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2014高二下学期期末考试数学试题卷(理科)


2014 年重庆一中高 2015 级高二下期期末考试 数 学 试 题 卷(理科)2014.7
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1、已知 a

, b 是实数,设是虚数单位,若 a ? i ? A、 2 ? i B、 2 ? i

bi 则复数 a ? bi 是( ) 1? i C、 1 ? 2i D、 1 ? 2i


2、已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ,且 P(X<2c+1)=P(X>c+5),则 c=( A、 ?

4 3

B、 ? 1

C 、0

D、4

3、若 p 是 q 的必要条件,s 是 q 的充分条件,那么下列推理一定正确的是( p ? ? s s? ? p p ? ? s A、 ? B、 ? C、 ? D、 p ?s



4、在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,A A1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离为( A、



3 4

B、

3 2

C、

3 3 4

D、 3

5、 (3 x ? A、-40

2 x

) 5 的展开式中常数项为(
B、-10

) C、10 D、40

6、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积为( )

A、2 3 ?
3

B、4 2 ?
2

C、4 3 ?

D、12 ? )

7、函数 f() 在区间 ( x? ? x? 3 x a? 1 2 ,a )上有最小值,则实数 a 的取值范围是( A、 (?1, 11) 8、椭圆 C: B、 (?1,2) C、 (?1,2] D、 (1, 4)

2 2 x y ? ? 1 ( a? b? 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 2 2 a b

第1页

?FF 1 2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率取值范围是(
A、 ( , )

) D、 ( , )

1 2 3 3

B、 (

1 ,1 ) 2

C、 (

2 ,1 ) 3

1 1 3 2

1 ( ,1) 2

9、现安排甲乙丙丁戊 5 名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表,要求甲不当语文 课代表,乙不当数学课代表,若丙当物理课代表则丁必须当化学课代表,则不同的选法共有多少种( ) A、53 B、67 C、85 D、91
2 2 2 10、已知实数 a, b, c 满足 a 且 a? b? c, 不等式 ln(a ? 2a) ? a ? M 恒成 ? b ? c ? 2 , a ? b ? c ? 4 ,
2

立,则 M 的最大值是 (

)

A、

ln

40 4 ? 9 3

B、

ln

16 2 ? 9 3

C、 ln(8 ? 4 2 ) ? 2 2

D、 ln 8 ? 2

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答题卡相应位置 上。 11、设集合 A={(x,y)|

x2 y2 ? =1 },B={(x,y)|y= 2 x },则 A∩B 的子集的个数是_______ 4 16
? ad ? bc ,若

12、在 R 上定义运算

a c b d

x

3

?x x

?

2 0 1 2

成立,则 x 的集合是_________

3 13、函数 f 在 (1, 2) 内单增, a 的取值范围是 ( x ) ? l o g ( x ? a x ? 1 ) ( aa ? 0 ,? 1 ) a

考生注意:14、15、16 为选做题,请从中任选两题作答,若 按前两题给分。 14、.如图,过点 P 作圆 O 的割线 PBA 与切线 PE, E 为切点,连接 AE,BE,∠APE 的平分线分别与 AE、BE 相交于 C、D,若∠AEB= 40 ? ,则∠PCE 等于 15、直线 l : ? . E

三题全做,则 P B D C A

?x ? t cos? ? ? ? (为参数, ? ? ? )与圆 ??2 2sin( ?? )( ? 为参数)相交所得的弦 4 3 4 ?y ?1?t sin?
.
2

长的取值范围是

16、已知函数 f (x)=|x-2|-|x-5|,则不等式 f (x)≥x -8x+15 的解集为________. 三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

? m ? x ? 1 ? m 17、(13 分)已知命题 p:(x+1)(x-5)≤0,命题 q: 1
(1)若 p 是 q 的必要条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=5, “ p ? q ”为真命题, “ p ? q ”为假命题,求实数 x 的取值范围。

第2页

18、(13 分)为了应对新疆暴力恐怖活动,重庆市警方从武警训练基地 挑 选 反恐警察,从体能、射击、反应三项指标进行检测,如果这三项中至 少 有 两项通过即可入选.假定某基地有 4 名武警战士(分别记为 A 、 B 、 C 、 D )拟参加挑选,且每人能通过 体能、射击、爆破的概率分别为

2 2 1 , , .这三项测试能否通过相互之间没有影响. 3 3 2

(1)求 A 能够入选的概率;

(2)规定:按入选人数得训练经费,每入选 1 人,则相应的训练基地得到 5000 元的训练经费,求该 基地得到训练经费的分布列与数学期望(期望精确到个位) .

