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浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学文科试题WORD版


浙江省温州市 2013 届高三第二次模拟考试 数学(文科)试题
选择题部分(共 50 分) 一、选择题:本大題共 1O 小題,每小題 5 分,共 50 分.在每小題给出的四个选项中,只有 一項符合題目要求. 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x -1<0},B={y|y=
2

x } 则 A ? (CU B) =

r />( ▲

)

A. (-1,0) B. (-1,O] C. (0,1) D. [0,1) 2“ m ? 5 ”是“直线 x-2y + m=O 与圆 x2+y2=1 相切”的(▲) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.记 Sn 为等差数列{an}前 n 项和,若

S3 S2 ? ? 1 ,则其公差 d= ( ) 3 2

A

1 2

B2

C2

D3

4 若函数 f(x)=

sin x 是奇 函数,则 a 的值为( ( x ? a) 2
C 2 D 4



A

0

B 1

5. 若某几何体的三视图如图 所示,则此几何体的体积是( ▲ A

)

3 2

B. 2

C.

5 2

D.

3

6 椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的一 个焦点在抛物线 y 2 =4x 的准线 上, 2 a

则该 椭圆的离心率 为( )

A

1 2

B

2 2

C

1 3
)

D

3 3

7. 下列命题正确的是( ▲

第1页

A. 若平面 a 不平行于平面β .则β 内不存在直线平行于平面 a B. 若平面 a 不垂直于平面β .则多 内不存在直线垂直于平面 a C. 若直线 l 不平行于平面 a 则 a 内不存在直线平行于直线 l D. 若直线 l 不垂于平面 a.则 a 内不存在直线垂直于直线 l 8 若右图是函数 f(x)=sin2x 和函数 g(x)的部分图像,则函数 g(x)的解析式可能是( )

A g ( x) ? sin( 2 x ?

?

3 5? ) C g ( x) ? cos( 2 x ? 6
9 已知 2a=3b=6c 则有(▲ ) A

)

B g ( x) ? sin( 2 x ?

2? ) 3

D g ( x ) ? cos( 2 x ?

?

6

)

a?b ? ( 2,3) c a?b ? ( 4,5) C c

B

a?b ? (3,4) c a?b ? (5,6) D c

10 如图,在正六边形 ABCDE 中,点 P 是Δ CDE 内(包括边界)的一个动点,设

AP ? ? AB ? ? AF(?, ? ? R) 则 ? ? ? 的 取值范围(
A [1,2] B [2,3] C [2,4] D [3,4]



非选择题部分(共 100 分)

二、填空题:本大題共 7 小題,每小題 4 分,共 28 分. 11. i 是虚数单位,a,b∈R,若

i ? 1 ? i 则 a+b=▲ . a ? bi

?3 1 ? ,x ? 0 12 高函数 f(x)= ? x , 则 f [ f ( ? )] =_____ 2 ?| x ? 1 |, x ? 0 ?
13.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值为▲ .

第2页

14 同时抛掷两颗骰子,得到点数分别为 a,b,则|a-b| ? 1 的概率是_______

15 经过随机抽样获得 100 辆汽车经过某一雷达测速地区的时速(单位:km/h),并绘 制成如图所示的频率分布直方图,其中这 100 辆汽车时速范围是[35,85],数据分组为 [35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85)由此估计通过这一地区的车辆平均速度为 _______

?2 x ? y ? 2 ? 16. 若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ,则 2x+y 的最大值是▲. ? y ? ?1 ?
17. 己知 F ,F2 分别是双曲线 x 2 ?
1

y2 ? 1 的左、右焦点,A 是双曲线上在第一象限内的 b2
2 1

点,若 |AF2|=2 且 ? F1AF2=450.廷长 AF 交双曲线右支于点 B,则 Δ F AB 及的面积等于___▲

三、解答题:本大題共 5 小題,共 72 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 18. ( 本题 满分 14 分)在Δ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, a(cosC+ 3 sinC)=b

(I)求角 A 的大小

(II)若 a=1,S Δ ABC =

3 ,求 b.c 的值 2

第3页

19. (本题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a =2.且 1,
1

3 a n ,S n (n∈N*)成等差数列. 4

( I)求数列{an}的通项公式 (II)求数列{nan}的前 n 项 和 Tn

20.(本题满分 14 分)已知 E,F 分别是矩形 ABCD 的边 AD,BC 上的点,AB= 2, AD = 5.AE=1,BF=3 现将四边形 AEFB 沿 EF 折成四边形 A?EF B ? ,,使 DF

B? F

(I)求证: A?EF B ?

平面CDEF

(II)求二面角 B ? -FC-E 的大小

.

