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高一数学 必修 4 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式


第三章 3.1

三角恒等变换

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式

一、教材分析 《两角差的余弦公式》是人教 A 版高中数学必修 4 第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正 弦、余弦和正切公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导,要引导学生主动参与, 独立思索,自己得出相应的结论。 二、教学目标 1、知识与技能:.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结 构 及其功能,并为建立其他和差公式打好基础。 2、过程与办法:在探究公式的过程中,逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力,培养学生学 会合作交流的能力。 3、情感,态度与价值观:通过课题背景的设计,增强学生的应用意识,激发学生的学习积极性。 三、教学重点难点 重点: 两角差余弦公式的探索和简单应用。 难点: 探索过程的组织和引导。 四、学情分析 之前学习了三角函数的性质,以及平面向量的运算和应用,在此基础上,要考虑如何利用任意角 牢固的掌握这个公式, 并会灵活运用公式进行下一节内容的学习。 ?,? 的正弦余弦值来表示 cos(? ? ? ) , 五、教学方法 1.自主性学习法:通过自学掌握两角差的余弦公式。 2.探究式学习法:通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程。 3.反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距 六、课前准备 1.学生准备:预习《两角差的余弦公式》 ,理解两种方法的推理过程。 2.教师准备:课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。 七、课时安排:1 课时 八、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 以学校教学楼为背景素材(见课件)引入问题。并针对问题中的 cos15 用计算器或不用计算器计算 求值,以激趣激疑,导入课题。 教师问:想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的 C 点处往该点正对的地面上的 A 点处拉一条钢 绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗? (要求在地面上测量,测量工具:皮尺, 测角器) 问题: (1)能不能不用计算器求值 : cos 45
0 0 0 0
0 0

, cos 30

0

, cos15

0

(2) cos(45 ? 30 ) ? cos 45 ? cos30 是否成立? 设计意图:由给出的背景素材,使学生感受数学源于生活,又应用于生活,唤起学生解决问题的兴趣, 和抛出新知识引起学生的疑惑,在兴趣和疑惑中,激发学生的求知欲,引导学习方向。 1

(二) 、研探新知 1.三角函数线法: 问:①怎样作出角 ? 、 ? 、 ? ? ? 的终边。 ②怎样作出角 ? ? ? 的余弦线 OM ③怎样利用几何直观寻找 OM 的表示式。 设计意图:尽量用动画课件把探索过程展示出来,使学生能从几何直观角度加强对公式结构形式的认 识。
Y

p1 A C β α O B α-β X M

?
P

(1) 设角 ? 终边与单位圆地交点为 P1, ?POP ? ? , 则?POx ? ? ? ? 。 1 (2) 过点 P 作 PM⊥X 轴于点 M,那么 OM 就是 ? ? ? 的余弦线。 (3) 过点 P 作 PA⊥OP1 于 A,过点 A 作 AB⊥x 轴于 B,过点 P 作 PC⊥AB 于 C
那么 OA 表示 于是

cos ?

,AP 表示 sin ? ,并且 ?PAC

? ?POx ? ?. 1

OM=OB+BM =OB+CP =OA cos ? +AP sin ? = cos ? cos ? ? sin ? sin ? 最后要提醒学生注意,公式推导的前提条件:

? 、 ? 、 ? ? ? 都是锐角,且 ? ? ?
2.向量法: 问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示? ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理,从而得到合理的科学结论。 设计意图: 让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程, 体会向量方法解决数学问题的简洁性。 如图,建立单位圆 O 2

??? ? ??? ? 则OA ? ? cos ? ,sin ? ? , OB ? ? cos ? ,sin ? ?

A

由向量数量积的坐标表示,有

因为 得

? 、 ? 、都是任

cos ? ? cos(? ? ? ) 。

例 1. 利用差角余弦公式求 cos15 的值

(求解过程让学生独立完成,注意引导学生多方向、多维度思考问题) 解法 1:

cos150 ? cos(450 ? 300 ) ? cos 450 cos300 ? sin 450 sin 300 ? …=
解法 2:

?? ??? ? ?
由 向 量 数 量 积 的 概 念 , 有

y

B

O

x

意 角,所以 ? ? ? 也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个 ? ? [0, 2? ) ,使

于是对于任意角 ? 、 ? 都有

简记C ? ??) (

0

6? 2 4

3

cos150 ? cos(600 ? 450 ) ? cos 600 cos 450 ? sin 600 sin 450 ? …=
变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式: (1) cos(

2? 6 4

?
2

? ? ) ? sin ? ;

(2) cos(2? ? ? ) ? cos ? (让学 解:由

例2.已知sinα=

生联系公式 C?? ?? ? 和本题的条件,考虑清楚要计算 cos ?? ? ? ? ,应作那些准备。 )

4 π 5 ,α ? ( ,π),cosβ= ,β第三象限角,求cos(? ? ?)的值 5 2 13
2

3 4 ?4? ?? ? sin ? ? , ? ? ? , ? ? ,得 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 5 ?5? ?2 ?

12 5 ?5? 2 又由 cos ? ? ? , ? 是第三象限角,得 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 13 13 ? 13 ? 3 ? 5 ? 4 ? 12 ? 33 所以 cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? (? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 13 ? 5 ? 13 ? 65 让学生结合公式 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,明确需要再求哪些三角函数值,可使问题得
到解决。 变式训练:已知 sin ? ?