? ABCD 19、(13 分)如图,在四棱锥 E 中,底面 A B C D为正方

B A

形,AE?平面

CDE,已知 A , F 为线段 DE 的中点. ED ?E ? 2
(1)求证: BE // 平面 ACF ; (2)求二面角 C 的平面角的余弦值. ? B F ? E

C

E F D

20、(12 分)已知函数 f(x)=(ax2+x-1)ex 其中 e 是自然对数的底数 a∈R. (1)若 a=1,求曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 a<0,求 f(x)的单调区间; (3)若 a=-1,函数 f(x)的图象与函数 g ( x) ? m 的取值范围.

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交点,求 3 2

实数

21、 (12 分)如图, F1, F2 是离心率为

2 2

的椭圆 C:

x2 y2 a? b? 0 )的左、 右焦点, 抛物线 y2 ? 4x ? ?1 ( a2 b2

与椭圆 C 在第一象限的交点到 x ?? 1的距离为 ? 3?3 2.设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 在直线 x ? ?

1 上,线段 AB 的中垂线与 C 交于 P,Q 两点. 2

(1)求椭圆 C 的方程;
第3页

(2)是否存在点 M,使以 PQ 为直径的圆经过点 F2,若存在,求出 M 点坐标,若不存在,请说明理由。

22、(12 分)已知正项数列{ a n }满足 a ? 1 ,a ? a ? 1 n ? 1 n (1) 判断数列{ a n }的单调性; (2) 求证:

1 ? ? a , ( n ? N ) 2 n ( n ? 1 )

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 n ? 1n ? 2 a ( n ? 1 ) a n n ? 1

2014 年重庆一中高 2015 级高二下期期末考试 数学答案(理科) 一.选择题
1-5CCABD 二.填空题 11.4 6-10CCDBD
0

12.(-4,1)

13.(1,2)

14. 70

[ 5,6 ] 15.

16.[5-√3,6]

三.解答题
第4页

? 1 ?x? 5,B= x 1 ? m ? x ? 1 ? m 17.解:(1)A= x
B ? A, (1)B=Ф,1-m>1+m,m<0
(2)B ? Ф,m ? 0 1-m ? ?1 且 1+m ? 5 0 ? m ? 2

?

? ?

?

综上, m ? 2 则 p 与 q 一真一假

“ p ? q ”为假命题 (2)“ p ? q ”为真命题, P 真 q 假,Ф 所以 x ? [?4, ?1) ? (5, 6]

。 P 假 q 真, [?4, ?1) ? (5, 6]

(I)设 A 通过体能、射击、爆破分别记为事件 M,N,P 则 A 能够入选包含以下几个互斥事件: 18.解:

M N P , M N P , M N P , M N P . ? P ( A ) ? P () M N P ? P () M N P ? P () M N P ? P () M N P
2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 1 8 3
? 5 0 0 0 ?,又 ? 可能的取值为 0,1,2,3, (Ⅱ)记 ? 表示该训练基地入选人数,则得到的训练经费为?
4.

2 1 ? ?? ? 1 ? P ( ?? 0 )? C ? ?? ? ? , 3 3 ? ?? ? 81
0 4

0

4

2 1 ? ?? ? 8 P ( ?? 1 )? C ? ?? ? ? , 3 3 ? ?? ? 81
1 4

1

3

2 1 ? ?? ? 24 P ( ?? 2 )? C ? ?? ? ? , 3 3 ? ?? ? 81
2 4

2

2

2 1 ? ?? ? 32 P ( ?? 3 )? C ? ?? ? ? , 3 3 ? ?? ? 81
3 4

3

1

2 1 ? ?? ? 16 4 P ( ?? 4 )? C ? ?? ? ? 4 3 3 ? ?? ? 81

4

0

?
P

0

1

2

3

4

1 81

8 81

24 81

32 81

16 81

∴训练经费? ? 5 0 0 0 ?的分布列为:

?? 5 0 0 0 ?
P

0
1 81

5000

10000

15000

20000

8 81

24 81

32 81

16 81
第5页

E ?? 13333
19.证明:(Ⅰ)连结 BD 和 A C 交于 O ,连结 OF , 为正方形,? O 为 BD 中点,? F 为 DE 中点, A B C D , ? OF // BE 平面 ACF , OF ?平面 ACF B E?