第4页

21.(本题满分15 分)
已知函数f(x)=

1 3 1 2 1 ax ? x ? , a ? R . 3 2 6

(1)若 f(x)在 ( 0, + ? )上是减函数,求实数 a 的取值范围 ( II) 若 f(x)

? lnx 恒成立,求实数 a 的最小值。

22. (本題满分 15 分)已知直线 l:y=2x-2 与抛物线 M:y=x2 的切线 m 平行 (I)求切线 m 的方程和切点 A 的坐标 (II) 若点 P 是直线 l 上的一个动点, 过点 P 作抛物线 M 的两条切线, 切点分别为 B, C, 同时分别与切线 m 交于点 E,F 试问 由

S ?ABC 是否为定值?若是,则求之,若不是,则说明理 | EF |

2013 年温州市高三第二次适应性测试 数学(文科)试题参考答案 一项符合题目要求. 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 A 5 B 6 B 7 B 8 C 9 C

2013.4

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 10 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

11.1

12.2

13.8

4 14. 9

15.61.5

16.9

17.4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.解: (I)由正弦定理得: sin A(cos C ? 3 sin C) ? sin B ?????????3

第5页

分 又 sin B ? sin( A ? C ) 化简得: 3sin A sin C ? cos Asin C ??????????5 分

Q sin C ? 0

tan A ?
故 分

? 3 A? 6 3 ,

??????????7

? 1 3 bc sin A ? ? ? 2 2 ?b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? a 2 (II)根据题意得 ? ? A ? ,a ?1 6 把 代入解得:
? b?2 ?b ? 3 ? ? ? ? ?c ? 3 或 ? c ? 2 ? ?


??????????11 分

????????????14

3 1, an , Sn 19. (I)证明:∵ 4 成等差数列
3 an ? S n ? 1 ∴2 ,?????????????????????????2


3 an ?1 ? Sn ?1 ? 1 ( n ? 2) 2
3 3 an ? an ?1 ? an 2 ∴2
∴ 又 ∴ 分 (II)解:∵ ∴ 分

an ? 3an?1 ( n ? 2) a1 ? 2
∴数列

{an } 是一个首项为 2 公比为 3 的等比数列???????6 分
??????????????????????7

an ? 2 ? 3n?1 (n ? N * )
nan ? 2n ? 3n?1 (n ? N * )

Tn ? 2 ? 4 ? 3 ? 6 ? 32 ? L ? 2(n ?1) ? 3n?2 ? 2n ? 3n?1 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? 6 ? 3 ? L ? 2(n ?1) ? 3
2 3 n?1


n

3Tn ?

? 2n ? 3



???10

第6页

①-②得:

?2Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? L ? 2 ? 3n?1 ? 2n ? 3n ?

2(1 ? 3n ) ? 2n ? 3n ? 3n ? 1 ? 2n ? 3n 1? 3

∴ 分

Tn ?

(2n ? 1) ? 3n ? 1 2

???????????????????14

20. (I)证明:∵ DF ? EF ? 2 2
o

ED ? 4

∴ ?EFD ? 90 ,即 DF ? EF ????3 分 又∵ DF ? B ' F ∴ DF ? A ' EFB '

EF I B ' F ? F
∴ DF ? 平面 CDEF

∴平面 A ' EFB ' ⊥平面 CDEF ??6 分 (II)解:过 B ' 作 B ' H ? EF 于 H 由(I)可知平面 A ' EFB ' ⊥平面 CDEF 又∵平面 A ' EFB ' I 平面 CDEF ? EF ∴ B ' H ? 平面 CDEF ????8 分 ∴ B ' H ? CF 过 H 作 HK ? CF ,交 CF 延长线于点 K ,连结 B ' K ∴ CF ? 平面 B ' HK ∴ CF ? B ' K

∴ ?B ' KH 为二面角 B '? FC ? E 的平面角????????????????11 分

∵ B ' F ? 3 , ?B ' FE ? 45 , ?B ' HF ? 90
o

o

B ' H ? HF ?


3 2 2

又∵ ?EFK ? 45 ,?HKF ? 90
o

o

HK ?


3 2 ?????????????13 分

tan ?B ' KH ?


B'H ? 2 HK

第7页

即二面角 B '? FC ? E 的正切值为 2 .??????????????????14 分

? 21.解: (I)由条件得 f ( x) ? ax ? x ? 0 在 x ? 0 上恒成立,
2

a?


1 x 在 x ? 0 上恒成立,
???????????????????????????5 分

∴a ? 0

1 3 1 2 1 ax ? x ? ? ln x ? 0 2 6 (II)问题等价于 3 恒成立??.(*), g ( x) ?


