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直线与方程、第四章圆的知识点及典型例题


直线与方程知识点及典型例题
1. 直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或 重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° 2. 直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用 k 表示。即 k=tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0° k = tan0° , =0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0 ;
? ?

例.设直线 l1 经过点 A(m,1)、B(—3,4),直线 l2 经过点 C(1,m)、D(—1,m+1), 当(1) l1/ / l2 (2)

l1⊥l1 时分别求出 m 的值

※三点共线的条件:如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等,那么这三点共线。 3. 直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0° 时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90° 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的 横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。

?

?

当 ? ? 90 ,180
?

?

?

? 时, k ? 0 ;

②斜截式:y=kx+b,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b 当 ? ? 90 时, k 不存在。
?

例.如右图,直线 l1 的倾斜角?=30°,直线 l1⊥l2,求直线 l1 和 l2 的斜率. 解:k1=tan30°=

③两点式: y l1 ?2 o ④截矩式: 的 x

y ? y1 x ? x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 P1 (x1,y1)、P1(x1,y1) ? y2 ? y1 x2 ? x1

3 ∵l1⊥l2 ∴ k1?k2 =—1 3
?1 ) C.60° D.30°

x y ? ? 1 其中直线 l 与 x 轴交于点(a,0),与 y 轴交于点(0,b),即 l 与 x 轴、y 轴 a b

∴k2 =— 3 例:直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 的倾斜角是( A.120° B.150°

截距分别为 a、b。 注意:一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为 0 但不可能一个为 0,另一个不为 0. 其方程可设为: ⑤ 一般式:Ax+By+C=0(A,B 不全为 0) 注意:(1)在平时解题或高考解题时,所求出的直线方程,一般要求写成斜截式或一般式。 ???各式的适用范围 (3)特殊式的方程如: 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数); ②或都为 0 ;

l2

②过两点 P1 (x1,y1)、P1(x1,y1) 的直线的斜率公式: k ? 注意下面四点:

y 2 ? y1 ( x1 ? x 2 ) x 2 ? x1

x y ? ? 1 或 y=kx. a b

(1)当 x1 ? x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90° ; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数);

例题:根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式: 1 (1)斜率是 ? ,经过点 A(8,—2); 2 (2)经过点 B(4,2),平行于 x 轴; 3 (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 , ?3 ; 2
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. . .

(4)经过两点 P1(3,—2)、P2(5,—4); 例 1:直线 l 的方程为 Ax+By+C=0,若直线经过原点且位于第二、四象限,则( A.C=0,B>0 B.C=0,B>0,A>0 C.C=0,AB<0 象限是( A.第一 4. 两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时, ) B.第二 C.第三 D.第四 D.C=0,AB>0

. ) 7. 两条直线的位置关系的判定公式 A1B2—A2B1≠0 方程组有唯一解 两直线相交

例 2:直线 l 的方程为 Ax—By—C=0,若 A、B、C 满足 AB.>0 且 BC<0,则 l 直线不经的

?A 1 B 2 ? A 2 B 1 ? 0 ? ?B 1 C 2 ? B 2 C1 ? 0 ,
或 A1C2—A2C1 ≠ 0

无解

两直线平行

?A 1 B 2 ? A 2 B 1 ? 0 ? ?B 1C 2 ? B 2 C 1 ? 0
或 A1C2—A2C1 = 0

有无数个解

两直线重合

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 5. 已知两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, (A1 与 B1 及 A2 与 B2 都不同时为零) 若两直线相交,则它们的交点坐标是方程组 ? 若方程组无解 ? l1 // l 2 ; 6. 点的坐标与直线方程的关系 几何元素 点P 直线 l 点 P(xo,yo)在直线 l 上 代数表示 坐标 P(xo,yo) 方程 Ax+By+C=0 坐标 ( x 0 , y 0 ) 满足方程:Ax+By+C=0 坐标(xo,yo)满足方程组 ?

两条直线垂直的判定条件:当 A1、B1、A2、B2 满足 答:A1A2+B1B2=0 经典例题;

时 l1⊥l2。

例 1.已知两直线 l1: x+(1+m) y =2—m 和 l2:2mx+4y+16=0,m 为何值时 l1 与 l2①相交②平行

?A 1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 的一组解。 ?A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

解:

若方程组有无数解 ?

l1 与 l 2 重合

例 2. 已知两直线 l1:(3a+2) x+(1—4a) y +8=0 和 l2:(5a—2)x+(a+4)y—7=0 垂直,求 a 值 解:

例 3.求两条垂直直线 l1:2x+ y +2=0 和 l2: mx+4y—2=0 的交点坐标 解: 例 4. 已知直线 l 的方程为 y ? ?

