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必修一:第一单元 函数及其表示


函数及其表示
(一)知识梳理 1.函数的概念 (1)函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的 任意一个数

x,

在集合 B 中都有 唯一确定 的数和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数 (2)函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x), x ? A 中,x

叫做自变量,x 的取值范围 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合

A 叫做 y ? f ( x) 的定义域;与 x

?f ( x) x ? A?称为函数 y ? f ( x) 的值域。

(3)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 函数关系 2.(1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]. (2)满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为(a,b). (3)满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b),(a,b]. (4)实数集 R 用区间表示为(-∞,+∞). (5)把满足 x≥a.,x>a,x≤b,x<b 的实数 x 的集合分别表示为[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b], (-∞,b). 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1) .图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2) .列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 4.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 5.映射的概念 设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任意元素,在集合 B 中都 有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从 A 到 B 的映射,通常记为 f : A ? B ,f 表示对应法则 注意:⑴A 中元素必须都有象且唯一;⑵B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。 (二)考点分析 考点 1:判断两函数是否为同一个函数

只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一函数,这 就是说: (1)定义域不同,两个函数也就不同; (2)对应关系不同,两个函数也是不同的; (3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数 的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系;
1

(4)两个函数是否相同,与自变量是什么字母无关.
例 1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) f ( x) ? (2) f ( x) ?

x 2 , g ( x) ? 3 x 3 ;
x x
, g ( x) ? ?

?1 ?? 1

x ? 0, x ? 0;

(3) f ( x) ?

x

x ? 1 , g ( x) ?

x2 ? x ;

考点 2:映射的概念 例 1.下述两个个对应是 A 到 B 的映射吗? (1) A ? R , B ? { y | y ? 0} , f : x ? y ?| x | ; (2) A ? {x | x ? 0} , B ? { y | y ? R} , f : x ? y ? ? x .

B ? {a, b, c} , a, b, c ? R , 例 2. 若 A ? {1,2,3,4} , 则 A 到 B 的映射有

个, B 到 A 的映射有



考点 3:求函数的定义域 题型 1:求有解析式的函数的定义域 (1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围,实际 操作时要注意: ① 分母不能为 0; ② 对数的真数必须为正; ③ 偶次根式中被开方数应为非负数; ④零 指数幂中,底数不等于 0;⑤ 负分数指数幂中,底数应大于 0;⑥ 若解析式由几个部分组成,则定 义域为各个部分相应集合的交集;⑦ 如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研 究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。 例 1.函数 f ? x ? ?

x2 ? 4 ?

1 的定义域为( x ?3



A. ? 2, ? ?? ? ? ??, ? 2? C. ? ??, ? 2? ? ?2,3? ? ?3, ? ?? 例 2、函数 f ( x ) ? A. ?x | x ? 0?

B. ?2,3? ? ?3, ? ?? D. ? ??, ? 2?

( x ? 1) 0 x ?x

的定义域是( ) C.

B.

?x | x ? 0?

?x | x ? 0且x ? ?1?

D.

?x | x ? 0且x ? ?1?

题型 2:求复合函数和抽象函数的定义域 ①已知 f(g(x))的定义域,求 f(x)的定义域。 若 f(g(x))的定义域为 m≤x≤n,由 m≤x≤n 确定的 g(x)范围,即为 f(g(x))的定义域。 例 1.已知 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,求函数 y ? f ( x) 的定义域

②已知 f(x)的定义域,求 f(g(x))的定义域。 若f (x) 的定义域为[a,b] , 则在 f(g(x))中, 令 a≤g(x)≤b,从中解得 X 的取值范围, 即为 f(g(x)) 的定义域。 例 2.已知 y ? f ( x) 的定义域是(-2,0) ,求 y ? f (2 x ? 1) 的定义域
2

③已知 f(g(x))的定义域,求 f(h(x))的定义域。

例 3、已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为[-2,3],则 y ? f ?2 x ? 1?的定义域是_________

考点 4:求函数解析式 方法总结: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,则用待定系数法; (2)若已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f ( x) (4)代入法 题型 1:用待定系数法求函数的解析式 例 1.已知函数 f ? x ? 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 9 x ? 4 ,求 f ? x ? 表达式.

题型 2:由复合函数的解析式求原来函数的解析式 配凑法:已知二次函数 f ( x) 满足 f (2 x ? 1) ? 4 x 2 ? 6 x ? 5 ,求 f ( x)

换元法:已知 f

?

x ? 1 ? x ? 1, 则f ? x ? ? _____________。

?

已知 f (

1? x 1? x2 )= ,则 f ( x) 的解析式可取为 1? x 1? x2

题型 3:求抽象函数解析式 方程组法:已知函数 f ( x) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? 3 x ,求 f ( x)

1 x

例 2、已知: 2 f ( x) ? 3 f (? x) ? x ? 1 ,求 f ? x ? 表达式.

考点 5:求函数的值域 1. 求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,
3

y ? ?2 x 2 ? 8x ? 5 (1) x ? [?1,1] (2) x ? [1,4]

(2)换元法:通过等价转化换成常见函数模型,例如二次函数

y ? x ? 1 ? 2x

(3)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域

(4)分段函数分别求函数值域,

y ? x ?3 ? x ?5

(5)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域

4


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