为1cm的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计) ,则油滴正好落入 孔中的概率是 ( ) A.

3? 4

B.

4 3?

C.

9? 4

D.

4 9?

8.若执行如图所示的框图,输入 x1 ? 1, x2 ? 2, x3 ? 3, x ? 2, 则输出的数 S 等于( ) B.1 D.

2 A. 3 1 C. 3

1 2

y ?1 ? ? 9.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是( ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A.3 B.1 C.



?3

D.不存在

10.在 ?ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 BC ? 3CD ,点 O 在线段 CD 上(与点 C , D 不 重合) ,若 AO ? x AB ? (1 ? x) AC ,则 x 的取值范围是 ( A )

1 ( 0, ) 3

B

1 (0, ) 2

C

1 ( ? ,0 ) 3

D

1 ( ? ,0 ) 2
( )

11.一个三棱锥的三视图如图所示:则该棱锥的外接球的体积为

3

数学试题

第 2 页

2016 届高三二模

5 主视图

左视图

A. 1000 2?

B. 125 2?

C.

1000 2? 3

D.

125 2? 3
4

12. 已 知 y ? f ( x) 为 定 义 在 R 上 的 单 调 递 增 函 数 , 导函数,若对任意 x ? R 的总有

俯视图

y ? f ' ( x) 是 其


f ( x ? 1) ? x ,则下列大小关系一定正确的是( f ' ( x ? 1)
C.

A.

f (e) f (? ) ? e ?1 ? ?1

B.

f (e) f (? ) ? e ?1 ? ?1

f (e) f (? ) ? e?2 ? ?2

D.

f (e) f (? ) ? e?2 ? ?2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号位置上. 13.已知复数 z ? 14.函数 f ( x ) ?

1? i ,则 z ? 2 ? 2i

ex 的单调递减区间是 x

15.过点 ( 2,0) 引直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点,当 ?AOB 面积取最大 值时,直线 l 的斜率为 16. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若

Sn 为常数, 则称数列 {an } 为 “精致数列” .已知等差数列 {bn } S 2n

的首项为 1,公差不为 0,若数列 {bn } 为“精致数列” ,则数列 {bn } 的通项公式 为

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中,边 a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,且满足
2sin B ? sin A ? sin C ,设 B 的最大值为 B0 .

(Ⅰ)求 B0 的值; (Ⅱ)当 B ? B0 , a ? 3, c ? 6 时,又 AD ?
1 DB ,求 CD 的长. 2

18. (本题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平
C1



ABC , D 、 E 分别为 A1 B1 、 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,
A1 D B1

1 且 AF ? AB . 4
E

数学试题

第 3 页

2016 届高三二模

C

A

F

B

(Ⅰ)求证: EF // 平面 BDC1 ; (Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 1 : 15, 若存在,指出点 G 的位置;若不存在,说明理由.

19. (本题满分 12 分)为了传承经典,促进课外阅读,某市从高中年级和初中年级各随机抽取
40 名同学进行有关对“四大名著”常识了解的竞赛。下图 1 和图 2 分别是高中和初中年级参加竞 赛的学生成绩按 [40,50),[50,60),[60,70),[70,80) 分组,得到频率分布直方图 (I)若初中年级成绩在 [70,80) 之间的学生中恰有 4 名女同学,现从成绩在该组的初中年级的学 生任选 2 名同学,求其中至少有 1 名男同学的概率; (II)完成下列 2 ? 2 列联表,并回答是否有 99% 的把握认为“两个学段的学生对”四大名著”的 了解有差异”?

图 1(高中) 成绩小于 60 分 人数 初中年级 高中年级 合计 成绩不小于 60 分人 数

图 2(初中) 合计

n(ad ? bc)2 附: K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

临界值表:

P( K 2 ? k0 )
k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

数学试题

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20.(本题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 , (a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0) , a2 b2

其短轴长是 2 3 ,原点 O 到过点 A(a,0) 和 B(0,?b) 两点的直线的距离为 (I)求椭圆 C 的方程;

2 21 。 7

(II)若点 P, Q 是定直线 x ? 4 上的两个动点,且 F1 P ? F2Q ? 0 ,证明以 PQ 为直径的圆过定点, 并求定点的坐标.

21. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 g ( x) ? (2 ? a) ln x , h( x) ? ln x ? ax2 (a ? R ) , 令

f ( x) ? g ( x) ? h' ( x) .
(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)当 ? 3 ? a ? ?2 时,若对任意 ?1 , ?2 ?[1,3] ,使得 | f (?1 ) ? f (?2 ) |? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 恒成 立,求 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题 号.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
已知在 ?ABC 中,AB ? AC , 以 AB 为直径的圆 O 交 BC 于 D , 过D点 作圆 O 的切线交 AC 于 E .求证: (1) DE ? AC ; (2) BD ? CE ? CA 。
2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
1 ? x ? 1 ? t, ? ? 2 (t 为参数), 曲线 C : ? x ? cos ? , 已知直线 l : ? 1 ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ?
数学试题 第 5 页

( ? 为参数).

