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甘肃省武威一中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析


甘肃省武威一中 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,计 48 分) 2 1.不等式﹣x +3x+4<0 的解集为() A.{x|﹣1<x<4} B.{x|x>4 或 x<﹣1}C.{x|x>1 或 x<﹣4}D.{x|﹣4<x<1} 2.在△ ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,则 b 等于() A.

4 B. C. 4 D.

3.已知△ ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则 sinB=() A. B. C. D.

4.在等差数列{an}中,已知 a5=21,则 a4+a5+a6 等于() A.15 B.33 C.51

D.63

5.已知等比数列{an}的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为() A.15 B.17 C.19 D.21 6.若{an}是等比数列,an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值为() A.5 B.﹣5 C.﹣5 或 5 D.25 7.符合下列条件的三角形有且只有一个的是() A.a=1,b=2,c=3 B. a=1,b= ,∠A=30° C. a=1,b=2,∠A=100° D.b=c=1,∠B=45° 8.在△ ABC 中,若 A.直角三角形 C. 等腰或直角三角形 ,则△ ABC 是() B. 等腰三角形 D.钝角三角形

9.在△ ABC 中,如果 a+c=2b,B=30°,△ ABC 的面积为 ,那么 b 等于() A. B. C. D.

10.已知数列﹣1,a1,a2,﹣4 成等差数列,﹣1,b1,b2,b3,﹣4 成等比数列,则 的值是()

A.

B.

C. 或

D.

11.设函数 f(x)满足 A.95 B.97

(n∈N ) ,且 f(1)=2,则 f 为() C.105 D.192

*

12.等差数列{an}中,a10<0,a11>0 且 a11>|a10|,Sn 为其前 n 项和,则() A.S1,S2,…,S10 都小于 0,S11,S12,…都大于 0 B. S1,S2,…,S19 都小于 0,S20,S21,…都大于 0 C. S1,S2,…,S5 都小于 0,S6,S7,…都大于 0 D.S1,S2,…,S20 都小于 0,S21,S22,…都大于 0

二、填空题: (共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.已知数列 3 ,5 ,7 ,9 ,…试写出其一个通项公式: .

14.在△ ABC 中,若 AB=

,AC=5,且 cosC=

,则 BC=.

15.某人玩投石子游戏,第一次走 1 米放 2 颗石子,第二次走 2 米放 4 颗石子,…,第 n 次 走 n 米放 2 颗石子,当此人一共走了 36 米时,他投放石子的总数是.
n

16.已知函数

,则

的值为.

三、解答题(共 6 小题,共 56 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.在△ ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、a,且 , . ,

(1)求 a,b 的值; (2)求角 C 和边 c 的值. 18. (1)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,求 a5. (2)在等比数列{an}中,若 a4﹣a2=24,a2+a3=6,求首项 a1 和公比 q. 19.△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 asinA+csinC﹣ (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A=75°,b=2,求 a,c. asinC=bsinB,

20.设关于 x 的一元二次方程 anx ﹣an+1x+1=0(n∈N )有两根 α 和 β,满足 α+β﹣αβ=2, 且 a1=1 (1)试 an 用表示 an+1; (2)求数列{an}的通项公式. 21.已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= (n∈N) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

2

*

22.各项均为正数的数列{an}中,a1=1,Sn 是数列{an}的前 n 项和,对任意 n∈N ,有 2 2Sn=2pan +pan﹣p(p∈R) (1)求常数 p 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)记 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 T.

*

甘肃省武威一中 2014-2015 学年高一下学期期末数学试 卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,计 48 分) 2 1.不等式﹣x +3x+4<0 的解集为() A.{x|﹣1<x<4} B.{x|x>4 或 x<﹣1}C.{x|x>1 或 x<﹣4}D.{x|﹣4<x<1} 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 把不等式的左边分解因式后,根据两数相乘的取符号法则:同号得正,异号得负, 转化为两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集. 解答: 解:不等式﹣x +3x+4<0, 因式分解得: (x﹣4) (x+1)>0, 可化为: 或 ,
2

解得:x>4 或 x<﹣1, 则原不等式的解集为{x|x>4 或 x<﹣1}. 故选 B. 点评: 本题主要考查了一元二次不等式的解法,考查了转化的数学思想,是一道基础题.

2.在△ ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,则 b 等于() A.4 B. C. 4 D.

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦定理. 解三角形. 先求得 A,进而利用正弦定理求得 b 的值. 解:A=180°﹣B﹣C=45°, = ,

由正弦定理知

∴b=

=

=4



故选 A. 点评: 本题主要考查了正弦定理的运用.考查了学生对基础公式的熟练应用. 3.已知△ ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则 sinB=() A. B. C. D.

