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三角函数知识点讲练论文


三角函数高考常考知识点及解题策略 随着高考改革的不但深入,三角函数部分考查知识点比较全面,由原来单一知识的考 查向着知识交汇考查在不但推进, 知识的灵活性和难度有逐年提高的趋势, 现就将三角函数 部分高考常考知识点及解题策略总结如下,供备考同学们参考使用。 知识点一: 角的概念及任意角的三角函数 例题 1: (2014· 新课标全国卷Ⅰ)如图 11,圆 O 的半径为 1,A 是圆

上的定点,P 是圆上的 动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将 点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图像大致为( )

A

B

C

D

1 解析:根据三角函数的定义,点 M(cos x,0),△OPM 的面积为 |sin xcos x|, 2 在直角三角形 OPM 中,根据等积关系得点 M 到直线 OP 的距离,即 f(x) π 1 =|sin xcos x|= |sin 2x|,且当 x= 时上述关系也成立, 故函数 f(x)的图像 2 2 为选项 C 中的图像. 解题策略:角的概念及任意角的三角函数主要考查三角函数的坐标表示和三角函数的定义 式,只要准确用三角函数来表示点的坐标,然后用几何量表示其它关系,解决这部分知识就 显得得心应手。 知识点二: 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1 例题 2:[2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π (1)若 0<α< ,且 sin 2

? = 2 ,求 f(α)的值;(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.
?- = . ? = 2 ,所以 cos ? = 2 .所以 f(α)= 2 ×? ?2+2? 2 2
2 2 2 2 2 1 1

2

π 解析:(1)因为 0<α< ,sin 2

1+cos 2x 1 1 1 1 1 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos2x- = sin 2x+ - = sin 2x+ cos 2x 2 2 2 2 2 2 = 2π π 2 ? sin 2x+ ?,所以 T= =π . 2 2 4? ?

π π π 3π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 4 2 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 解题策略: 同角三角函数基本关系式与诱导公式主要是平方关系和商数关系, 诱导公式主要 记住奇变偶不变符号看象限这句口诀,在基本关系式中注意由角的象限确定根式前的正负 号,从而解决好其它一些问题。 知识点三:三角函数的图象与性质。 π π 例题 3:[2014· 辽宁卷] 将函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度,所得图像对 2 3? ? 应的函数( ) π 7π π 7π A.在区间? , ?上单调递减 B.在区间? , ?上单调递增 12 12 ? ? ?12 12 ?

π π π π C.在区间?- , ?上单调递减 D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3? ? 6 3? π π 解析 : 由题可知,将函数 y = 3sin ?2x+ ? 的图像向右平移 个单位长度得到函数 y = 2 3? ? 2 π π π 7π 2 2x- π ?的图像,令- +2kπ ≤2x- π ≤ +2kπ ,k∈Z,即 +kπ ≤x≤ 3sin? +k 3 ? ? 2 3 2 12 12 2 ? π , k∈Z 时 , 函 数 单 调 递 增 , 即 函 数 y = 3sin ? ?2x-3π ? 的 单 调 递 增 区 间 为 ?π +kπ ,7π +kπ ?,k∈Z,可知当 k=0 时,函数在区间?π ,7π ?上单调递增. 12 ?12 ? ?12 12 ? 解题策略: 三角函数图像与性质知识点主要有图像平移问题、 由图像确定解析式及由解析式 确定图像,性质方面主要有单调性、奇偶性、周期性和最值。解决这类问题的关键就是掌握 平移规律、五点法作图、单调增减区间,及周期公式,取最值条件和公式,掌握这些方面是 解决三角函数图像和性质的关键所在。 知识点四:两角和与差的正弦、余弦、正切。 π π 例题 4. [2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设 α∈?0, ?, β∈?0, ?, 且 tan 2? 2? ? ? π A.3 ? -β= 2 π π B.3 ? +β= C.2 ? -β= 2 2 则( ? = cos β , 1+sin β )

π D.2 ? +β = 2

[解析] tan

?