2

15 ? ,? 是第二象限角,求 cos ? ? )的值 ( 17 3

(三) 、质疑答辩,排难解惑,发展思维 1.利用两角和(差)的余弦公式,求 cos 75 ,cos105
0 0

【点评】 把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如: :

cos1050 ? cos(1500 ? 450 ) ,要学会灵活运用.

2.求值

cos 750 cos300 ? sin 750 sin 300 ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ?

(

2 ) 2

3.化简 cos(?

(cos ? )
1 ( ) 2

1 5 4.已知?,? 为锐角, ? ? , (? ? ?) cos sin ? 3 ,求cos? 7 14
提示:利用拆角思想 cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] 的变换技巧

(设计意图:通过变式训练,进一步加深学生对公式的理解和应用,体验公式既可正用、逆用,还可变
用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题,培养了学生的灵活思维品质,提高学生的 数学交流能力,促进思维的创新。) (四)发导学案、布置预习 本节我们学习了两角和与差的余弦公式, 要求同学们掌握公式 C(? ?? ) 的推导, 能熟练运用公式 C(? ?? ) , 注意公式 C(? ?? ) 的逆用。在解题过程中注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题,学会灵活运用.课下完成 4

本节的课后练习以及课后延展作业,课本 P137 习题 2.3.4 (设计意图: 布置下节课的预习作业, 并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。) 九、板书设计 两角差的余弦公式 1.三角函数线法 2.向量法 例1 变式训练 例2 变式训练 当堂训练 1. 2. 3. 4. 十、教学反思 本节主要考察如何用任意角 ?,? 的正弦余弦值来表示 cos(? ? ? ) ,回顾公式

C ? ??) 的推导过 (

程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角 ? , ? 的任意性,特别要注意公式既可正用、逆用,还 可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题. 设计意图:让学生通过自己小结,反思学习过程,加深对公式及其推导过程(包括发现、 猜想、论证的数学化的过程)的理解。

5

3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标 1.知识与技能目标:理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方 法,体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用。 2.过程与方法目标:让学生亲身经历“从已知入手,研究对象的性质,再联系所学知识,推 导出相应公式。 ”这一研究过程,培养他们观察、分析、联想、归纳、推理的能力。通过阶梯 性的强化练习,培养学生分析问题、解决问题的能力。 3.情感态度与价值观目标:通过对两角和与差的三角恒等变换特点的研究,培养学生主动探 索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。 二、教学重难点 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。 三、教学过程 (一)新课引入 创设情境 引入课题:

想一想: cos15 ? ?
?

由上一节所学的两角差的余弦公式: cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,同学们很容 易想到: 那 cos15? ? cos(45? ? 30? ) ? cos 45? cos 30? ? sin 45? sin 30? ?

cos 75? ? ?

2? 6 4

cos 75? ? cos(30? ? 45? ) ? ?
这节课我们就来学习两角和与差的正弦、余弦、正切的公式: (二)讲授新课 探索新知一 两角和的余弦公式 思考:由 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ,如何求 cos(? ? ? ) ? ? 分析:由于加法与减法互为逆运算,? ? ? ? ? ? (?? ) ,结合两角差的余弦公式及诱导公式,将 上式中以??代?得

cos(? ? ? ) ? cos[? ? (?? )] ? cos ? cos(?? ) ? sin ? sin(?? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
1、

cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ

上述公式就是两角和的余弦公式,记作

c(? ? ? ) 。
6

由两角和的余弦公式:

c(? ? ? ) ,我们现在完成课前的想一想:

cos 75? ? cos(30? ? 45? ) ? cos30? cos 45? ? sin 30? sin 45?
探索新知二 思考:前面我们学习了两角和与差的余弦,请同学们猜想一下:会不会有两角和与差 的正弦公式呢?如果有,又该如何推导呢? 在第一章中,我们学习了三角函数的诱导公式,同学们是否还记得如何实现由余弦到 正弦的转化呢?

cos( ? ? ) ? sin ? 2
结合 (? ? ? ) 与 (? ? ? ) ,我们可以得到

?

c

c

? ? ? ? sin(? ? ? ) ? cos[ ? (? ? ? )] ? cos[( ? ? ) ? ? ] ? cos( ? ? )cos ? ? sin( ? ? )sin ? 2 2 2 2

? sin ? cos ? ? sin ? cos ?
2、

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

上述公式就是两角和的正弦公式,记作 那 将上式

s(? ? ? ) 。

sin(? ? ? ) ? ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? 中以??代?得

sin[? ? (?? )] ? sin ? cos(?? ) ? sin(?? ) cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? 3、 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
上述公式就是两角差的正弦公式,记作 探索新知三 用任意角 ?、? 的正切表示 tan(?

s(? ? ? ) 。

? ? )、 ? ? ? ) 的公式的推导: tan(

根据正切函数与正弦、余弦函数的关系,我们可以推得:

tan(? ? ? ) ?

sin(? + ? ) sin? cos? + cos?sin? ? cos(? + ? ) cos? cos? - sin?sin?
分子分母同时除以cos ? cos ?

当cos ? cos ? ? 0时,

7

4、

tan(? + ? )=

tan? + tan? 1- tan? tan?
记:T(? + ? )

上述公式就是两角和的正切公式, 同理

5、

tan(? - ? )=

tan? - tan? 1+ tan? tan?

