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河南省豫东、豫北十所名校2013届高中毕业班阶段性测试试题(四)数学理科试卷


绝密★启用前

河南省豫东、豫北十所名校 2013 届高中毕业班阶段性测试(四)

数学(理科)
本试题卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.考生作答时,将答案答在 答题卡上(答题注意事项见答题卡),在本试题卷上答题无效.考试结束后,将本试题卷和 答题卡一并交回.

第I卷 选择题
一、选

择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合 题目要求的. (1) 设复数 (A)1

2i ? 3 ? a ? bi ,则 a + b = 1? i
(C)-1
2

(B)3

(D)-3

(2) 已知全集U={x∈Z|x -9x+8<0},M={3,5,6},N={x|x2-9x+20=0},则集合 {2,7}为 (A) M ? N (B) M ? N (C) CU ( M ? N ) (D) CU ( M ? N )

(3) 设 x∈R 向量 a=(2,x),b=(3,-2),且 a 丄 b,则|a-b| = (A)5 (B)

26

(C)2 26

(D)6

(4) 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

A) (5)

2 3 4 3 8 3 (B) 16 3 (C) (D) 3 3 3

将函数t f ( x) ? sin(2 x ? (x)的单调递增区间为 (A) [2k? ? (C) [k? ?

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位后得到函y=g(x)的图象,则g 4

?
6

,2k? ?

?
3

]( k ? z )

(B) [2k? ? (D) [k? ?
1

?
3

,2k? ?

?
6

, k? ?

?
3

]( k ? z )

?

3

, k? ?

5? ]( k ? z ) ) 6

5? ]( k ? z ) 6

(6)如果执行下面的程序框图,输出的S=240,则判断框中为

(A)k≥15?

(B) k≤16?

(C) k≤15?
2

(D) k≥16?

(7) 巳知中心在坐标原点的双曲线C与拋物线x =2PY(P >0)有相同的焦点F,点A是两 曲线的交点,且AF丄y轴,则双曲线的离心率为

(A)

5 ?1 2

(B)

2 ?1

(C)

3 ?1

(D)

2 2 ?1 2

?y ? 1 ? (8) 已知实数%,y满足 ? y ? 3 x ? 1 ,如果目标函数z=5x-4y的最小值为=3,则实数 M = ?x ? y ? m ?
(A)3 (B)2 (C)4 (D)

11 3

(9)已知四面体ABCD中,AB=AD=6,AC =4,CD = 2 13 ,AB丄平面汲ACD,则四面体

ABCD外接球的表面积为
(A) 36? (B) 88?
-x

( C) 92?
x

(D) 128?

(10) 设函数 f(x)=2a - 2ka (a>0 且 a ? 1)在(- ? , + ? )上既是奇函数又是减函 数,则 g(x)=log a (x -k)的图象是

(11) 若直线y=-nx +4n( n ? N * )与两坐标轴所围成封闭区域内(不含坐标轴)的整点

2

的个数为an(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点),则 (A)1012 001 (12)定义在实数集R上的函数y (B)2 012

1 (a1+a3 +a5十?+a2013 )= 2014
(D)4

(C)3 021

=f(x)的图象是连续不断的,若对任意实数x存在实常

数t使得f(t+x)=-tf(x)恒成立,则称f(x)是一个“关于t函数”?有下列“关于t函数” 的结论①f(x) =0是常数函数中唯一一个“关于t 函数”;②“关于 函数”至少有一个零点;③f(x)=x 是一个“关于t函数”.其中正确结论的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)0
2



II卷

非选择题

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作 答.第 22 题?第 24 题为选考题,考生根据要求作答
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

(13)已知某化妆品的广告费用x(万元)与销售额y(百万元)的统计数据如下表所示:

? ? 从散点图分析,y 与 x 有较强的线性相关性,且 y =0. 95x + x 若投入广告费用为
5 万 元,预计销售额为_______百万元. (14) 已知递增的等比数列{bn}( n ? N * )满足b3 + b5 = 40,b3 ? b5 = 256,则数列{bn}的前

