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圆锥曲线统一定义


复习回顾
1、 椭圆的定义:

平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|)的点的轨迹
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 2 、双曲线的定义:

平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹

/>表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|) 3、抛物线的定义:

平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离)

平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.

探究与思考:
若PF/d≠1呢?

在推导椭圆的标准方程时,我们曾得到这样 一个式子:

a ? cx ? a ( x ? c) ? y
2 2

2

将其变形为:

你能解释这个式子的几何意义吗?

c a 线 l:x? 的距离的比是常数 (a>c>0),求P的 a c 轨迹.
解:由题意可得:

例1.已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2

( x ? c) 2 ? y 2 a2 ?x c

c ? a

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 2 2 令a2-c2=b2,则上式化为: x ? y ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
化简得 所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.

c a 线 l:x? 的距离的比是常数 (c>a>0),求P的 a c 轨迹.
解:由题意可得:

变题:已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2

( x ? c )2 ? y 2 a2 ?x c

c ? a

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 即:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 2 2 x y 2 2 2 令c -a =b ,则上式化为: ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、 虚轴长分别为2a,2b的双曲线.

圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上)
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.

其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线.

说明:
1、对于焦点在x轴上的椭圆、双曲线有两 个焦点,两条准线,相对于焦点F2(c,0) 的准线是x=a2/c;相对于焦点F1(-c,0)的 准线是x=-a2/c
2、左焦点与左准线对应,右焦点与右准线 对应,不能混淆,否则得到的方程不是标 准方程。

3、离心率的几何意义:曲线上一点到焦点 的距离与到相应准线的距离的比。

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
l1 d1 y l2

2

2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
l1

y

l2 M2 P

M1

P
O

d2

M2 x F1

d2

F1

.

.

F2

.
M1

O

.

F2 P′

x

d1

a 准线: x ? ? c

2

PF1 PF2 ? ?e 定义式: d1 d2

标准方程
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

图形

焦点坐标

准线方程
a2 x?? c a2 y?? c a2 x?? c

( ? c, 0) (0, ? c) ( ? c, 0)

y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? b ? 0)
x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

(0, ? c)

a2 y?? c

1.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
x2 y2 (1) ? ?1 25 9 x2 y 2 (3) ? ?1 25 9

(2)4x ? y ? 16
2 2

(4)4 y ? x ? 16
2 2

(5) y ? 16x
2

(6) x 2 ? ?16y

注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦 点的位置→确定a,c,p的值,得出焦点坐标与准线方 程.

2

x2 y2 ? ?1 已知双曲线 64 36

上一点P到左焦点的距离为14,求P点到右准线

的距离.

法一:由已知可得a=8,b=6,c=10.

因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点,
设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离

为d,则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16,
所以|PF2|=30,又由双曲线第二定义可得
| PF2 | ?e d

1 所以d= |PF2|=24 e

2

x2 y2 ? ? 1上一点P到左焦点 已知双曲线 64 36

的距离为14,求P点到右准线的距离.

2a 分析 : 两准线间距离为 c

2

法二 : 设点P到左准线的距离为d 14 c 5 ? a ? 8, b ? 6, c ? 10,? ? e ? ? d a 4 4 56 2a 2 2 ? 64 64 ? d ? 14 ? ? 又? ? ? 5 5 c 10 5 2a 2 56 64 ? P到右准线的距离为 ?d ? ? ? 24 c 5 5

辨析
3.点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的 距离的比为1/2,求点P的轨迹方程,并说明轨迹 是什么图形。
待定系数法: 由题意所求点的轨迹为椭圆, 两 所以设为:



直译法: 设动点P(x,y),则
( x ? 2) 2 ? y 2 1 ? | x ?8| 2

种 解 法 则 ?c ? 2 2 都 ? a ? 16 ? 解得: ? ? 2 正 ?c / a ? 1/ 2 b ? 12 ? ? ?b 2 ? a 2 ? c 2 确 ? 所以所求点P的轨迹方程为: 吗 ? x y ? ?1
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