β 1+tan 2 1+sin β π β = = = = =tan? + ?,因为β 4 2? ? cos β β β β β β cos2 -sin2 cos -sin 1-tan 2 2 2 2 2

?cosβ +sinβ ? cosβ +sin β 2? 2 2 ? 2

π β π π π π ∈?0, ?, 所以 + ∈? , ?, 又 α∈?0, ?且 tan 4 2 ?4 2? 2? 2? ? ? π 即 2 ? -β= .答案:C。 2

? 所以 α= + , ? =tan? 4 2 ? 4 +2?,
β β

π

π

解题策略:在解决二角和与差的弦与切的问题时,正用和逆用公式、角的重新组合等是常用 方法,同时注意角的范围,切化弦、弦化切。全国新课标这道题考察得很典型。 知识点五: 三角函数的求值、化简与证明 例 题 5.[2014· 江 西 卷 ] 已 知 函 数 f(x) = sin(x + θ ) + acos(x + 2θ) , 其 中 a∈R , θ ∈ ?-π ,π ?.(1)当 a= 2,θ=π 时,求 f(x)在区间[0,π ]上的最大值与最小值; 4 ? 2 2? π (2)若 f? ?=0,f(π )=1,求 a,θ 的值. ?2? π π 2 2 2 解析:(1)f(x)=sin?x+ ?+ 2cos?x+ ?= (sin x+cos x)- 2sin x= cos x- sin x= 2 2 ? 4? ? 2? 2 π π 3π π sin? -x?. 因为 x∈[0,π ],所以 -x∈?- , ?, 4 4? ?4 ? ? 4 故 f(x)在区间[0,π ]上的最大值为 2 ,最小值为-1. 2

π ? ? ?f? ?=0, ?cos θ (1-2asin θ )=0, π π ? (2)由? 2 ? 得? 又 θ∈?- , ?,知 cos θ ≠0, 2 2 2? ? ?2asin θ -sin θ -a=1. ? ? ?f(π )=1, a=-1, ? ? ? ?1-2asin θ =0, 所以? 解得? π ? ?(2asin θ -1)sin θ -a=1, ? ?θ=- 6 .

解题策略:三角函数的求值化简与证明,要注意取得最值情况,化简与证明的一般规律是切 化弦,高次降幂, “1”的妙用以及合理使用二倍角公式消常数化半角等一些常用规律。 知识点六:解三角形。 例题 6.[2014· 安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c π =1,A=2B.(1)求 a 的值;(2)求 sin?A+ ?的值. 4? ? a2+c2-b2 解析: (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B,由余弦定理得 cos B= = 2ac a2+c2-b2 sin A ,所以由正弦定理可得 a=2b· .因为 b=3,c=1,所以 a2=12,即 a=2 2sin B 2ac 3.

b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cos A = = =- . 因为 0<A< π ,所以 sin A = 2bc 6 3 1-cos2A= 1 2 2 1- = . 9 3

π π 2 2 1 π 2 2 4- 2 - ?× = 故 sin?A+ ?=sin Acos +cos Asin = × +? . 4 4 3 2 ? 3? 2 6 4? ? 解题策略:解与三角形有关的三角函数问题,往往通过正余弦定理求边或者求角,正余弦定 理能够实现边角互化,在求角时要注意由三角函数值准确确定角,在 0- ? 范围找,此时一 般求余弦。 总之, 随着高考的不但推进, 三角函数部分考查由原来的单一知识的考查向着知识交汇考察 推进,向着章节整合方面考察,一般由求值伴随着化简,由平移伴随着图像问题,由求最值 伴随着三角函数式的化简, 解三角形伴随着正余弦定理求边求角等一系列问题, 这些方面的 改进也是以后高考的方向。应该引起我们备考同学的注意。


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