10 项和 S10=_______.
(15) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 X2+Y2 -8X +15 = 0,若直线 Y=KX-2 上至 少 存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值 为______ (16) 对于 m ,且 m, n? N 且 m,n≥2)可以按如下的方式进行“分解” ,例如 7 的“分
n 2

解”中 最小的数是 1,最大的数是 13.若 m3 的“分解”中最小的数是 651,则 m =_____

3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分) 在 Δ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,点(a,b)在直线 4xcos B - ycos C = ccos B 上. (I)求 cosB 的值;

(II)若

,求a和c

(18)(本小题满分12分) 某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B株数分别为12与18,现将这 30株树苗的高 度编写成茎叶图如图(单位:cm):

若树高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“生长良好”,树高在175 cm以下(不包 括175 cm)定义为“非生长良好”,且只有生长良好”的才可以出售. (I)如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中抽取5株,再从这5 株中选2株,那么至少有一株“生长良好”的概率是多少? (II)若从所有“生长良好”中选3株,用X表示所选中的树苗中能出售的株数,试写 出X的分布列,并求X的数学期望.
4

(19)(本小题满分12分) 如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=BC = CD=DA=BD=6,0 为 AC,BD 的交点。将四边形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得到三棱锥 B -ACD,且 BD=3 2 (I)若 M 点是 BC 的中点,求证:0M//平面 ABD ( I I ) 求 二 面 角 A - B D - O 的 余 弦 值 .

(20)(本小题满分12分) 设椭圆C:

2 x2 y2 2 ,且内切于圆 x2+Y2=9. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

(I)求椭圆C的方程; (II)过点Q(1,0)作直线L(不与x轴垂直)与该椭圆交于M,N两点,与y轴交于点 R,若 ,试判断 ? ? ? 是否为定值,并说明理由.

5

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 g(x) =b2lnx-bx-3(b∈R)的极值点为 x=1,函数 h(x)=ax2+bx+4b-l. (I)求函数g(x)的单调区间,并比较g(x)均与g(1)的大小关系; (II)当 a= 点个数; (III)如果函数 f(x),f1(x),f2(x)在公共定义域 D 上,满足 f1(x) <f(x) <f2(x),那么就 称 f(x)为 f1(x),f2(x)的“伴随函数” ,已知函数

1 时,函数 t(x)=ln(1+x2) 2

-H(X) + x+4-k(k∈R),试 判 断 函 数 t(x) 的零

1 1 f1 ( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? (1 ? a 2 ) ln x, f 2 ( x) ? x 2 ? 2ax ,若在区间(1,+ ? )上,函 2 2
数 f(x)=G(X)+h(x)是 f (x);f2(x)的“伴随函数” a 的取值范围. ,求
1

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作 答时请写清题号. (22)(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲 如图,四边形ACED 是圆内接四边形,延长 AD 与的延长线 CE 交于点 B,且 AD=DE, AB =2AC. (I)求证:BE=2AD; (II)当 AC=2,BC=4 时,求 AD 的长.

6

(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线 C1:x2 +y2 = 1,以平面直角坐标系 xOy 的原点 0为 极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线l:3cosθ -2sinθ =

?8

?

(I )将曲线 C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、3倍后得到曲
线C2,试写出直线L的直角坐标方程和曲线C2的参数方程;

(II)求C2上一点P到L的距离的最大值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4- 5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-m| +|x+6|(m∈R).

(I)当

m=5 时 , 求 不 等 式

f(x)<≤12的解集;

(II)若不等式f(x)≥7对任意实数x恒成立,求M的取值范围.

2013 年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四) 数学(理科)·答案 (1)D (7)B (13)7.35 (15) (2)C (8)A (3)B (9)B (4)D (10)A (14)2 046 (16)26 (5)C (11)C (6)C (12)A

(17)解: (Ⅰ)由题意得 4a cos B ? b cos C ? c cos B ,???????????(1 分) 由正弦定理得 a ? 2R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C , 所以 4sin A ? cos B ? sin B ? cos C ? sin C ? cos B , ??????????????? 分) (3 即 4sin A ? cos B ? sin C ? cos B ? sin B ? cos C ,
7

4 3

所以,???????????????????(5 分) 又 sin A ? 0 , 所以 cos B ? 分) (Ⅱ)由 BA ? BC ? 3 得 ac cos B ? 3 ,又 cos B ?