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(I)设 l 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ; (II)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

3 1 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 C2 ,设点 2 2

P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ?

1 的解集; 2

(Ⅱ)若对任意 a ??0,1? ,不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集,求实数 b 的取值范围.

数学试题

第 6 页

2016 届高三二模

2016 二模文科答案
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 D 7 D 8 A 9 C 10 C 11 D 12 B

二、填空题: 13.

1 2

14. (??,0) 和 (0,1)

( 或写成 (??,0) 和 (0,1] )

15. ?

3 3

16. bn ? 2n ? 1, (n ? N ? )

三、解答题 17.解: (Ⅰ)由题设及正弦定理知, 2b ? a ? c ,即 b ?
a?c .由余弦定理知, 2

cos B ?

a ?c ?b ? 2ac
2 2 2

a 2 ? c 2? (

a?c 2 ) 2 2 3(a ? c )? 2ac 3(2ac) ? 2ac 1 2 ? ? ? 2ac 8ac 8ac 2



? y ? cos x 在 (0, ? ) 上单调递减,? B 的最大值 B0 ?

? . 3

6分

(II)
? B ? B0 ?

?, 3,c c? ?2, 6? , a ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 3,
3

? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? C ?

?
2

, ?b ? 3 3

又 AD ? 2 在 ?ACD 中由余弦定理得: CD ? 13
1 4

12 分
C1 A1 D B1

18.解: (I)证明:取 AB 的中点 M,? AF ? AB ? F 为 AM 的中点,
又? E 为 AA1 的中点,? EF // A1M 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,
? A1 D // BM , A1 D ? BM , ? A1 DBM 为平行四边形,? A1 M // BD
? EF // BD,
? BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D ? EF // 平面 BC1 D
G E C

………6 分

A

F

M

B

(II)设 AC 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为 1︰15,
数学试题 第 7 页 2016 届高三二模

则 VE ? AFG : VABC ? A B C ? 1:16
1 1 1

1 1 ? AF ? AG sin ?GAF ? AE VE ? AFG ? ?3 2 1 VABC ? A1B1C1 AB ? AC ? sin ?CAB ? A1 A 2 1 AG 1 AG 3 ? ? ? , ? ? , 24 AC 16 AC 2 所以符合要求的点 G 不存在

1 1 1 AG 1 AG ? ? ? ? ? ? 3 4 2 AC 24 AC
? AG ? 3 AC ? AC 2

…………….12 分

19. 解: (I) P ?
2

3 5

80? (20?12 ? 28? 20) 2 10 ? (II) K ? 40? 40? 48? 32 3



10 ? 2.076 ,知只有 90 % 的把握认为“两个学段的学生对”四大名著”的了解有差异” 3

20. 解:(Ⅰ)由 2b ? 2 3 ,得 b ? 3 再由 d ?

2 21 ,得 a ? 2 7
x2 y2 ? ?1 4 3

椭圆 C 的方程

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知: F1 (?1,0), F2 (1,0) 设 直 线 PF1 斜 率 为 k , 则 直 线 PF1 的 方 程 为 : y ? k ( x ? 1) , 直 线 PF2 的 方 程 为 :

1 3 y ? - ( x ? 1) ,令 x ? 4 得: P ( 4,5k ), Q ( 4,? ) k k
于是以 PQ 为直径的圆的方程为: ( x ? 4)( x ? 4) ? ( y ? 5k )( y ? ) ? 0 即: ? 5 y k ? ( x ? y ? 8x ? 1)k ? 3 y ? 0
2 2 2 2

3 k

令 y ? 0 ,得 x ? 4 ? 15 或 x ? 4 - 15 圆过定点 , (4 ? 15 , 0) (4 - 15, 0)

数学试题

第 8 页

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21. 解:(Ⅰ)依题意, h ' ( x) ?

1 1 ? 2ax ,所以 f ( x) ? (2 - a) ln x ? ? 2ax ,其定义域为 (0,??) x x

当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ?
'

