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一道向量题的巧解及变式


?

辅教 导学 ?  

数 学 通 讯 —— 2 O 1 3 年第 7 、 8期 ( 上半月)  

1 7  



道 向量题的巧解及变式 
胡芳举  
( 湖 南 省 桃 江 县 第 一 中学 ,4 1 3 4 0 0 )  

在 一些 复 习资料 上 , 有 下 面这 道 向量 题 :  
例 题  如 图 1 , 已知 0 是 
/ X AB C 的外 心 , AB一 2 , A C一 

. 



l  

I .( I  

l   c o s LO AC)  



  I

I . t  
.  
+ 

I 一   .  

3 , 若 

一z  

+ 

(   ≠ 

同理 可得 :  
又 
. 

一 2 .  
, 所 以 
.   +  ,   z ,  

O ) , z+ 2 y一 1 , 则 c o s LB AC  

一  
一  

z + 
.  

该题 新颖 别致 , 耐人寻味,   本文 将给 出该题 的一个 巧 解 以 
及 四个变 式.  

? 



 

图 1  

即 

4 x+ 
. 

?  

一2  

①  ② 

先 给 出例 题 的解答 .   解  取 A C的 中点 D, 则O D 上 AC, 且 AD 一 


+9  :   得 

由① ×   3+ ②
,   = 2   .  


由 

一z   + 

得  一 

+2  

,  

( 6   + 9 y ) + (   + 导   )  ?  一 萼 ,  
即 3 ( 2 z + 3   ) + 告 ( 2 z + 3   )  .  = 萼 ,  
又 2 z+ 3   3 , 一 2 , 所以 6 +  .   一  , 所 

又  +2 y一 1 , 所 以 B、 0、 D 三点 共线 , 所 以B D 上 

A D , 所 以 c o s L B A C 一  一 丢 .  
下 面再 给 出该题 的 四个 变 式.  

变式 1   如图 2 , 已知 I是 
AAB C 的内心 , A B 一2 , AC 一 

以   .   一要 .  
D  
图 2  

3 , 若  =z   +y A - - g, x  ̄2 y  
一  

1 ,  
. 

则  c 0 s LB AC  A  

c  

所  s   c 一  
A C= 3 , 若 
A CB 一
— —

一 { .  
, 4 x+ 9  一 8 , 则 



 

变式 3   已知 O是 / X A BC 的外 心 , A B一2 ,   一z  
. 

解  取A c的中点D, 则由A A - I —z   +  
得  一 z   +2 y   , 又 X+2 y一 1 , 所 以 B、 I 、  

+ 

D三 点共 线 , 所以 B D 是  A BC的平 分线 , 也 是边  AC的中线 , ] J  ̄ r D A   B D_ J _ A C, 所以 c 。 s  B Ac一 

解  同变式 2 , 可得 :  
.  一

2,  

.  

一 

,  

又 


一 

+ 
.  

, 所 以 
+ Y   .  

旦 
4’  

z— z 


变式 2   已知 0是 AA B C 的 外心 , AB 一 2 ,  

2 x + 号   = 专 ( 4   + 9   ) 一   1 × 8 — 4 ,  
l =2 .  
S l n乙  

AC 一 3 , 若  一 
C OS   BA C 一
— —

+ 
.  

, 2 x+ 3 y一 2 , 则 

所 以 AA BC的外接 圆 的半径 R — l  
在 AA B C中, 由正 弦定理 得 
. , 1 

解  ( 可参考 图 1 ) 取 AC 的中点 D, 则O D 上 

一 2 R, 所 以 

A C , M   A D 一 号 , 所 以  

AB 
一 

】  
‘  

m 【 /一 

1 8  

数 学 通 讯— — 2 O 1 3年 第 7 、 8期 ( 上半月)  

?辅 教 导学 ?  

又A B <A C , 所 以C <B , 所 以C  詈 ?  
变式 4   已知 I 是 AA B C 的 内心 ( 可 参考 图  2 ) , A B:2 , A C= 3 , 若  一 z   3 y— T n , 求 m 的取 值范 围 .  
解  因为 A 平 分  B AC, 所 以可设 
= 一

亩 一 c 2 一  . 孚+ 詈. 重 a  
一  

+  a T n ?  

. 

+3 ,   , 2  +  而B   平 分  A Bc, 所 以2 一  一 a 6, m 解得 口  
1 2  
一  
. 

+  
又  =  + 

一 号  + 告  .  
, 所 以 

根 据 三角形 任意 两边之 和大 于第三 边 , 得:  
2+ 3> 兰 1   9  


+   A - - g = 軎  + 告  ,  
( 1 2


5> 0,  

所以  =鲁 , Y 一   3 .  
代入 2 x+3 y—  得 一  m, 所 以  一  , 3 ,  


5 )+ 2> 3 ,  

解 侍7 5<  < 2
. 

以上 四个 变式都 不 容易 , 四道题 , 四种 不 同 的 

詈 ,  =  

+ 詈  , 即  

巧妙解 法 , 充分 体现 了这类题 型 的灵活 多变 .   ( 收稿 日期 : 2 0 1 3 —0 3 —2 4 )  

亩一 葫一  ( 一 萌) + 詈 (  一 - S  ̄ -,  
设 B C= a , 整 理 得 



个轨 迹 问题 的合 情探 索 与合 理求 解 
陈传熙  
( 浙 江 省 玉 环 县 玉 城 中学 , 3 1 7 6 0 0 )  

在 学 习“ 解析几 何初 步”中“ 圆与 方程 ” 的过程 

到Q   , Q2 ,   这 三个点 ( 如 

中, 学生 们碰 到 了一 个轨 迹 问题.   问题  已知 圆的方程 为 


图2 ) , 凭 着 直 觉 可 以猜 想 
. y   J   l  
‘ 

,  

顶 点 Q的 轨迹 应 该是 以 0 
为 圆心 的一个 圆.   在猜想 的基 础上 , 我 
一  

Q  
~  

2 7   + Y 。=  ,圆 内有 定 点  P( a , 6 ) , 圆 周 上 有 两 个 动 点 

A, B, 使 P A上P B, 求 矩 形  AP B Q 的 顶 点 Q 的 轨 迹 
方程 .  
  .

们 的解 题 目标 就 比较 明 确 


  .

j  

, 

 



了, 只要 求 出 ∞ 的 长 度 ,  

或 者求 出 ∞ 。的值 , 当然 ,  
只能用 r , a , b 或者 r , 0P来 
表 示.  

图2  

探索 1   对 于 轨 迹 类 的 
图1   问题 , 我 们 的一 般 想 法 是 先  利用 图形 进行探 求 , 比如 画 出几个 符 合 条件 的点 ,  

联 系题 设 中垂 直 的 因素 与 圆的 几 何 性 质 , 我 

再观 察这几 个 点 的位 置排 列 , 然 后猜 想其 轨迹 。  
在 图 1中 , 我们 可 以 按 照 条件 改 变 A, B 两点  的位 置 , 然 后 观察所 得 到相应 的几 个 点 Q 的位 置 ,  

们 尝试作 高并 利用 勾股定 理来求 解.   解法 1   如图 3 , 过 O作 0N 上 A Q 于点 N , 交 
P B 于点 M , 连 0 Q.  

进而 作 出猜想 . 当然 , 考虑到条件 P A上P B 的特  l
殊性 , 我们也 可 以利 用 直 线 P A, P B 进 行作 图 , l 得 

由勾 股定理 , 得 ∞ 。一 O N + NQ   .   易知 N Q = MB, 连 0B, 则 N Q。=  。一 


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