上述公式就是两角差的正切公式, 记T(? - ? ) 注意:两角和与差的正切公式在应用过程中, 1、必须在定义域范围内使用上述公式。 即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存在就不能使用这个公式。 2、注意公式的结构,尤其是符号。 (三)课堂练习

3 ? ? ? 例3:已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), cos( ? ? ), tan(? ? )的值。 5 4 4 4
3 4 3 解:由sin? =- , ? 是第四象限的角,得 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (? 5 ) 2 ? , 5 5

所以 tan ? ?
于是有sin(

sin ? 3 ?? , cos ? 4
? ? ) ? sin

?
4

?
4

cos ? ? cos

?
4

sin ? ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

cos(

?
4

? ? ) ? cos

?

五、课后作业:

3 ? ?1 ? 4 ? tan ? ? 1 ? 4 tan(? ? ) ? ? ?7。 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? (? 3 ) 4 4

4 ? tan ? ? tan

cos ? ? sin

?
4

sin ? ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

六、小结
1 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、推导及应用;

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? cos ? cos ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1- tanαtanβ

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tanα- tanβ 1+ tanαtanβ

tan(α-β)=

2、 利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式,灵活使用使用 公式。
8

3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一 、教学目标
(一)知识与技能 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;理解 化归思想在推导中的作用。 2. 能正确运用(顺向、逆向、变形运用)二倍角公式求值、化简、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻 辑推理能力; 3.揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,并培养学 生综合分析能力. 4.结合三角函数值域求函数值域问题。 (二)过程与方法 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美, 激发学生学数学的兴趣;通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力;通过综合运用公式,掌握有关技巧, 提高分析问题、解决问题的能力。 (三)情感、态度与价值观 1.通过本节的学习,使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识;理解掌握三角函数各个公式的 各种变形,增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 二、教学重、难点 教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式; 教学难点:二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学,多媒体教学; 四、教学过程 (一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和(差)的正弦、余弦和正切公式,

cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;

tan?? ? ? ? ?

tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ?

1、 240 cos 690 ? sin 240 sin 690 cos 2、 37.5 0 cos 7.5 0 ? cos37.5 0 sin 7.5 0 sin t an 450 ? t an150 3、 1 ? t an 450 t an150 12 12 0 0 5、 75 cos 75 ? cos 750 sin 750 sin 2 t an 22.5 0 6、 1 ? t an2 22.5 0 4、 2 cos

(二) 复习练习:

(三)公式推导: 我们由此能否得到 sin 2? ,cos 2? , tan 2? 的 公式呢? (学生自己动手, 把上述公式中 ? 看成 ? 即可) , 9

?

? sin 2

?

sin 2? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ? ? 2sin ? cos?

cos 2? ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin? ? cos2 ? ? sin 2 ? ;
思 考 : 把 上 述 关 于 cos 2? 的 式 子 能 否 变 成 只 含 有 sin ? 或

cos? 形 式 的 式 子 呢 ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ;

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (1 ? cos2 ? ) ? 2cos2 ? ?1 .
tan 2? ? tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 2 tan ? ? ? ? .注意: 2? ? ? k? ,? ? ? k? 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 2 2

?k ? z?

(四)例题讲解 例一、 (公式巩固性练习)求值: 2.2cos222.5?-1 3、 cos
2

1.2sin15?cos15?

? ? ? sin 2 8 8

2 tan 22.50 4、 1 ? tan2 22.50

5、 8 sin

?
48

cos

?
48

cos

?
24

cos

?
12

例二、已知 sin 2? ?

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? , cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

解:由

? ? ? ? ? ? , 得 ? 2? ? ? . 4 2 2
2

5 12 ?5? , cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? 1 ? ? ? ? ? . 又因为 sin 2? ? 13 13 ? 13 ?
于是 sin 4? ? 2sin 2? cos 2? ? 2 ?

5 ? 12 ? 120 ; ??? ? ? ? 13 ? 13 ? 169

120 2 ? sin 4? 120 5 ? 119 ? ; tan 4? ? . ? 169 ? ? cos 4? ? 1 ? 2sin 2 2? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 119 cos 4? 119 ? 13 ? 169 169
练习:

10

1、已知cos 求 sin

?

4 ? ? , ? ?? ?12?, 8 8 5

?
4

, cos

?

, t an 的值。 4 4

?

3 2、 已知 sin(? ? ? ) ? , 求 cos 2?的值 。 5

3、 2? ? ? sin ?, ? ? sin (
五、归纳总结:

?
2

, ?), 求 tan ?的值.

4、 化简 : 1 ? sin 480 ?