1 .??????????????????????????????(6 4

??? ??? ? ?

1 ,所以 ac ? 12 .??????(9 分) 4

2 2 由 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , b ? 3 2 可得 a ? c ? 24 ,

所以 ? a ? c ? ? 0 ,即 a ? c ,????????????????????????(11
2

分) 所以 a ? c ? 2 3 .???????????????????????????? (12 分) (18)解: (Ⅰ)根据茎叶图知, “生长良好”的有 12 株, “非生长良好”的有 18 株. ?????????????????????????????????????(1 分)

5 1 (2 ? .????????????? 分) 30 6 1 1 “生长良好”的有 12 ? ? 2 株, “非生长良好”的有 18 ? ? 3 株. 6 6
用分层抽样的方法抽取, 每株被抽中的概率是
2 C3 3 7 ? , 用事件 A 表示“至少有一株‘生长良好’的被选中” ,则 P ( A) ? 1 ? 2 ? 1 ? C5 10 10

因此从 5 株树苗中选 2 株,至少有一株“生长良好”的概率是

7 .????????(6 分) 10

(Ⅱ)依题意,一共有 12 株生长良好,其中 A 种树苗有 8 株, B 种树苗有 4 株,则 X 的 所有可能取值为 0,1,2,3,

P( X ? 0) ?

3 C8 14 C2 C1 28 ? ; P( X ? 1) ? 8 3 4 ? ; 3 C12 55 C12 55

C2 C1 12 C3 1 4 8 P( X ? 2) ? 3 ? ; P( X ? 3) ? 34 ? . ???????????????(9 分) C12 55 C12 55
因此 X 的分布列如下: X P 0 1 2 3

14 55

28 55

12 55

1 55

??????????????????????????????????(10 分)
8

所以 E ( X ) ? 0? 分)

14 28 12 1 ? 1? ? 2? ? 3? ? 1.???????????????(12 55 55 55 55

19.解: (Ⅰ)因为 AB ? BC ? CD ? DA ,所以四边形 ABCD 是菱形, 因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是 BC 的中点, 所以 OM 是△ABC 的中位线, 所以 OM // AB .???????????????? 分) (3 因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD , 所以 OM // 平面 ABD .?????????????????????????? 分) (5 (Ⅱ)由题意知, OB ? OD ? 3 ,因为 BD ? 3 2 , 所以 ?BOD ? 90? , OB ? OD . ???????????(6 分) 又因为四边形 ABCD 为菱形,所以 OB ? AC , OD ? AC . 以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 Oxyz ,如图所示.

则 A(3 3, 0, 0), D(0,3, 0), B(0, 0,3) . 所以 AB ? (?3 3, 0,3), AD ? (?3 3,3, 0), ?????????????????(7 分) 设平面 ABD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ?

????

??? ? ? ? AB ? n = 0 ? ? ?3 3x ? 3z ? 0 则 ? ???? ,即 ? , ? AD ? n ? 0 ??3 3x ? 3 y ? 0 ? ?
令 x ? 1 , y ? 3, z ? 3 , 则 所以 n ? (1, 3, 3) .?????????????? (9 分) 因为 AC ? OB, AC ? OD , OB ? OD ? O, 所以 AC ? 平面 BOD . 平面 BOD 的法向量与 AC 平行, 不妨取平面 BOD 的一个法向量为 n0 ? (1, 0, 0) , 则 cos n0 , n ?

n0 ? n 1 7 ? ? , | n0 || n | 1? 7 7

又二面角 A ? BD ? O 是锐二面角,
9

所以二面角 A ? BD ? O 的余弦值为

7 .??????????????????(12 分) 7

2 2 (20)解: (Ⅰ)因为圆 x ? y ? 9 的直径为 6,依题意知 2a ? 6 ,所以 a ? 3 ,??(2

分) 又因为 分) 所以椭圆 C 的方程为

c 2 ? 2 ,所以 c ? 2 2 ,所以 b ? 1 ,?????????????????(5 a 3

x2 ? y 2 ? 1 .?????????????????????? 分) (6 9
9 .????????????????????(7 分) 4

(Ⅱ)? ? ? 是定值,且 ? ? ? ? ? 理由如下:

依题意知,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

? y ? k ( x ? 1) ? , 消去 y 并整理, 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), R(0, y3 ) ,由 ? x 2 ? y2 ? 1 ? ? 9
得 (1 ? 9k ) x ? 18k x ? 9k ? 9 ? 0 ,
2 2 2 2

所以 x1 ? x2 ? 分)

18k 2 1 ? 9k 2

①,

x1 ? x2 ?