?BE//平面 ACF .
( Ⅱ ) ?AE ? 平 面 CDE , CD? 平 面 CDE , , ? AE ? CD 为正方形,? , A B C D C D ? A D 平面 DAE, A E A D ? A ,A D , A E ?
O

B

z
A

x
y
C

E F D

? CD ?平面 DAE,

C D ? D E 平面 DAE,? D E ?
? 以 D 为原点,以 DE 为 x 轴建立如图所示的坐标系,
则E (2 ,0 ,0 ), F( 1 ,0 ,0 ), A (2 ,0 ,2 ), D (0 ,0 ,0 )

AE?平面 CDE, D E ?平面 CDE,? A E ? D E
,? A D ? 22 A ED ?E ? 2 为正方形,? ,? A B C D C D ? 22 C ( 0 ,2 2 ,0 )

B C D为正方形可得: D 由A ,? B ( 2 ,2 2 ,2 ) B ?? D A D C ? ( 2 , 2 2 , 2 )
( x ,y ,z ) 设平面 BEF 的法向量为 n 1? 1 1 1
,F B E ? ( 0 , ? 22 , ? 2 ) E ? ( 1 ,0 ,0 ) 由?

? n1 ? B E ? 0 ?

? 2 2y z ?? 1 ?2 1 ?0 ,令 y1 ? 1 ,则 z1 ?? 2 ? ? x ? 0 n ? F E ? 0 ? ? ? 1 ? 1

?? n 0 , 1 ,?2 ) 1 (
第6页

设平面 BCF 的法向量为 n , ( x ,y ,z ) 2? 2 2 2 ,C B C ?? (2 , 0 , ? 2 ) F ? ( 1 , ? 22 , 0 )

? ? 2 x 2 z 0 n C ? 0 ? 2? 2? ? ? 2?B 由? ,令 y 2 ? 1 ,则 x2 ? 2 2 , z2 ?? 2 2 ? ? x 22 y 0 n C F ? 0 ? ? 2? 2? ? 2? ?

? n ? ( 2 2 , 1 , ? 2 2 ) 2
设二面角 C 的平面角的大小为 ? ,则 ? B F ? E

n ? n 1 ? 4 55 1 1 2 c o s? c o s ( ? ? n , n ? ) ? ?? c o sn , n ? ? ? ?? ?? 1 2 1 2 5 1 | n || ?n | 3 ?1 7 1 2

? ?

的平面角的余弦值为 ? ? B F ? E ? 二面角 C (1)a=1 时,f(x)=(x2+x-1)ex, 20.

5 51 51

所以 f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex, 所以曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 k=f′(1)=4e. 又因为 f(1)=e, 所以所求切线方程为 y-e=4e(x-1),即 4ex-y-3e=0. (2)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x-1)ex=[ax2+(2a+1)x]ex, (1)若 ?

1 2a ? 1 ? a ? 0, 当x ? 0或x ? ? 时, f′(x)<0,所以 f(x)的单调递减区间为 2 a
a ? ? a ?

2a ? 1 2a ? 1 ? ? ? ?? ?,0?, ? ,?? ? ,单调递增区间为 ?0,? ?? ? ?
(2)若 a= ? (3) a ? ? 调递增区间为 ??

1 1 ,则 f′(x)= ? x 2 e x ? 0 ,所以 f(x)的单调递增区间为 R 2 2

1 2a ? 1 2a ? 1 ? ? ,当x ? ? 或x ? 0, f′(x)<0,所以 f(x)的递减区间 ? ? ?,? , ?0,?? ? 单 2 a a ? ? ?

? 2a ? 1 ? ,0? a ? ?

(3)由(2)已知 f(x)=(-x2+x-1)ex 在 ?? ?,?1? 递减,在 ?? 1,0? 递增,在 ?0,?? ? 上单调递减,所 以 f(x)在 x= -1 处取得极小值 ?