1 ? cos480 2

1、二倍角公式是和角公式的特例,体现将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 2、二倍角公式与和角、差角公式一样,反映的都是如何用单角的三角函数值表示复角(和、差、倍)的 三角函数值,结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和 证明问题。

六、作业:教科书 P160 习题 3.1 的第 14、15、17 题

11

3.1

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式

教学分析

本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程 的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中 存在研究像 tan(45°+α )这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像 sinα 与 tan(45°+α )这样的包含两角和的三角函数与α 、45°单角的三角函数的关系的需 要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学 习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程. 本节首先引导学生对 cos(α -β )的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给 出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、 发展的具体过程,最后 提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行 探索、 推导,让学生动手画图,构造出α -β 角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度, 教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性: ①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完 成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细 节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的过程,既要运用分 类讨论的思想,又要用到诱导公式. 本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了 解公式的由来;②使学生认识公式的结构特征,加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明;④ 通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题. 一、教学目标 1.知识与技能:通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角 的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养 学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质. 2.过程与方法:通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思 想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题, 提高学生分析问题、解决问题的能力. 3.情感,态度与价值观:通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与 转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化 学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思 想方法. 二、教学重点与难点 教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式. 教学难点:探索过程的组织和适当引导. 三、课时安排 1 课时 三、学法与教学用具 学法:研讨式教学,多媒体教学; 五、教学过程 (一)导入新课 思路 1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分 析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究
12

像 tan(45°+α )这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像 sinα 与 tan(45°+α )这样的包含两角和的三角函数与α 、 45°单角的三角函数的关系的需要.在此基 础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课. 思路 2.(复习导入)我们在初中时就知道 cos45°=
2 3 ,cos30°= ,由此我们能否得到 2 2

cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于 cos45°-cos30°呢?教师可让学生验证,经过验 证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢?cos(α -β )等于什么呢?这时学生 急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨 “两角差的余弦公式” .这是全章公式的基础. (二)推进新课 新知探究 提出问题 ①请学生猜想 cos(α -β )=? ②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α 、β 的三角函数来表示 cos(α -β )呢? ③利用向量的知识,又能如何推导发现 cos(α -β )=? ④细心观察 C(α -β )公式的结构,它有哪些特征?其中α 、β 角的取值范围如何? ⑤如何正用、逆用、灵活运用 C(α -β )公式进行求值计算? 活动:问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学 可能就首先想到 cos(α -β )=cosα -cosβ 的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角 来验证它的正确性.如α =60°,β =30°,则 cos(α -β )=cos30°=
3 ,而 cosα -cosβ 2

=cos60°-cos30°=

1? 3 ,这一反例足以说明 cos(α -β )≠cosα -cosβ . 2

让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即 可. 问题②,既然 cos(α -β )≠cosα -cosβ ,那么 cos(α -β )究竟等于什么呢?由于这里涉 及的是三角函数的问题,是α -β 这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来 探究呢?

图1

如图 1,设角α 的终边与单位圆的交点为 P1,∠POP1=β ,则∠POx=α -β .过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,垂足为 M,那么 OM 就是角α -β 的余弦线,即 OM=cos(α -β ),这里就是要用角α 、 的正弦 β 线、余弦线来表示 OM.过点 P 作 PA 垂直于 OP1,垂足为 A,过点 A 作 AB 垂直于 x 轴,垂足为 B, 过点 P 作 PC 垂直于 AB,垂足为 C.那么,OA 表示 cosβ ,AP 表示 sinβ ,并且∠PAC=∠P1Ox=α .
13

于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cosβ cosα +sinβ sinα ,所以,cos(α -β )=cosα cos β +sinα sinβ . 教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α 、β 、α -β 是有条件限制的,即α 、 β 、α -β 均为锐角,且α >β ,如果要说明此结果是否对任意角α 、β 都成立,还要做不少推广 工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.

图2 问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图 2,在平面直 角坐标系 xOy 内作单位圆 O,以 Ox 为始边作角α 、 ,它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、 β B,则 OA =(cosα ,sinα ), OB =(cosβ ,sinβ ),∠AOB=α -β . 由向量数量积的定义有 OA ? OB =| OA || OB |?cos(α -β )=cos(α -β ), 由向量数量积的坐标表示有

OA ? OB =(cosα ,sinα )(cosβ ,sinβ )=cosα cosβ +sinα sinβ ,
于是,cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ . 我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α β 必须符合条件 0≤α -β ≤π ,以上结论才正确,由于α 、β 都是任意角,α -β 也是任意角, 因此就是研究当α -β 是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α -β 是任意角时,由诱导公 式,总可以找到一个角θ ∈[0,2π ),使 cosθ =cos(α -β ),若θ ∈[0,π ],则 OA ? OB =cos θ =cos(α -β ).若θ ∈[π ,2π ],则 2π -θ ∈[0,π ],且 OA ? OB =cos(2π -θ )=cosθ =cos(α -β ). 由此可知,对于任意角α 、β 都有 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ (C(α -β )) 此公式给出了任意角α 、β 的正弦、余弦值与其差角α -β 的余弦值之间的关系,称为差 角的余弦公式,简记为 C(α -β ).有了公式 C(α -β )以后,我们只要知道 cosα 、cosβ 、sinα 、sin β 的值,就可以求得 cos(α -β )的值了. 问题④,教师引导学生细心观察公式 C(α -β )的结构特征,让学生自己发现公式左边是 “两角 差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进 行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空, 如:cos(A-B)=__________,cos(θ -φ )= __________等.因此,只要知道了 sinα 、cosα 、sinβ 、cosβ 的值就可以求得 cos(α -β ) 的值了. 问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学 生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技
14