9k 2 ? 9 ②, ?????????????(9 1 ? 9k 2

因为 RM ? ? MQ ,所以 ( x1 , y1 ) ? (0, y3 ) ? ?[(1, 0) ? ( x1 , y1 )] , 即?

???? ?

???? ?

? x1 ? ? (1 ? x1 ) , 又 l 与 x 轴不垂直,所以 x1 ? 1 , ? y1 ? y3 ? ?? y1
x1 x2 , 同理 ? ? , ????????????????????? (11 分) 1 ? x1 1 ? x2

所以 ? ?

所以 ? ? ? ?

x1 x ( x ? x ) ? 2 x1 ? x2 , ? 2 ? 1 2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2

将①②代入上式可得 ? ? ? ? ? 分)

9 ,即 ? ? ? 为定值.??????????????(12 4

10

(21)解: (Ⅰ)易知函数 g ( x) 的定义域是 (0, ??) ,且 g ?( x) ? 因为函数 g ( x) ? b ln x ? bx ? 3(b ? R) 的极值点为 x ? 1 ,
2
2 所以 g ?(1) ? b ? b ? 0 ,且 b ≠ 0 ,

b2 ? b ,?????(1 分) x

所以 b ? 1 或 b ? 0 (舍去),?????????????????????????(2 分) 所以 g ( x) ? ln x ? x ? 3 , g ?( x) ?

1? x ( x ? 0) , x

当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为增函数, 当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为减函数, 所以 x ? 1 是函数 g ( x) 的极大值点,且最大值为 g (1) , 所以 g ( x) 的递增区间为 (0,1) ,递减区间为 (1, ?? ) , g ( x)≤g (1) .????????(4 分) (Ⅱ)当 a ?

1 1 2 时,t ( x) ? ln(1 ? x ) ? h( x) ? x ? 4 ? k ? ln(1 ? x 2 ) ? x 2 ? 1 ? k .?? 分) (5 2 2

所以 t ?( x ) ?

2x ?x, 1 ? x2

令 t ?( x) ? 分)

2x ? x ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 0 或 x ? 1 ,?????????????(6 1 ? x2

当 x ? ?1时, t ?( x) ? 0 ,当 ? 1 ? x ? 0 时, t ?( x) ? 0 , 当 0 ? x ? 1 时, t ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, t ?( x) ? 0 , 所以 t ( x)极大值 ? t (?1) ? ln 2 ? 所以当 k ? ln 2 ?

1 ????????? (7 分) ? k ,t ( x)极小值 ? t (0) ? 1 ? k , 2

1 时,函数 t ( x ) 没有零点; 2 1 当 1 ? k ? ln 2 ? 时,函数 t ( x ) 有四个零点; 2 1 当 k ? ln 2 ? 时,函数 t ( x ) 有两个零点; 2
当 k ? 1 时,函数 t ( x ) 有三个零点;
11

当 k ? 1 时, 函数 t ( x ) 有两个零点.?????????????????????? 分) (8
2 (Ⅲ) f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? ax ? ln x ,

在区间 (1,?? ) 上,函数 f (x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的“伴随函数” ,则 f1 ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) 恒成 立,令 p ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? ? a ?

? ?

1? 2 ? x ? 2ax ? ln x , 2?

1 q( x) ? f1 ( x) ? f ( x) ? ? x 2 ? 2ax ? a 2 ln x, 则 p( x) ? 0, q( x) ? 0 对于任意的 x ? (1, ??) 2
恒成立. 因为 p?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ①若 a ?