点 P(xo,yo)是 l1、l2 的交点

?A 1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 ?A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

1 x ?1, 2

(1)求过点(2,3)且垂直于 l 的直线方程;(2)求过点(2,3)且平行于 l 的直线方程。

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8. 两点间距离公式:设 A(x1,y1)、B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,
2 2 则|AB|= ( x 2 ? x 1 ) ? ( y 2 ? y1 )

12. 中点坐标公式: 已知两点 P1 (x1,1)、 1(x1,1), y P y 则线段的中点 M 坐标为( 例. 已知点 A(7,—4)、B(—5,6),求线段 AB 的垂直平分线的方程。

x1 ? x 2 y1 ? y 2 , ) 2 2

9. 点到直线距离公式:一点 P(xo,yo)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d ? 10. 两平行直线距离公式

| Ax o ? By o ? C | A2 ? B2

例:已知两条平行线直线 l1 和 l2 的一般式方程为 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0, 则 l1 与 l2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B2

13. 对称点与对称直线的求法 例 1:已知直线 l:2x—3y+1=0 和点 P(—1,—2). (1) 分别求:点 P(—1,—2)关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称点 Q 坐标 (2) 分别求:直线 l:2x—3y+1=0 关于 x 轴、y 轴、直线 y=x、原点 O 的对称的直线方程.

例 1:求平行线 l1:3x+ 4y —12=0 与 l2: ax+8y+11=0 之间的距离。

例 2:已知平行线 l1:3x+2y —6=0 与 l2: 6x+4y—3=0,求与它们距离相等的平行线方程。

(3) 求直线 l 关于点 P(—1,—2)对称的直线方程。 (4) 求 P(—1,—2)关于直线 l 轴对称的直线方程。

11. 直线系方程 已知两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,(A1 与 B1 及 A2 与 B2 都不同时为零) 若两直线相交,则过它们的交点直线方程可以表示为: l:A1x+B1y+C1+?(A2x+B2y+C2) =0 或者? (A1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0 都可以 例 1:直线 l:(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0 所经过的定点为 例 2:求满足下列条件的直线方程 (1) 经过点 P(2,3)及两条直线 l1: x+3y—4=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点 Q; (2) 经过两条直线 l1: 2x+y—8=0 和 l2:x—2y+1=0 的交点且与直线 4x—3y—7=0 平行; (3) 经过两条直线 l1: 2x—3y+10=0 和 l2:3x+4y—2=0 的交点且与直线 3x—2y+4=0 垂直; 解: 例 2:点 P(—1,—2)关于直线 l: x+y—2=0 的对称点的坐标为 。 。(m∈R)

例 3:已知圆 C1:(x+1)2+(y—1)2=1 与圆 C2 关于直线 x—y—1=0 对称,则圆 C2 的方程
为: 。

A. (x+2)2+(y—2)2=1 B. (x—2)2+(y+2)2=1

C. (x+2)2+(y+2)2=1 D. (x—2)2+(y—2)2=1

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圆与方程
d= 1.圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆, 定点为圆心,定长为圆的半径. 2、圆的方程 (1)标准方程(x—a)2+(y—b)2=r 2,圆心(a,b),半径为 r; 点 M(x0 ,y0)与圆(x—a)2+(y—b)2=r 2,的位置关系: 当(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)> r2 ,点在圆外 当(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r2 ,点在圆上 当(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)< r2 ,点在圆内 例:若点(1,1)在圆(x—a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围是 A. —1<a<1 B. 0<a<1 C.a<—1 或 a>1 D.a=±1 。

| Aa ? Bb ? C | A ?B
2 2



则有:(1)当 d > r ? l 与⊙C 相离; (2) 当 d = r ? l 与⊙C 相切; (3) 当 d <r ? l 与⊙C 相交;弦长|AB|=2 r ? d
2 2

例. 已知直线 l:3x +4y-12=0 与圆 C:(x—3)2 + (y—2)2=4.请选择适当的方法判断直线 l 与 圆 C 的位置关系;若直线 l 与圆 C 相交,请求出直线 l 被圆 C 截得的弦长。 解法 1;代数法;