巧.如 cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=

3 , 2

cosα =cos[(α +β )-β ]=cos(α +β )cosβ +sin(α +β )sinβ . 讨论结果:①—⑤略. 应用示例 思路 1 例 1 利用差角余弦公式求 cos15°的值. 活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角 15°,它可以 拆分为哪些特殊角的差,如 15°=45°-30°或者 15°=60°-45°,从而就可以直接套用公式 C(α -β )计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的 结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励 其换个角度继续探究. 解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30° =
2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45° =

1 2 2 3 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

点评:本题是指定方法求 cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中 到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运 用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情 形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会. 变式训练 1.不查表求 sin75°,sin15°的值.? 解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30° =
2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 3 2 4

sin15°= 1 ? cos2 15? = 1 ? (

6? 2 2 8?2 6? 2 6? 2 ? . ) = 16 4 4

点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式, 不难得到上面的解答方法. 2.不查表求值:cos110°cos20°+sin110°sin20°. 解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0. 点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察, 再结合公式 C(α -β )的右边的特征,逆用公式便可得到 cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例, 从而培养了学生思维的灵活性. 例 2 已知 sinα =

4 ? 5 ,α ∈( ,π ),cosβ = ? ,β 是第三象限角,求 cos(α -β )的值. 5 2 13

活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲
15

求 cos(α -β )的值,必先知道 sinα 、cosα 、sinβ 、cosβ 的值,然后利用公式 C(α -β )即可求 解.从已知条件看,还少 cosα 与 sinβ 的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注 意利用同角的平方和关系式时,角α 、 所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例 β 可由学生自己独立完成. 解:由 sinα =

4 ? ,α ∈( ,π ),得 5 2

4 3 cosα = ? 1 ? sin 2 a ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? . 5 5
又由 cosβ = ?

5 ,β 是第三象限角,得 13

sinβ = ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (?

5 2 12 ) ?? . 13 13

所以 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

3 5 4 12 33 = (? ) ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 5 13 5 13 65
点评:本题是直接运用公式 C(α -β )求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要 准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数 值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯. 变式训练 已知 sinα =

4 5 ,α ∈(0,π ),cosβ = ? ,β 是第三象限角,求 cos(α -β )的值. 5 13

解:①当α ∈[

? 4 4 3 ,π )时,且 sinα = ,得 cosα = ? 1 ? sin 2 a ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? , 5 2 5 5

又由 cosβ = ?

5 ,β 是第三象限角,得 13 12 5 2 ) =? . 13 13

sinβ = ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (?

所以 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

3 5 4 12 33 = (? ) ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 5 13 5 13 65.
②当α ∈(0,

? 4 )时,且 sinα = ,得 5 2

16

4 3 cosα = 1 ? sin 2 a ? 1 ? ( ) 2 ? , 5 5
又由 cosβ = ?

5 ,β 是第三象限角,得 13

sinβ = ? 1 ? cos2 ? ? ? 1 ? (?

5 2 12 ) ?? . 13 13

所以 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

3 5 4 12 63 = ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 5 13 5 13 65
点评:本题与例 2 的显著的不同点就是角α 的范围不同.由于α ∈(0,π ),这样 cosα 的符 号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角α 进行分类讨论,从而培养学 生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.
思路 2 例 1 计算:(1)cos(-15° ); (2)cos15° cos105° +sin15° sin105° ; (3)sinxsin(x+y)+cosxcos(x+y). 活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15° ,思考它可以拆分为哪些特殊角的 差,如-15° =15° 或-15° -30° =45° ,然后套用公式求值即可.也可化 cos(-15° -60° )=cos15° 再求值.让学生细心观察 (2)(3)可知,其形式与公式 C(α-β)的右边一致,从而化为特殊角的余弦函数. 解:(1)原式=cos15° =cos(45° )=cos45° -30° cos30° +sin45° sin30° =

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

(2)原式=cos(15° -105° )=cos(-90° )=cos90° =0. (3)原式=cos[x-(x+y)]=cos(-y)=cosy. 点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养学生正用、 逆用、 变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下牢固的基础. 例 2 已知 cosα=

1 11 ? ,cos(α+β)= ? ,且 α、β∈(0, ),求 cosβ 的值. 7 14 2

活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究 α、α+β、β 之间的关系,也就是寻找已知条件 中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到 β=(α+β)-α 的关系式,然后利用公式 C(α-β)求值即可.但 还应提醒学生注意由 α、β 的取值范围求出 α+β 的取值范围,这是很关键的一点,从而判断 sin(α+β)的符号进 而求出 cosβ. 解:∵α、β∈(0,

? ),∴α+β∈(0,π). 2

又∵cosα=

1 11 ,cos(α+β)= ? , 7 14

17

∴sinα= 1 ? cos2 a ?

4 3 , 7 5 3 . 14

sin(α+β)= 1 ? cos2 (a ? ? ) ?

又∵β=(α+β)-α, ∴cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα = (?

11 1 5 3 4 3 1 )? ? ? ? . 14 7 14 7 2

点评:本题相对于例 1 难度大有提高,但是只要引导适当,学生不难得到 β=(α+β)-α 的关系式,继而运用公 式解决.但值得注意的是 α+β 的取值范围确定,也是很关键的,这是我们以后解题当中常见的问题. 变式训练 1.求值:cos15° +sin15° . 解:原式= 2 (

2 2 cos15° + sin15° 2 (cos45° )= cos15° +sin45° sin15° ) 2 2
= 2 cos30°

= 2 cos(45° )= -15°

6 . 2

2.已知 sinα+sinβ=

3 4 ,cosα+cosβ= ,求 cos(α-β)的值. 5 5 3 2 4 ) ,(cosα+cosβ)2=( )2, 5 5

解:∵(sinα+sinβ)2=(

以上两式展开两边分别相加得 2+2cos(α-β)=1, ∴cos(α-β)= ?

