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立体几何中的最值问题


立体几何中的最值问题
上犹中学数学教研组 刘道生
普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲指出, 通过考试, 让学生提 高多种能力,其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.要在立体几何学 习中形成。立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系,查遍近几年全国各省市的 高考题中,与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常

在高考试题中出 现,并且成增长趋势。下面举例说明解决这类问题的常用方法。 策略一、公理与定义法 例 1、在正四棱锥 S-ABCD 中,SO⊥平面 ABCD 于 O,SO=2, S 底面边长为 2 ,点 P、Q 分别在线段 BD、SC 上移动, 则 P、Q 两点的最短距离为( ) B A. A P O Q C D

5 5

2 5 B. 5

C. 2

D. 1

【解析】如图 1,由于点 P、Q 分别在线段 BD、SC 上移动,先让点 P 在 BD 上固定,Q 在 SC 上移动,当 OQ 最小时,PQ 最小。过 O 作 OQ⊥SC,在 Rt△SOC 中, OQ = P 在 BD 上运动,且当 P 运动到点 O 时,PQ 最小,

2 5 。又 5

等于 OQ 的长为

2 5 ,也就是异面直线 BD 和 SC 的 5

公垂线段的长。故选 B。 策略二 建立函数法 例 2 正 ABC 的边长为 a ,沿 BC 的平行线 PQ 折叠,使平面 A′PQ ⊥ 平面

BCQP ,求四棱锥的棱 A′B 取得最小值时,四棱锥 A′ BCQP 的体积。
分析:棱 A′B 的长是由 A′ 点到 PQ 的距离变化而变化, 因此我们可建立棱 A′B 与点 A′ 到 PQ 的距离的一个函数关系式, 从而求出棱 A′B 的最小值,进而求出体积。 【解析】如图所示,取 PQ 中点 o ,显然 AO ⊥ PQ ,即 A P o x z

A′
Q

y C

A′O ⊥ PQ

B

1

由平面 A′PQ ⊥ 平面 BCQP ,则 A′O ⊥ 平面 BCQP ,如图建立直角坐标系 O xyz ,设

3 1 A′O = x ,因正 ABC 的边长为 a ,易知 A′(0,0, x ), O(0,0,0 ), B 2 a x, 2 a,0 ,得 3 3 1 1 A′B = A′O + OB = (0,0, x ) + a x , a ,0 = a x , a , x 2 2 2 2

3 1 2 3 5 2 ∴ A′B = a x + a + ( x ) = 2 x 2 3ax + a 2 = 2 x a + a2 2 4 8 2
即当 x =

2

2

3 10 a 时, A′B min = a 4 4
2 3 1 1 3 2 31 × 3 a = 3a = S BCPQ A′O = × a a 3 3 4 4 2 4 64

∴V A′ BCPQ

评注:对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后不变的数量关系和图形关系;同时还 要仔细观察翻折前后图形的性质。很多情况下,我们都是把这类动态问题转化成目标函数, 最终利用代数方法求目标函数的最值。 策略三;解不等式法 例 3 求半径为 R 的球内接正三棱锥体积的最大值。 分析:要使球内接正三棱锥的体积最大,则需正三棱锥的边或高最大,而高过球心,则可寻球高 与半径之间的关系。 【解析】如右图所示,设正三棱锥高 O1 A =h,
A

底面边长为 a 由正三棱锥性质可知 O1 B = 又知 OA=OB=R 则在 Rt ABC 中,

3 a, 3

O D B O1 C

3 ( a ) 2 = R 2 (h R)2 ∴ a 2 = 3h(2 R h) 3

h h 1 3 2 3 2 hh + + 2R h = 8 3 R3 ∴V= a h= h (2 R h) = 3 (2 R h) ≤ 3 2 2 27 3 4 4 22 3

3

(当且仅当

h 4 = 2 R h ,即 h = R 时,取等号 ) 2 3

∴ 正三棱锥体积最大值为

8 3 3 R 27

策略四;变量分析法 例 4 如图已知在 ABC 中, ∠C = 90 ,PA⊥平面 ABC,
0

AE⊥PB 交 PB 于 E,AF⊥PC 于 F,当 AP=AB=2, ∠AEF = θ ,当 θ 变化时,求三棱锥 P-AEF 体积的最大值。
2

分析:θ 的变化是由AC与BC的变化引起的,要求三棱锥 P-AEF 的体积,则需找到三棱锥 P-AEF 的底面积和高,高为定值时,底面积最大,则体积最大。 【解析】∵PA⊥平面 ABC, BC 平面ABC ∴ PA⊥BC 又∵ BC⊥AC , PA

∩ AC = A ∴ BC⊥ 平 面 PAC ,

AF 平面PAC , ∴ BC⊥AF , 又∵ AF⊥PC, PC ∩ BC = C ∴AF 平面PBC 平面 PBC, ∴

∴AF⊥EF ∴ EF 是 AE 在平面 PBC 上的射影,∵AE⊥PB, ∴EF⊥PB PE⊥平面 AEF 在三棱锥 P-AEF 中,∵AP=AB=2,AE⊥PB,∴ PE =

2 , AE = 2 , AF = 2 sin θ ,

1 1 1 2 sin 2θ EF = 2 cos θ , VP AEF = S AEF PE = × × 2 sinθ 2 cosθ × 2 = 3 3 2 6
∵0 <θ <