3 ,在 x=0 取得极大值-1 e

g(x)经过分析在在 ?? ?,?1?递增,在 ?? 1,0? 递减,在 ?0,?? ? 上单调递增 故 g(x)在 x=-1 取得极大值在

1 ? m ,在 x=0 取得极小值 m 6
第7页

因为函数 f(x)与 g(x)图像有 3 个不同的交点。 所以 f (?1) ? g (?1)且f (0) ? g (0) 所以 ?

3 1 ? ? m ? ?1 e 6

(Ⅰ)由离心率 2 21.解:

2

可设椭圆 C 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1, 2b2 b2

设抛物线和椭圆 C 的交点为 ( x, y )
2 则: x ,y ? ?? 4 32 ? ? 1 61 ?22

2 ( ?? 4 32 ) ? 1 6 ? 1 22 代入椭圆方程: ,解得 b ? 1 ? ? 1 2 2 2 b b

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2
1 , 2

(Ⅱ)当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 的方程为 x ? ?

PF ? 2 Q ? ? 1 此时 P ,不合题意. (? 2,0 ), Q ( 2,0) , F 2
当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设存在点 M ( ?

1 , m) , m ? 0 . 2

设直线 AB 的斜率为 k,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



,得



14 ?m k ? 0 则? ,故 k ?

1 ,此时,直线 PQ 的斜率为 k1=﹣4m, 4m

PQ 的直线方程为 y﹣m=﹣4m(x+) ,即 y=﹣4mx﹣m.

联立

,消去 y,整理,得(32m2+1)x2+16m2x+2m2﹣2=0.

∴ 由题意

,x1x2= =0, ∴

, =(x1﹣1) (x2﹣1)+y1y2

=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4mx1+m) (4mx2+m) =(1+16m2)x1x2+(4m2﹣1) (x1+x2)+1+m2
第8页

=

+

+1+m2

=

=0,∴m=



∵M 在椭圆内,∴

,∴m=

符合条件. )和 M(﹣, ) .

综上所述,存在两点 M 符合条件,坐标为 M(﹣,﹣ 22 解:已知正项数列{ a n }满足 a ? 1 ,a ? a ? 1 n ? 1 n (3) 判断数列{ a n }的单调性; (4) 求证:

1 ? ? a , ( n ? N ) 2 n ( n ? 1 )

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 n ? 1n ? 2 a ( n ? 1 ) a n n ? 1

分析: (1)? a ? a ? n ? 1 n 故数列{ a n }为递增数列.

1 ,即 an?1 ? an ? 0 故 a ? a n ? 1 n 2 ( n ? 1 )

1 1 1 ? ? 2 an?1 (n ?1) (2) 不妨先证 an
? a a 1 1 a 1 a 1 n ? 1 n n n ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 . ( n ? 1 ) a n ? 1 ) a a a ( n ? 1 )a a n ? 1( n a n ? 1 n n ? 1 n n ? 1
再证:

1 1 1 1 ? ? ? n ? 1 n ? 2 a a n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 ?? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? ? ? ... ? 2 ? 2 2 23 ( n ? 1 ) a a a a a a a a 1 n ? 1 1 2 2 3 n n ? 1 1 1 1 11 1 1 1 1 ? ? ... ? ? 1 ? ? ? ? ... ? ? ? 1 ? 1 ? 22 ? 3 n ( n ? 1 ) 22 3 nn ? 1 n ? 1

第9页

? a n ?1 ? n ? 1 ? a n ?1 ? a n ? ? ? an 1 a n ? a n [1 ? ] 2 ( n ? 1) ( n ? 1) 2

an a n ?1 ?1? an ( n ? 1) 2 1 ? an 1 ? a n ?1 a n ?1 ? a n a n a n ?1

a 1 1 n ? ? ? 2 ( n ? 1 ) a a a 2 a n n ? 1 n ? 1 2 ( n ? 1 ) ( n ? 1 ) [ 1 ? n2 ] a ( n ? 1 ) n

?

1 a (n ?1)(n ?1? n ) n ?1

..

当 n ? 2 时,

an a ? n ?1 n ?1 n

1 1 1 1 1 ?? ? ? ? . ( n ? 1 )( n ? 2 ) n ? 1n ? 2 a a n n ? 1
易验证当 n=1 时,上式也成立. 综上,故有

1 1 1 1 1 成立. ? ? ? ? 2 n ? 1n ? 2 a ( n ? 1 ) a n n ? 1

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