1 . 2

点评:本题又是公式 C(α-β)的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方,从而得到公 式 C(α-β)中 cosαcosβ 和 sinαsinβ 的值,即可求得 cos(α-β)的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问 题的能力. 3.已知锐角 α、β 满足 cosα=

4 1 ,tan(α-β)= ? ,求 cosβ. 5 3

解:∵α 为锐角,且 cosα=

4 3 ,得 sinα= . 5 5

又∵0<α<

? ? ,0<β< , 2 2

∴-

? ? <α-β< . 2 2
18

又∵tan(α-β)= ?

1 <0, 3
.

∴cos(α-β)=

3 10

从而 sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)= ?

1 10

.

∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =

4 3 3 1 × ? ? (? ). 5 10 5 10
9 10 . 50

=

知能训练 课本本节练习. 解答: 1.(1)cos(

? ? ? -α)=cos cosα+sin sinα=sinα. 2 2 2

(2)cos(2π-α)=cos2πcosα+sin2πsinα=cosα. 2.

2 . 10 15 3 ? 8 . 34 2 7 ?3 5 . 12

3.

4.

课堂小结 1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及 掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新 知识的探究?(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点. 2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题 时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳 解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的. 作业 课本习题 3.1 A 组 2、3、4、5. 设计感想 1.本节课是典型的公式教学模式,因此本节课的设计流程为“实际问题→猜想→探索推导→记忆→应用”.它 充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导 作用,引导学生利用旧知识推导、证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而培养 19

学生独立探索数学知识的能力,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性. 2.纵观本教案的设计,学生发现推导出公式 C(α-β)后就是应用,同时如何训练公式的正用、逆用、变形用也是 本节的重点难点.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎样逆用公式及活用公式, 那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的. 3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的推理特点,本节主要是教给学 生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增强了 学生的参与意识,教给了学生发现规律、探索推导,获取新知的途径,让学生真正尝到探索的喜悦,真正成为教 学的主体.学生体会到数学的美,产生一种成功感,从而提高了学习数学的兴趣.

20

3.3 简单的三角恒等变换
一.教学目标 1、知识与技能:①通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式,体会化归、换 元、方程、逆向使用公式等数学思想,提高学生的推理能力。 ②理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三 角恒等变形在数学中的应用。 学习三角变换的内容、 思路和方法, 在与代数变换相比较中, 体会三角变换的特点,提高推理、运算能力。 2、过程与方法:通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成 对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换 元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 3、情感,态度与价值观:通过课题背景的设计,增强学生的应用意识,激发学生的学习积极 性。 二、教学重点与难点 教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,推导半角公式、积化和差、和差化积 公式。 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提 高从整体上把握变换过程的能力。 三、教学法与课时安排:探究法与自主学习,1 课时 四、教学过程 1、复习公式:
cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
t an?? ? ? ? ? t an? ? t an ? 1 ? t an? t an ?

c o ?s ? ? ? ? c o ? c o ? ? s i n s i n ? s s ? ?

?? s i n ? ??? s i n c o ? ?c o?s i n ? s s ?
t a ?? ? ? ? ? n t a? ?t an n ? 1? t a ? t a n n ?

sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

公式变形:

sin ? cos ? ?

1 sin 2? 2
sin 2 ? ?
21

2 sin 2 ? ? 1 ? cos2? ←——→

1 ? cos 2? 2
1 ? cos 2? 2

cos ? ?
2

2 cos2 ? ? 1 ? cos2? ←——→
2、例 1:试以 cos? 表示 sin 2

?
2

, cos 2

?
2

, tan 2

?
2



【设计意图】 :在熟练掌握倍角公式的基础上,理解角的倍、半间的相对性,提高学生的公式 变换能力,培养学生运用方程思想、换元思想解决数学问题的能力。 【师生活动】 :教师——出示问题,让学生自主探究,教师重在引导学生分析角的倍、半间的 关系。并注意从一般思路引导:要用一个表示另一个,如果能找到它们之间的一个关系式, 那么根据方程思想,问题差不多就可以得到解决了。 师生——教师重点提出 2?是? 的倍角, ?与 进一步引导学生从 ?与 角式之间的关系:

?
2

是什么关系?—— ?是

?
2

的倍角。

?
2

之间的关系出发思考 cos ?与 sin 2

?
2

的关系,从而建立这两个三

? ? ?? cos? ? cos? 2 ? ? ? 1 ? 2 sin 2 ,由此利用方程思想即可解出想要的关系。 2? 2 ?
教师——也可从代换的角度直接从倍角公式出发变形得到: 在倍角公式 cos2? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 中以 ?代替2? , 即刻得到用 cos ?表示 sin 2
2 解:由 sin ? ?

?
2

代替 ? ,然后进行变形,

?
2

, 2 cos

?
2

的结论,利用同角三角函数间的关系求得 tan 2

? 。 2

1 ? cos 2? ? 1 ? cos ? ,可以得到 sin 2 ? ; 2 2 2

由cos 2 ? ?
2?