(2)一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0

(2) 解法 2:几何法; 总结:(1)代数法:设直线与圆的方程连立方程组,消元后所得一元二次方程为 ax2+bx+c=0, 其两个不等实根为 x1,x2.则其两点弦长为|AB|= 1 ? k
2

1 D E 当 D +E —4F>0 时,方程表示圆,此时圆心为(— ,— ),半径为 r= D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 2
2 2

当 D2+E2—4F=0 时,表示一个点; 当 D2+E2—4F<0 时,方程不表示任何图形。 例. 若方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a—1=0 表示圆,则实数 a 的取值范围是 。

Δ 。 |a|

(2) 几何法;设直线 l:Ax+By+C=0,圆 C:(x—a)2+(y—b)2=r 2,圆心 C(a,b)到 l 的距

2 A. — <a<0 3
(3)求圆方程的方法:

B. —2<a<0

2 C.a<—2 或 a> 3

2 D.—2<a< 3

离 d=

| Aa ? Bb ? C | A ?B
2 2

,弦长|AB|=2 r ? d 。
2 2

一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系的判定及弦长公式: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1) 设直线 l:Ax+By+C=0,圆 C:(x—a) +(y—b) =r ,圆心 C(a,b)到 l 的距离
2 2 2

例. 圆 x2 +y2 —4x—4y—10=0 的上点到直线 x+y—14=0 的最大距离和最小距离为 和 。最大距离和最小距离的差为 。 ※数学思想方法简介——方程思想与坐标法 直线方程 Ax+By+C=0 与圆的方程(x—a)2+(y—b)2=r2 有三个方面的应用 (1) 通过研究直线与圆或圆与圆的方程联立所得的方程组的解的情况来确定直线与圆之间的 交点情况, 从而判定直线与圆的之间位置关系, 圆与圆之间位置关系及求它们的交点坐标。 (2) 通过点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 d=

| Aa ? Bb ? C \ A2 ? B2

,并比较 d 与半径 r

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的大小解决圆与直线的有关性质问题。 或圆心距与圆半径的和或差大小的比较, 解决圆与 圆之间的性质问题。 (3) 利用方程自身具备的已知任给一个坐标 x 的值, 就可以求另一个坐标 y 的值解决实际问题 4. 圆的切线问题 (1) 过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直 线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 例 1. 经过点 P(1, —2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4 的切线, 则切线方程为 。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 例:已知圆 C1:x2 +y2 +2x+8 y—8=0 和圆 C2:x2 +y2 —4x—4 y—2=0,试判断圆和位置关系, 若相交,试求出它们的交点坐标

※两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例.已知圆 C1:x2 +y2 —2x =0 和圆 C2:x2 +y2 +4 y=0,试判断圆和位置关系,

例 2. 过直线 x+y—2 2 =0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线, 若两条切线的夹角是 60°, 则点 P 的坐标是__________。

若相交,则设其交点为 A、B,试求出它们的公共弦 AB 的方程及公共弦长。

(2) 过圆上一点的切线方程:圆(x—a)2+(y—b)2=r2,圆上一点为(x0,y0), 则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r2 【只有一条】 例 3.经过点 P(—4, —8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9 的切线, 则切线方程为 例 4.经过点 P(1,—2)点且与圆(x+1)2+(y+3)2=5 相切的直线方程为 。 。 (2) 已知一圆点 A(2,—3)、B(—2,—5),且圆心 C 在直线 x—2y—3=0 上,求此圆 C 的方程. 5. 圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1:(x—a1)2+(y—b1)2=r 2,C2:(x—a2)2+(y—b2)2=R 2 (设 R>r) 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距 d 之间的大小比较来确定。 当 d>R+r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d=R+r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R—r<d<R+r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d=R—r 时,两圆 内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d<R—r 时,两圆 内含; 当 d=0 时,为同心圆。 (4) 已知点 P(2,1)在圆 C:x2+y2+ax—2y+b=0 上,点 P 关于直线 x+y—1=0 的对称点也在此 圆上,求此圆的圆心坐标和半径。
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6.直线与圆的综合问题 (1) 过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x2 +y2 —4y=0 截得弦 AB 长为 .

(3) 求以点 M(2,—1)为圆心且与直线 3x—4y+5=0 相切的圆 M 的方程.


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