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高二人教B版数学选修1-1同步练习3-2-1~3-2-2常数与幂函数的导数 导数公式表]


选修 1-2
一、选择题

3.2.1~3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表

1 1.抛物线 y= x2 在点(2,1)处的切线方程是( 4 A.x-y-1=0 B.x+y-3=0 C.x-y+1=0 D.x+y-1=0 [答案] A 1 1 [解析] ∵y′= x,y′|x=2= ×2=1, 2 2 1 ∴抛物线 y=

x2 在点(2,1)处的切线斜率为 1, 4 方程为 x-y-1=0.

)

2.若 y=lnx,则其图象在 x=2 处的切线斜率是( A.1 B.0 C.2 1 D. 2 [答案] D

)

1 1 1 [解析] ∵y′= ,∴y′|x=2= ,故图象在 x=2 处的切线斜率为 . x 2 2 3.若 y=sinx,则 y′|x=π=(
3

)

1 A. 2 1 B.- 2 C. 3 2 3 2

D.-

[答案] A π 1 [解析] y′=cosx,y′|x=π=cos = . 3 2 3

4. lim →

Δx 0

(1+Δx)2-1 表示( Δx

)

A.曲线 y=x2 的斜率 B.曲线 y=x2 在点(1,1)处的斜率 C.曲线 y=-x2 的斜率 D.曲线 y=-x2 在(1,-1)处的斜率 [答案] B [解析] 由导数的意义可知, lim → 2π 5.若 y=cos ,则 y′=( 3 A.- 3 2 )
Δx 0

(1+Δx)2-1 表示曲线 y=x2 在点(1,1)处的斜率. Δx

1 B.- 2 C.0 1 D. 2 [答案] C [解析] 常数函数的导数为 0. 6.下列命题中正确的是( )

①若 f′(x)=cosx,则 f(x)=sinx ②若 f′(x)=0,则 f(x)=1 ③若 f(x)=sinx,则 f′(x)=cosx A.① B.② C.③ D.①②③ [答案] C [解析] 当 f(x)=sinx+1 时,f′(x)=cosx, 当 f(x)=2 时,f′(x)=0. 1 7.正弦函数 y=sinx 上切线斜率等于 的点为( 2 π 3 A.( , ) 3 2 π 3 π 3 B.(- ,- )或( , ) 3 2 3 2 )

π 3 C.(2kπ+ , )(k∈Z) 3 2 π 3 π 3 D.(2kπ- ,- )或(2kπ+ , )(k∈Z) 3 2 3 2 [答案] D 1 π π [解析] 由(sinx)′=cosx= 得 x=2kπ- 或 x=2kπ+ (k∈Z). 2 3 3 π 3 π 3 所以切点坐标为(2kπ- ,- )或(2kπ+ , )(k∈Z). 3 2 3 2 8.给出下列函数 (1)y=(sinx)′+(cosx)′ (2)y=(sinx)′+cosx (3)y=sinx+(cosx)′ (4)y=(sinx)′· (cosx)′ )

其中值域不是[- 2, 2]的函数有多少个( A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] C [解析] (1)y=(sinx)′+(cosx)′ =cosx-sinx∈[- 2, 2]. (2)y=(sinx)′+cosx=2cosx∈[-2,2]. (3)y=sinx+(cosx)′=sinx-sinx=0. (4)y=(sinx)′· (cosx)′=cosx· (-sinx) 1 1 1 - , ?. =- sin2x∈? ? 2 2? 2 9.下列结论正确的是( )

A.若 y=cosx,则 y′=sinx B.若 y=sinx,则 y′=-cosx 1 1 C.若 y= ,则 y′=- 2 x x D.若 y= x,则 y′= [答案] C
1 1 1-1 1 [解析] ∵(cosx)′=-sinx,(sinx)′=cosx,( x)′=(x2)′= · x2 = ,∴A、B、 2 2 x

x 2

1? 1 -1 -1-1 D 均不正确.而? ?x?′=(x )′=-1×x =-x2,故 C 正确.

10.已知 f(x)=x3,则 f(x)的斜率为 1 的切线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.不能确定 [答案] B

)

3 2 3 2 2 [解析] 设切点为(x0,x3 0),由(x )′=3x 得在(x0,x0)处的切线斜率为 3x0,由 3x0=1 得

3 3 3 3 3 x0=± ,故切点为? , ?或?- ,- ?,所以有 2 条. 3 9? ? 3 9? ?3 二、填空题 11.若函数 y=cost,则 y′|t=6π=____________. [答案] 0 [解析] y′=(cost)′=-sint,y′|t=6π=-sin6π=0. 12.曲线 y=lnx 与 x 轴交点处的切线方程是____________________________. [答案] y=x-1 [解析] ∵曲线 y=lnx 与 x 轴的交点为(1,0) ∴y′|x=1=1,切线的斜率为 1, 所求切线方程为:y=x-1. 5 13.函数 f(x)= x3,则 f′(x)=________. [答案] 3 -2 x 5 5

3 3 -2 5 [解析] ∵f(x)= x3=x5,∴f′(x)= x 5. 5

14.曲线 y=2x4+3x 的斜率等于-5 的切线的方程为____________. [答案] 5x+y+6=0 [解析] y′=8x3+3,令 8x3+3=-5, ∴x=-1,y=-1, ∴切点为(-1,-1),切线方程为 5x+y+6=0. 三、解答题 π 1 15.求曲线 y=sinx 在点 A( , )的切线方程. 6 2 [解析] ∵y=sinx,∴y′=cosx, π π 3 3 ∴y′|x= =cos = ,∴k= . 6 6 2 2

1 3 π ∴切线方程为 y- = (x- ), 2 2 6 化简得 6 3x-12y+6- 3π=0. 1 7 16.求抛物线 y= x2 过点(4, )的切线方程. 4 4 7? 1 2 [解析] ∵点? ?4,4?不在抛物线 y=4x 上, ∴设切点为(x0,y0), 1 由题意,得切线的斜率为 k=y′|x=x0= x0, 2 7 1 切线方程为 y- = x0(x-4), 4 2 又点(x0,y0)在切线上, 7 1 ∴y0- = x0(x0-4), 4 2 1 1 2 又点(x0,y0)又在抛物线 y= x2 上,∴y0= x0 , 4 4 1 7 1 ∴ x2 - = x2-2x0,解得 x0=1 或 7, 4 0 4 2 0 1? ? 49? ∴切点为? ?1,4?或?7, 4 ?, 所求的切线方程为:2x-4y-1=0 或 14x-4y-49=0. 17.设点 P 是 y=ex 上任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最短距离. [解析] 根据题意得,平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=ex 相切的 切点为 P,该切点即为与 y=x 距离最近的点,如图,即求在曲线 y=ex 上斜率为 1 的切线,由导数的几何意义可求解. 令 P(x0,y0),∵y′=(ex)′=ex, ∴由题意得 ex0=1,得 x0=0, 代入 y=ex,y0=1,即 P(0,1). 利用点到直线的距离公式得最短距离为 2 . 2

18.(2010· 陕西文,21(1))已知函数 f(x)= x,g(x)=alnx,a∈R. 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值和该切线方程. [解析] 本题考查导数的几何意义,利用导数求函数的最值和证明不等式等基础知识, 考查推理论证能力和分析问题及解决问题的能力. 1 a f′(x)= ,g′(x)= (x>0), x 2 x

x=alnx, ? ? e 由已知得? 1 解得 a= ,x=e2, a 2 = , ? ?2 x x 1 ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为 k=f′(e2)= , 2e 1 2 ∴切线的方程为 y-e= (x-e ). 2e


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