1 ? cos 2? ? 1 ? cos ? ,可以得到 cos 2 ? . 2 2 2
? 2 ? 1 ? cos ? . ? 1 ? cos ? cos 2 2 sin 2

?

所以 tan

2

总结:掌握各个公式的推导过程,是理解和运用公式的首要环节,熟练地运用公式进行升幂 和降幂。 3、思考: (1)已知 cos? ,如何求 sin

?
2

, cos

?
2

, tan

?
2

?

(2)代数式变换与三角变换有什么不同呢?
22

【设计意图】 :思考(1)重点培养学生的灵活运用公式的能力,从而引入半角公式,增强学 生对三角公式的进一步理解;思考(2)主要引导学生对“所包含的角,以及这些角的三角函 数种类的差异”对三角变换的影响进行认识,从而使学生更好地把握三角恒等变换的特点。 【师生活动】 :教师——提出问题,进行巡视 学生——自主思考,写出结论

sin

?
2

??

1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ; cos ? ? ; tan ? ? 2 2 2 2 1 ? cos?

教师——上述公式称为半角公式,让学生思考“ ? ”如何选取? 学生——自主探究,相互交流。 教师——进行总结, ? ”号由 “

?
2

所在象限决定。

师生——对第二个问题的思考,通过师生共同分析得出:代数式变换往往着眼于式子结构形 式的变换;对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会 有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式 子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒 等变换的重要特点。 4、变式训练: 求证: tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos ? ? (教科书 P142 练习第 1 题) 1 ? cos ? sin ?

cos 【设计意图】 变式训练给出了 sin ?、 ?与 tan :

?
2

的关系式, 是对例 1 结论的进一步理解和延

伸。 【师生活动】 :师生——安排学生黑板板书,其他学生自主探究,根据解题情况共同点评,总 结规律。

解:方法一:

sin ? ? 1 ? cos?

2 sin

?
2

cos

?
2 ?

2 cos2

?
2

2 ? tan ? ? 2 cos 2

sin

?

23

1 ? cos? ? sin ?

2 sin 2 2 sin

?
2

?
2
?

cos
sin cos

?
2

?

2 ? tan ? ? 2 cos 2
sin cos

sin

?

方法二: tan

?
2

? ?
2 ? 2

? ?
2 2

? 2 cos ? 2 cos

? ?
2 ? 2

sin ? 1 ? cos?

tan

?
2

?

sin

? ?
2 ? 2

cos

2 ? 1 ? cos? ? ? sin ? cos ? 2 sin 2 2 2

sin

?

? 2 sin

?

5、例 2:求证: (1) sin ? cos ? ? 、
1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ; ? 2?

(2) sin ? ? sin ? ? 2sin 、

? ??
2

cos

? ??
2



【设计意图】 本例引出的和差化积和积化和差公式, : 有其结构上的同构特点, 反映了角 ?、?

? ?? 的三角函数与角 ? ? ?, 的三角函数间的内在联系。另外,两式之间又反映了由角 2

?、?与?、? 建立的转换关系,这体现了数学上的对应转换即映射反演的思想方法。
【师生活动】 :教师——出示题目,让学生自主探究。 学生——自主分析,对于(1)式可能得出如下问题思路:从等式左式不好下手,但从右式出 发容易变形,利用和(差)的正弦公式展开、合并,从而得出左式。 教师——对学生的上述思路给予充分的肯定,这是证明三角恒等式的基本方法,引导学生进 一步思考其他方法:哪些公式中包含 sin ? cos? 呢? 学生——在和(差)角的正弦公式中,涉及 sin ? cos? 式。 师生——在和(差)角的正弦公式中,把 sin ? cos ?和cos? sin ? 作为未知数, ,通过解二元一 次方程组,即可得到结果。 教师——进行总结:①此结论证明运用了方程(组)思想。②分析式子左右两边的特点可以 看出,左边是积的形式,右边是和、差的形式,所以习惯上称此公式为积化和差公式,类似 地可以求出 cos? sin ? , cos? cos ? , sin ? sin ? 。接着提出如何证明(2)式? 学生——从右式出发变形,利用和(差)的正弦公式展开、合并,从而得出左式。
24

教师——对学生的上述思路给予充分的肯定, 引导学生进一步思考, 在证明 (2) 式的过程中, 可否利(1)式的结果?可以提示学生分析所证的两个式子左右两边在结构形式上有什么不 同? ※ 说明:这种设问,能更好的发挥本例的教育功能,把两个三角式结构形式上的不同点作为 思考的出发点,并在建立它们之间的联系进而消除不同点上下功夫,这样不仅有利于深化 对和(差)角公式的理解,而且还有利于本例的两个小题的内在联系的认识。 学生——只要令 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? , (2)式就转化为(1)式了。 教师——如此一来,这两个式子也就没有什么本质区别了,运用换元的思想可直接由(1)导 出(2) ,请同学们动手演练一下。 学生——自主探究,动手演练。 ※ 说明:通过分析公式特点指出,此公式称为和差化积公式,类似地可以求出
sin ? ? sin ? , cos? ? cos? , cos? ? cos? 。

证明: (方法一) ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? , sin?? ? ? ? ? sin ? cos? ? cos? sin ? (1) : 两式相加得 2sin? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ; 即 sin ? cos ? ?
1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? . ? 2?