化简得:x 2

y2 ? ?1 16 12

所以动点P的轨迹方程为:
x2 y 2 ? ?1 16 12

16

12

轨迹 为椭圆

轨迹方程的思考:
3.点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的 距离的比为1/2,求点P的轨迹方程,并说明轨迹 是什么图形。
思考(1):已知点P到定点F(1,0)的距离与它到定直线

7 ,求P的轨迹方程. l : x ? 5 的距离的比是常数 5

(2)到点A(1,1)和到直线x+2y-3=0距离相 等的点的轨迹方程为 。

椭圆的焦半径及其推导
椭圆上一点与其焦点的连线段叫做椭圆上这点的焦半径.
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 例4、椭圆 a b 上一点P(x0,y0), F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,求证:

|PF1|=a+ex0;|PF2|=a-ex0

方程

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y
B2
A1 F1 O B1 F2 A2 x

2

2

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y
A2 F2 B1 F1 O B2 x

图形

范围 对称性 顶点 离心率 准线方程

-a≤x≤a,-b ≤y≤b
A1(-a,0), B1(0,-b),

-b ≤x≤b, -a≤y≤a

A1

关于x轴、y轴、原点对称 A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) B2(0,b) B1(-b,0), B2(b,0) c e ? (0 ? e ? 1) a 2 a a2 x?? y?? c c

焦半径

|PF1|=a+ex0;|PF2|=a-ex0|PF1|=a+ey0;|PF2|=a-ey0

双曲线的焦半径公式及推导
双曲线上一点与其焦点的连线段叫做双曲线上 这点的焦半径. 例6.P(x0,y0)为双曲线 求证:|PF1|=|ex0+a|;|PF2|=|ex0-a|
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)上一点, 2 a b

练习
| 3x ? 4 y ? 8 | 1.椭圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 的离心率为 B 25
2 2

A、1/25

B、1/5

C、1/10

D、无法确定

2.椭圆长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上点到椭圆

中心距离的取值范围是 B
A、[8,10] B、[4,5] C、[6,10] D、[2,8]

3.设双曲线的两条准线把两个焦点间的距离三 等分,则其离心率为______.

3

4.若椭圆的长轴长为200,短轴长为160,则椭圆 上的点到焦点距离范围是 A A、[40,160] C、[40,100] B、[0,100] D、[80,100]

x2 y 2 ? 1 上点,F1、F2是两焦点,则 5.P是椭圆 ? 4 3 |PF1|· |PF2|的最大值与最小值的差是 1 。

a2

b2

例6.已知点A(1,2)在椭圆3x2+4y2=48内,F(2,0) 是焦点,在椭圆上求一点P,使|PA|+2|PF|最小,求P 点的坐标及最小值。

2 y 2 变题:设P是双曲线x ? ? 1的右支上的动点,F 为 3 双曲线的右焦点,已知( A 3, 1),则:

1 ( 1)求PA ? PF的最小值;(2)求PA ? PF的最小值 2

利用第二定义解题. 探索: 以过椭圆的焦点的弦为直径的圆,和该 焦点相应准线是何位置关系? 相离 类比: 以过双曲线的焦点的弦为直径的圆,和 该焦点相应准线是何位置关系? 相交 y y

.

0
B

P

.

F

.

A m

A

P

d n

x

..
F
B

o

.

x

共同点: 利用第二定义解题.

差异: 椭圆

0 ? e ?1,

双曲线 e ? 1.

知识回顾:
1.圆锥曲线的共同性质;
2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式); 3.轨迹方程的思考.(定义法与直接法)

例7、椭圆上任意一点与焦点所在的线段叫做这点 的焦半径,设椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)上三点P1、 P2、P3,F1、F2为左右焦点,求证:若P1、P2、P3 三点的横坐标成等差数列,则对应三点的焦半径 也成等差数列。


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