π
2

, ∴ 0 < 2θ < π , 0 < sin 2θ ≤ 1 ∴ 当 θ =

π
4

时, P AEF 取得最大值为 V

2 。 6

策略五:展开体图法

例 5. 如图 3-1,四面体 A-BCD 的各面都是锐角三角形,且 AB=CD=a,AC=BD=b, AD=BC=c。平面α分别截棱 AB、BC、CD、DA 于点 P、Q、R、S, A C 则四边形 PQRS 的周长的最小值是( ) A. 2a B. 2b C. 2c D. a+b+c D
图5

【解析】如图 3-2,将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各

B

侧面均为锐角三角形,且 AB=CD,AC=BD,AD=BC,所以,A 与 A’、D 与 D’在四面 体中是同一点,且 AD // BC // A' D ' , AB // CD ' ,A、C、A’共线,D、B、D’共线,

AA' = DD' = 2 BD 。又四边形 PQRS 在展开图中变为折线 S’PQRS,S’与 S 在四面体中是同
一点。因而当 P、Q、R 在 S’S 上时, A C R Q B S D′ A′

S ' P + PQ + QR + RS 最小,也就是四边形
S′ PQRS 周长最小。又 S ' A = SA' , 所以最小值 L = SS ' = DD ' = 2 BD = 2b 。故选 B。 策略六 布列方程法 D

P

3

例 6、棱长为 2cm 的正方形体容器盛满水, 把半径为 1cm 的铜球放入水中刚好被淹没, 然后再放入一个铁球,使它淹没水中,要 使流出来的水量最多,这个铁球的半径应 该为多大? 【解析】:过正方形对角线的截面图如图所示,

AC1 = 2 3 , AO = 3

AS = AO OS = 3 1 设 小 球 的 半 径 r , tan ∠C1 AC =

1 2

在 AO1 D中 ,

AO1 = 3r ,∴ AS = AO1 + O1 S ∴ 3 1 = 3r + r ,解得 r = 2 3 (cm)为所求。
策略七、 极限思想法 【解析】三棱锥 P-ABC 中,若棱 PA=x,其余棱长均为 1, 探讨 x 是否有最值;2 若正三棱锥底面棱长棱长均为 1, 探讨其侧棱否有最值。 解析:如图第 1 题:当 P-ABC 为三棱锥时,x 的最小极限是 P、A 重合,取值为 0,若 PBC 绕 BC 顺时针旋转,PA 变大, 最大极限是 P,A,B,C 共面时,PA 为菱形 ABPC 的对角线长度为 3 第 2 题:若 P 在底面的射影为 O,易知 PO 越小,侧棱越小。故 P、O 重合时,侧棱取最小极 限值
P

A O B

C

3 ,PO 无穷大时,侧棱也无穷大。可知两题所问均无最值。 3

策略八、向量运算法 例 8. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-EFGH 中, 是 AF 上的动点,则 GP+PB 的最小值为 P _______。 【解析】以 A 为坐标原点,分别以 AB、AD、AE 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图 4 所示 的空间直角坐标系, B 则 (1, 0) G 0, ,(1, 1) 根据题意设 P 1, 。 (x, x) 则 BP = ( x 1, x) , 0, , 0,



→ GP = ( x 1, 1,x 1) ,那么

GP + PB = 2 x 2 4 x + 3 + 2 x 2 2 x + 1
2 2 2 2 1 1 2 + x + 0 = 2 ( x 1) + 0 2 2 2

z H E F P y D A B G

C x

4

2 2 2 1 1 0 + x + 0 可以看成 x 轴正半轴上一点 式子 ( x 1) + (x, 2 2 2 2

2

0,0)到 xAy 平面上两点 1,



2 2 1 1 。所以 , 、 , , 的距离之和,其最小值为 1 + 0 0 2 2 2 2 2 = 2+ 2 。 2

GP+PB 的最小值为 2 1 +

[规律小结] 建立函数法是一种常用的最值方法, 很多情况下, 我们都是把这类动态问题转化成目标 函数,最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多,在函数建成后,可用一次函数 的端点法;二次数的配方法、公试法; 有界函数界值法(如三角函数等)及高阶函数的拐 点导数法等。 公理与定义法通常以公理与定义作依据, 直接推理问题的最大值与最小值, 一般的公理 与定理有:两点之间以线段为最短,分居在两异面直线上的两点的连线段中,以它们的公垂 线段为短。球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等。 如果直接建立函数关系求之比较困难,而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷 径。 解不等式法是解最值问题的常用方法、 在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变 量的特殊不等关系求解: 如

a2 + b2 ≥ ab 2

ab ≤

a+b 2

最小角定理所建立的不等关系

等等。 展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法, 也是一种常用的方法, 它可将几何题表 面展开,也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面,这样能使求解问题,变得 十分直观,由难化易。 变量分析法是我们要透过现象看本质,在几何体中的点、线、面,哪些在动,哪些不动, 要分析透彻, 明白它们之间的相互关系, 从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总 题的方法。 除了上述 5 种常用方法外, 还有一些使用并不普遍的特殊方法, 可以让我们达到求解最 值问题的目的, 这就是: 布列方程法、 极限思想法、 向量计算法等等其各法的特点与普遍性, 大家可以通过前述实例感受其精彩内涵与真理所在。 ※ 考点警示 在解题时,通常应注意分析题目中所有的条件,首先应该在充分理解题意的基础上, 分析是否能用公理与定义直接解决题中问题; 如果不能, 再看是否可将问题条件转化为函数, 若能写出确定的表意函数,则可用建立函数法求解;再不能,则要考虑其中是否存在不等关 系,看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面,这样依次 从本文所标定的方法顺序思考,必能找到解题的途径。

5


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