(方法二) :令 sin ? cos ? ? x, cos? sin ? ? y ,
1 ? ?? ?? ? x ? 2 ?s i n ? ? ? ? s i n ? ? ?? ? ?? ? y ? 1 ?s i n ? ? ? ? s i n ? ? ?? ?? ?? ? 2 ?

? x ? y ? sin ?? ? ? ? 则 ? ? x ? y ? sin ?? ? ? ?

即 sin ? cos ? ?

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? . ? 2?

(2) (方法一)原式 ? 2[sin ? cos ? ? cos? sin ? ][cos? cos ? ? sin ? sin ? ] : 2 2 2 2 2 2 2 2

? 2(sin cos cos2 ? cos2 sin cos ? sin 2 sin cos ? cos sin sin 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 sin ? 2 sin

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

cos (cos2 ? sin 2 ) ? 2 sin cos (cos2 ? sin 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2

? ?

?

?

?

?

?

?

cos ? 2 sin cos 2 2 2 2 ? sin ? ? sin ?
25

?

?

(方法二) :

?

? ??
2

?

? ??
2

? ?,

? ??
2
? ?.

?

? ??
2

? ?,

?令

? ??
2

? ?,

? ??
2

由(1)得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin? cos ? ①; 把 ? , ? 的值代入①式中得 sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2



2 cos 6、变式训练:已知 sin ? ? cos? ? 2 sin ? , sin ? cos? ? sin 2 ? , 求证: 2? ? cos2? .
【设计意图】 :巩固三角公式,掌握运用三角公式进行恒等变形的常用方法,提高学生的综合 解题能力。 【师生活动】 :师生——学生自主探究,教师根据巡视情况指定具有典型思路的学生上黑板板 书。教师进行点评,总结解题方法。 证明: (方法一) ? cos2? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2? ? 2 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 ? 4 sin 2 ? : 将 sin ? ? cos ? ? 2 sin ? 代入:
2 2 cos2? ? 2 ? ?sin ? ? cos? ? ? 2 ? sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? cos2 ? ? 1 ? 2 sin ? cos ?

?

?

?

?

又? sin ? cos? ? sin 2 ? ,

? 2 cos2? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? cos2?

(方法二) ? sin ? ? cos? ? 2 sin ? , sin ? cos? ? sin 2 ? , : 又? ?sin ? ? cos? ?2 ? 1 ? 2 sin ? cos? ? 1 ? 2 sin 2 ? ,

? 4 sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ,
?4 ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ? 1? 2 ? , 2 2

? 2?1 ? cos2? ? ? 1 ? ?1 ? cos2? ? ,
? 2 cos2? ? cos2? .

总结:证明条件三角恒等式要注意观察条件和所要证的等式中角、三角函数名称、运算等方 面 的 关 系 。 方 法 一 用 代 入 法 把 ?化成? , 再 把 ?化成? ; 方 法 二 中 利 用 恒 等 式

?sin ? ? cos? ?2 ? 1 ? 2 sin ? cos? 消去条件中 sin ? cos ? 的方法,即消元法,这是三角变换中常用
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的方法。

五、课堂小结 【设计意图】 :通过总结,把学习的三角恒等变换知识进一步归类,使知识系统化,培养学生 的综合分析问题的能力。 【师生活动】 :师生——总结本节涉及的思路和方法: (1)三角函数式的化简常用方法: ①直接应用公式进行降次、消项; ②化切为弦,异名化同名; ③ 三角公式的逆用等。 (2)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左 右同一等方法,使等式两端化“异”为“同” 。 六、作业:教科书 P 习题 3.2A 组第 1、2、3 题
3 ? 备选练习:已知 sin 2? ? ,0 ? 2? ? ,求 5 2

2 cos2

?
2

? sin ? ? 1

?? ? 2 sin ?? ? ? 4? ?

的值。

解: sin 2? ? ?

3 ? 4 ,0 ? 2? ? ,? cos 2? ? 5 2 5
2

原式 ?

?cos? ? sin ? ? 1 ? cos? ? sin ? ? 1 cos? ? sin ? 1 ? sin 2? 1 ? ? ? ? ?? cos? ? sin ? ?cos? ? sin ? ??cos? ? sin ? ? cos2? 2 ? 2 sin?? ? ? 4? ?
简单的三角恒等变换

七、板书设计

1 sin ? cos ? ? sin 2? 2

1 2 cos ? 1 ? cos2? ? ? sin 22? ←——→ sin 2 ? ? 2 1 ? cos 2? cos 2 ? ? ←——→ 1 ? cos2? ? 2 cos2 ? 2

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八、 《简单的三角恒等变换》教学反思 本节课的主要内容是推导半角公式与和差化积、积化和差公式。半角公式推导过程中主 要是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值,教学过程主要是引导学生重点观察余 弦的二倍角公式,掌握角的倍、半间关系,不断培养学生的观察能力、灵活运用能力;和差 化积、积化和差公式的推导,教学中要引导学生观察式子的结构,联系两角和(差)的正弦 公式,重点突出换元的思想、化归的思想、方程的思想等。最后,通过引导学生比较所证明 的公式,找出异同点,加深记忆,通过总结证明公式的过程,不断提高利用三角变换进行三 角函数式的求值、化简、证明的能力。

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