1 3 1 2 1 ax ? x ? ? ln x 3 2 6 ,

g ?( x ) ? ax 2 ? x ?
则:
3 2

1 ax 3 ? x 2 ? 1 ? ( x ? 0) x x

令 h( x) ? ax ? x ? 1( x ? 0)

? 则: h ( x) ? 3ax ? 2 x ? x(3ax ? 2)( x ? 0)
2

1o 当 a ? 0 时,则 h ?( x ) ? 0 恒成立,从而 h( x)在x ? 0 上递减
又 h(1) ? a ? 2 ? 0 , 则不符合(*).

2 当 a ? 0 时,
o

h ?( x ) ? 0 ? x ?

2 2 h ?( x ) ? 0 ? 0 ? x ? 3a , 3a ,



h( x ) min ? h(

2 8 4 4 ) ? a? ? 2 ?1 ? ? ?1 ? 0 3 3a 27a 9a 27a 2

又当 x ? ?? 时, h( x ) ? ?? 故在 x ? 0 上 h( x ) 必有零点,记为 m,即 h(m) ? am ? m ? 1 ? 0
3 2

此时, g ( x ) 在 (0, m) 上递减,在 (m, ??) 上递增

第8页

g ( x ) min ? g ( m ) ? ?


1 3 1 2 1 1 1 1 am ? m ? ? ln m ? ( m 2 ? 1) ? m 2 ? ? ln m 3 2 6 3 2 6

1 (1 ? m 2 ) ? ln m 6

1 (1 ? m 2 ) ? ln m ? 0 由(*)得 6 r(m) ?


?????????????10 分

1 (1 ? m 2 ) ? ln m 6 是 m 的减函数,且 r(1) ? 0

∴0 ? m ?1

a?
∴ ∴

m2 ? 1 1 1 ? ? 3 ?2 3 m m m

amin ? 2 amin ? 2 .
?????????????????????15 分

综上所述:

3x 2 ? 1 ? 6 ln x a? 2 x3 解法二:问题等价于 恒成立 g ( x) ?


3x 2 ? 1 ? 6 ln x 2 x3 ,

6 (6 x ? ) ? 2 x 3 ? (3x 2 ? 1 ? 6 ln x) ? 6 x 2 ?3( x 2 ? 1 ? 6 ln x) x ?( x ) ? g ? 4 x6 2 x4 则: ??10
分 设 h( x) ? x ? 1 ? 6ln x ,则 h( x ) 是增函数,且 h(1) ? 0
2

? ? ∴ g ( x ) ? 0 ? h( x ) ? 0 ? x ? 1 , g ( x) ? 0 ? h( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1


g ( x)max ? g (1) ? 2

故a ? 2, 因此

amin ? 2 .

???????????????????????????

第9页

15 分
2 A( x0 , x0 ) ,切线斜率 k ? 2 x0 ,

22.解: (I)设切点

? 2 x0 ? 2, x0 ? 1

? A(1,1) ,切线 m 的方程为 y ? 2 x ? 1 ??..3 分
(II)设 P(s, t ) ,切点
2 B( x1 , x12 ) , C ( x1 , x2 )

? ∵ y ? 2x ,
∴切线 PB , PC 的方程分别是
2 y ? 2x1x ? x12 , y ? 2x2 x ? x2

x1 ? x2 ? ?s ? ? y ? 2 x1 x ? x12 2 ? x ?x ? P ( 1 2 , x1 x2 ) 2 ? t ? x1 x2 y ? 2 x2 x ? x2 得交点 2 联立方程组 ? ,即 ?
∵点 P 在直线 l : y ? 2 x ? 2 上,即 t ? 2 s ? 2 , 2 s ? t ? 2 又∵直线 BC 的方程为 ?????????7 分

y ? ( x1 ? x2 ) x ? x1x2 ? 2sx ? t
d? | 2s ? 1 ? t | 1 ? 4s
2

∴点 A(1,1) 到直线 BC 的距离

?

1 1 ? 4s 2

? y ? 2sx ? t ? y ? x 2 得 x2 ? 2sx ? t ? 0 又由 ?


| BC |? 1 ? 4 s 2 | x1 ? x2 |



S?ABC ?

1 1 | BC | d ? | x1 ? x2 | 2 2

???????????????11 分

? y ? 2 x1 x ? x12 x ?1 x ?1 ? E ( 1 , x1 ) F ( 2 , x2 ) y ? 2 x ? 1 得交点 2 2 又由联立方程组 ? ,同理可得交点
| EF |?


5 | x1 ? x2 | 2

第 10 页

S?ABC 5 ? 5 ∴ | EF |

??????????????????????????15 分

第 11 页


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