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一元二次不等式及其解法作业(含答案)


一元二次不等式及其解法
一、选择题
1.不等式(x+5)(3-2x)≥6 的解集是 ( ) 9 9 9 9 A.{x|x≤-1 或 x≥ } B.{x|-1≤x≤ } C.{x|x≤- 或 x≥1} D.{x|- 2 2 2 2 ≤x≤1} 2 2 解析:因为不等式(x+5)(3-2x)≥6 可化为 2x +7x-9≤0,而 2x +7x-9=0 的两根 9

9 2 为 x1=- ,x2=1,所以函数 f(x)=2x +7x-9 与 x 轴的交点为(- ,0),(1,0),又 2 2 2 函数 f(x)=2x +7x-9 的图象开口向上, 所以不等式(x+5)·(3-2x)≥6 的解集是{x| 9 - ≤x≤1}.答案:D 2 2 2 2.设 A={x|x -2x-3>0},B={x|x +ax+b≤0},若 A∪B=R,A∩B=(3,4],则 a+b 等 于 ( ) A.7 B.-1 C.1 D.-7 解析:A=(-∞,-1)∪(3,+∞), ∵A∪B=R,A∩B=(3,4],则 B=[-1,4], ∴a=-(-1+4)=-3,b=-1×4=-4, ∴a+b=-7.答案:D 2 3.若 ax +x+a<0 的解集为?,则实数 a 取值范围 ( ) 1 1 1 1 1 1 A.a≥ B.a< C.- ≤a≤ D.a≤- 或 a≥ 2 2 2 2 2 2 2 解析:∵ax +x+a<0 的解集为?,

?a ? 0 1 ?? ,? a ≤ . 答案:A 2 ??≤ 0 x?2 4.不等式 ≤0 的解集是( ) x ?1
A.(-∞,-1) ∪ (-1,2 ] D.(-1,2] 解析:由 B. [ -1,2 ] C.(-∞,-1) ∪ [ 2,+∞)

?( x ? 2)(x ? 1) ? 0, x?2 ? 0, 得 ? x ?1 ? x ? 1 ? 0.
( B.(-1,1) ) C.(-2,1)

所以不等式的解集为(-1,2].答案:D 2 5.不等式|x -x|<2 的解集为 A.(-1,2) D.(-2,2) 2 解析:∵|x -x|<2, ∴-2<x -x<2,即 ? 答案:A
2

? ? ? x ? R, ? x ? x ? 2 ? 0, 解得 ∴x∈(-1,2),故选 A. ? 2 ? 1 ? x ? 2 , ? x ? x ? 2 ? 0 . ? ?

6.已知集合 A={x|3x-2-x <0},B={x|x-a<0},且 B A,则实数 a 的取值范围是( ) A.a ≤ 1 B.1 < a ≤ 2 C.a > 2 D.a≤2 2 2 解析:不等式 3x-2-x <0 化为 x -3x+2>0 ? x>2 或 x<1,由不等式 x-a<0,得 x<a.要使

2

B A,则 a≤1.答案:A 二、填空题 2 2 7.若关于 x 的方程 x +ax+a -1=0 有一正根和一负根,则 a 的取值范围为 . 2 2 解析:令 f(x)=x +ax+a -1,∴二次函数开口向上,若方程有一正一负根,则只需 f(0)<0,即 a2-1<0,∴-1<a<1.答案:-1<a<1 8.不等式 2 解析:
3 x ? ?1 x

?

1 的解集为__________________. 2

2

3 x ? ?1 x

x ? ?1 1 3 x 2 ? 2x ? 3 ( x ? 3)(x ? 1) ?2 x ? ?2 ? 2 ? x ? ? 1 ? ?1 ? ?0? ?0?x 2 x x x

3

∈(-∞,-3]∪(0,1].答案:(-∞,-3]∪(0,1] 三、解答题 1. 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 解:(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2) 内,画出示意图,得 1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? m ? R, ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ? 5 1 ? ? ?? 1 ∴? ?m?? . ? 6 2 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? ? ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? 5 ? 6 ? ? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? (2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组 ? ?? ? 0, ? ?0 ? ? m ? 1 1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? (这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0,1) ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ?? 1 ? m ? 0. ? 2、已知 f ( x) ? x ? 2(a ? 2) x ? 4 ,
2

(1)如果对一切 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x ?[?3,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1) ? ? 4(a ? 2)2 ?16 ? 0 ? 0 ? a ? 4 ;

(2) ?

??(a ? 2) ? ?3 ??3 ? ?(a ? 2) ? 1 ??(a ? 2) ? 1 或? 或? , ?? ? 0 ? f (?3) ? 0 ? f (1) ? 0

解得 a ? ? 或 1 ? a ? 4 或 ? 1 ? a ? 1 ,∴ a 的取值范围为 (? 1 , 4) . 2 2 3.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象过点 (?1, 0) ,问是否存在常数 a, b, c ,使不等 式 x ? f ( x) ? 1 (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立? 2 解:假设存在常数 a, b, c 满足题意, ∵ f ( x ) 的图象过点 (?1, 0) ,∴ f (?1) ? a ? b ? c ? 0
1 又∵不等式 x ? f ( x) ? (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立, 2



∴当 x ? 1 时, 1 ? f (1) ? 由①②可得: a ? c ? 由 x ? f ( x) ?
? 1

1 (1 ? 12 ) ,即 1 ? a ? b ? c ? 1 ,∴ a ? b ? c ? 1 2



1 1 1 1 , b ? ,∴ f ( x) ? ax 2 ? x ? ( ? a) , 2 2 2 2

1 (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立得:x ? ax 2 ? 1 x ? ( 1 ? a) ? 1 (1 ? x 2 ) 恒成立, 2 2 2 2
1

2 ∴ ?ax ? 2 x ? ( 2 ? a) ? 0 的解集为 R , ?

?(2a ? 1) x 2 ? x ? 2a ? 0 ?

∴? ?1

?a ? 0

1 ? ?2a ? 1 ? 0 a?0 且? ,即 ? 且 ?a ? ∴ a ? 1 ,∴ 1 ? 2 2 ? 4 ? 4a( ? a) ? 0 ?1 ? 8a(2a ? 1) ? 0 ?(1 ? 4a ) ? 0 ? ?(1 ? 4a) 2 ? 0 ?4 2 ?

c?

1 , 4
4 2 4

∴存在常数 a ? 1 , b ? 1 , c ? 1 使不等式 x ? f ( x) ? 1 (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立
2


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