1 [(2a ? 1) x ? 1]x ? 1) ( ? (*) ????????? 分) , (9 x x

1 1 1 ,令 p?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1, x 2 ? ,当 x 2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在 2 2a ? 1 2

( x 2 ,??) 上有 p?( x) ? 0 , 此时 p (x) 是增函数,并且在该区间上有 p( x) ? ( p( x2 ),??) ,
不合题意;当 x2 ≤ x1 ,即 a≥1 时,在 (1, ??) 上, p( x) ? ( p(1),??) ,也不合题意;?(10 分)

1 , 则有 2a ?1 0 , 从而 p (x) 在区间 (1,?? ) ≤ 此时在区间 (1,?? ) 上恒有 p?( x) ? 0 , 2 1 1 上是减函数,要使 p( x) ? 0 在此区间上恒成立,只需满足 p(1) ? ?a ? ≤0 ? a≥ ? ,所 2 2 1 1 以 ? ≤a≤ .?????????????????????????????(11 分) 2 2
②若 a≤ 因为 q?( x) ? ? x ? 2 a ?

a 2 ? x 2 ? 2 ax ? a2 ?( x ? a 2 ) ? ? ?0,所以 q ( x) 在 (1,?? ) 上是减 x x x
1 1 ? 2a≤0 ,所以 a≤ . 4 2

函数,要使 q( x) ? 0 在 (1, ??) 上恒成立,则 q( x) ? q(1) ? ? 综合①②可知 a 的取值范围是 ? ? 分)

? 1 1? , .???????????????????(12 ? 2 4? ?

(22)解:(Ⅰ) 因为四边形 ACED 为圆的内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA, ???(1 分) 又 ?DBE ? ?CBA, 所以 △BDE ∽ △BCA ,则

BE DE .???????????(3 ? BA CA

12

分) 而 AB ? 2 AC , 所以 BE ? 2DE .?????????????????????? 分) (4 又 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD. ???????????????????????(5 分) (Ⅱ)由条件得 AB ? 2 AC ? 4 .???????????????????????(6 分) 设 AD ? t ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC ,即 ( AB ? AD) ? BA ? 2 AD ? 4, 所以 (4 ? t ) ? 4 ? 2t ? 4 ,解得 t ? 分) (23)解:(Ⅰ) 由题意知,直线 l 的直角坐标方程为 3x ? 2 y ? 8 ? 0 .??????(2 分) 由题意得曲线 C2 的直角坐标方程为 ? 所以曲线 C2 的参数方程为 ?

4 4 ,即 AD ? .??????????????(10 3 3

?x? ? y? ? ? ? ? ? 1, ?2? ? 3?

2

2

? x ? 2 cos ? (? 为参数) .????????????(5 分) ? y ? 3sin ?

(Ⅱ) 设点 P 的坐标为 2cos ? ,3sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为 (

π? ? 6 2 cos ? ? ? ? ? 8 4? | 6 cos ? ? 6sin ? ? 8 | ? d? ? , 13 13
所以当 cos ? ? ?

? ?

6 26+8 13 π? .?????????????? (10 分) ? ? 1 时,d max ? 13 4?

(24)解: (Ⅰ)当 m ? 5 时, f ( x)≤ 即 x ? 5 ? x ? 6 ≤12 , 12 当 x ? ?6 时,得 ?2 x≤ ,即 x≥ ? 13

13 13 ,所以 ? ≤x ? ?6 ; 2 2

12 当 ?6≤x≤5 时,得 11≤ 成立,所以 ?6≤x≤5 ;
11 11 ,所以 5 ? x≤ . 2 2 13 11 ? ? 故不等式 f ? x ? ≤12 的解集为 ? x | ? ≤x≤ ? .???????????????(5 2 2? ?

11 当 x ? 5 时,得 2 x≤ ,即 x≤

分) (Ⅱ)因为 f ? x ? ? x ? m ? x ? 6 ≥ ? x ? m ? ? ? x ? 6 ? ? m ? 6 , 由题意得 m ? 6 ≥7 ,则 m ? 6≥7 或 m ? 6≤ ? 7 ,
13

解得 m≥ 或 m≤ ?13 , 1 故 m 的取值范围是 ? ??, ?13? ? ?1, ?? ? .???????????????????(10 分)

14


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