1 2 1 2x ?1 ' , f ( x) ? ? 2 ? x x x x2

1 1 1 ' ' ,当 0 ? x ? 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? 时, f ( x) ? 0 2 2 2 1 1 所以当 x ? 时, f ( x) 有极小值 f ( ) ? 2 ? ln 2 ,无极大值。 2 2 1 a(2 x ? 1)(x ? ) 2 2 ? a 1 2 ax ? ( 2 ? a ) x ? 1 ' a ,x ?0 ? 2 ? 2a ? ? (Ⅱ) f ( x) ? 2 2 x x x x 1 1 1 ' 当 ? 3 ? a ? ?2 时, ? ? ? ,故当 x ?[1,3] 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 [1,3] 3 a 2 1 单调递减,此时 f ( x) max ? f (1) ? 2a ? 1 , f ( x) min ? f (3) ? (2 ? a) ln 3 ? ? 6a 3 1 | f (?1 ) ? f (?2 ) |max ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? [( 2 ? a) ln 3 ? 2 ln 3 ? ? 6a] = 3 2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3 2 依题意,只需 (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? ? 4a ? (a ? 2) ln 3 3 2 2 ?4 即: ma ? ? 4a ? m ? 3 3a 13 2 38 ? ?4? ? 而当 ? 3 ? a ? ?2 , ? ? 3 3a 9 13 ?m?? 3
令 f ( x) ? 0 ,解得: x ?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写 清题号.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
证明: (I)连 OD ,则 ?ABD ? ?ODB ? ?ACD 得 OD // AC ,又 DE 为切线, 所以 OD ? DE 得 DE ? AC 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 (II)由(I)得 D 为 BC 中点, 所以 AD ? BC (或有直径上圆周角得) 所以 DC ? CE ? AC (射影定理)
2

有 BD ? DC
数学试题 第 9 页 2016 届高三二模

得 BD ? CE ? CA
2

。 。 。 。 。 。 。 。10 分

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
解: (I) ? 的普通方程为 y ?

3 ( x ? 1), C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 联立方程组

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B ( ,? ) ,则 | AB |? 1 . ? ?5 分 ? 2 2 2 2 ? ? x ? y ? 1,
? ?x? (II)C2 的参数方程为 ? ? ?y ? ? ? 1 cos ? , 1 3 2 sin ? ) ,从而点 P 到 (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos ? , 2 2 3 sin ? . 2

3 3 cos ? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 直线 ? 的距离是 d ? 2 ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] ,由此当 2 4 4 6 ? ( 2 ? 1) .??? ?10 分 sin(? ? ) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 4 4 |
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 1 1 (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ? x ? ? 等价于 x ? 1 ? x ? .????????1 分 2 2 1 ①当 x ? ?1 时,不等式化为 ? x ? 1 ? x ? ,无解; 2 1 1 ②当 ?1 ? x ? 0 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? ,解得 ? ? x ? 0 ; 2 4 1 ③当 x ? 0 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? ,解得 x ? 0 .??????????3 分 2
综上所述,不等式 f ?x ? ? 1 的解集为 ? ?

? 1 ? , ?? ? .????????????4 分 ? 4 ?

(Ⅱ)因为不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集,所以 b ? ? ? f ? x ?? ? max .???????5 分 以下给出两种思路求 f ? x ? 的最大值. 方法 1:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1? a 当x??

? 0 ? a ? 1? ,

a 时, f ? x? ? ?x ? a ? x ? 1? a ? ? a ? 1? a < 0 .

当?

a ? x ? 1 ? a 时, f ? x? ? x ? a ? x ? 1? a ? 2x ? a ? 1? a
? 2 1- a + a -

1- a = a + 1- a .

当 x ? 1 ? a 时, f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? a ? 1? a .
数学试题 第 10 页 2016 届高三二模

所以 ? ? f ? x ?? ? max ?

a ? 1 ? a .????????????????????7 分

方法 2:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? x ? a ? x ? 1? a ? a ? 1? a

? a ? 1? a ,
当且仅当 x ? 1 ? a 时取等号. 所以 ? ? f ? x ?? ? max ?

a ? 1 ? a .????????????????????7 分

因为对任意 a ??0,1? ,不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集, 所以 b ? ? a ? 1 ? a ?

?

? max .?????????????????????8 分

以下给出三种思路求 g ? a ? ? a ? 1 ? a 的最大值. 方法 1:令 g ? a ? ? a ? 1 ? a , 所以 g 2 ? a ? ? 1 ? 2 a 1 ? a ? 1 ? 当且仅当 a ? 1 ? a ,即 a ? 所以 ? ? g ? a ?? ? max ?

? a? ??
2

1? a

?

2

? 2.

1 时等号成立. 2

2.

所以 b 的取值范围为

?

2, +? .???????????????????10 分

?

方法 2:令 g ? a ? ? a ? 1 ? a , 因为 0 ? a ? 1 ,所以可设 a ? cos ? ? 0 ? ? ?
2

? ?

?? ?, 2?

则 g ?a? ?

?? ? a ? 1 ? a ? cos ? ? sin ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 , 4? ?
? 时等号成立. 4

当且仅当 ? ?

所以 b 的取值范围为

?

2, +? .???????????????????10 分

?

方法 3:令 g ? a ? ? a ? 1 ? a , 因为 0 ? a ? 1 ,设 í

ì ? ? x = a, 2 2 则 x + y = 1 (0 #x 1,0 #y ? ? ? y = 1- a ,
数学试题 第 11 页 2016 届高三二模

1) .

问题转化为在 x2 + y 2 = 1 (0 #x 求 z = x + y 的最大值.

1,0 #y 1) 的条件下,

y

利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为 2 ,

2 此时 x = y = . 2
所以 b 的取值范围为

O

x

?

2, +? .???????????????????10 分

?

数学试题

第 12 页

2016 届高三二模


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