考点: 等差数列的通项公式;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由题意可得 A+C=2B,结合三角形的内角和可求 B,进而可求 sinB 解答: 解:由题意可得,A+C=2B ∵A+B+C=180° ∴B=60°,sinB= 故选 B 点评: 本题主要考查了等差数列的性质的简单应用,属于基础试题 4.在等差数列{an}中,已知 a5=21,则 a4+a5+a6 等于() A.15 B.33 C.51

D.63

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可得 a4+a5+a6=3a5,代入化简可得. 解答: 解:由等差数列的性质可得 a4+a6=2a5, ∴a4+a5+a6=3a5=3×21=63 故选 D 点评: 本题考查等差数列的性质,划归为 a5 是解决问题的关键,属基础题. 5.已知等比数列{an}的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为()

A.15

B.17

C.19

D.21

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 4 分析: 由已知 q=2,a1+a2+a3+a4=1 可得 a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q ,从而可求等比数 列的前 8 项和 解答: 解:由题意可得,q=2,a1+a2+a3+a4=1 4 由等比数列的通项公式可得,a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)q =16 所以,S8=1+16=17 故选:B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质:an=amq 本运算.
n﹣m

,解决本题时利用该性质可以简化基

6.若{an}是等比数列,an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 的值为() A.5 B.﹣5 C.﹣5 或 5 D.25 考点: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的性质进行化简即可. 2 2 解答: 解:由 a2a4+2a3a5+a4a6=25 得(a3) +2a3a5+(a5) =25, 2 即(a3+a5) =25, ∵an>0, ∴a3+a5=5, 故选:A 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式的应用, 根据等比数列的性质利用配方法是解决 本题的关键. 7.符合下列条件的三角形有且只有一个的是() A.a=1,b=2,c=3 B. a=1,b= ,∠A=30° C. a=1,b=2,∠A=100° D.b=c=1,∠B=45° 考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: A 无解,因为三角形任意两边之和大于第三边,而这里 a+b=c. B 有 2 个解,由正弦定理可得 sinB= ,故 B=45°,或 B=135°.

C 无解,由于 a<b,∴A=100°<B,∴A+B>200°,这与三角形的内角和相矛盾. D 有唯一解,∵b=c=1,∠B=45°,∴∠C=45°,∴∠A=90°. 解答: 解:A 无解,因为三角形任意两边之和大于第三边,而这里 a+b=c,故这样的三角 形不存在. B 有 2 个解,由正弦定理可得 ,∴sinB= ,故 B=45°,或 B=135°.

C 无解,由于 a<b,∴A=100°<B,∴A+B>200°,这与三角形的内角和相矛盾.

D 有唯一解,∵b=c=1,∠B=45°,∴∠C=45°,∴∠A=90°,故有唯一解. 故选 D. 点评: 本题考查正弦定理的应用,三角形的解的个数判断,根据三角函数的值求角.根据 三角函数的值求角是解题的难点. 8.在△ ABC 中,若 A.直角三角形 C. 等腰或直角三角形 ,则△ ABC 是() B. 等腰三角形 D.钝角三角形

考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 先由正弦定理得求出 sinA?cosA=sinB?cosB,利用倍角公式化简得 sin2A=sin2B, 因 a≠b,进而求出,A+B= 解答: 解:由正弦定理得 ∴sinA?cosA=sinB?cosB, ∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B 或 2A+2B=π,但 a≠b, ∴2A≠2B,A+B= ,即△ ABC 是直角三角形. . ,

故选 A 点评: 本题主要考查正弦定理的应用.属基础题. 9.在△ ABC 中,如果 a+c=2b,B=30°,△ ABC 的面积为 ,那么 b 等于() A. B. C. D.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 两边平方求得 a,b 和 c 的关系式,利用三角形面积公式求得 ac 的值,进而把 a,b 和 c 的关系式代入余弦定理求得 b 的值. 2 2 2 解答: 解:∵2b=a+c,得 a +c =4b ﹣2ac, 又∵△ABC 的面积为 ,∠B=30°, 故由 S△ ABC= acsinB= acsin30°, 得 ac=6. 2 2 2 ∴a +c =4b ﹣12. 由余弦定理,得 cosB= ,

解得 b =4+2 . 又 b 为边长,则 b>0, ∴b=1+ . 故选:B. 点评: 本题主要考查了正弦定理、 余弦定理的运用. 考查了学生分析问题和基本的运算能 力.

2

10.已知数列﹣1,a1,a2,﹣4 成等差数列,﹣1,b1,b2,b3,﹣4 成等比数列,则 的值是() A. B. C. 或 D.

考点: 等比数列的性质;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的通项公式可得﹣4=﹣1+3d,求得公差 d=a2﹣a1 的值,由等比数列的 通项公式可得﹣4=﹣1q ,求得 q
4 2

的值,即得 b2 的值,从而求得

的值.

解答: 解:∵数列﹣1,a1,a2,﹣4 成等差数列,由﹣4=﹣1+3d,求得公差 d=a2﹣ a1= =﹣1.
4 2 2

∵﹣1,b1,b2,b3,﹣4 成等比数列,由﹣4=﹣1q ,求得 q =2,∴b2=﹣1q =﹣2. 则 = = ,

故选 A. 点评: 本题考查等差数列的定义和性质,通项公式,等比数列的定义和性质,等比数列的 通项公式,求出公差 d=a2﹣a1 及 b2 的值,是解题的关键. 11.设函数 f(x)满足 A.95 B.97 (n∈N ) ,且 f(1)=2,则 f 为() C.105 D.192
*

考点: 数列递推式;数列的函数特性. 专题: 计算题. 分析: 由已知, f 即可求. 解答: 解:∵ ,化简整理得, , , 即 , 可用叠加法求 f (n) ,

… (n≥2) 以上各式叠加得, ∴ ∴ 故选 B 点评: 本题考查叠加法求通项.凡是形如 a n+1﹣a n=f(n) ,且{f(n)}能求和,均可用叠 加法求{an}通项, 12.等差数列{an}中,a10<0,a11>0 且 a11>|a10|,Sn 为其前 n 项和,则() A.S1,S2,…,S10 都小于 0,S11,S12,…都大于 0 B. S1,S2,…,S19 都小于 0,S20,S21,…都大于 0 C. S1,S2,…,S5 都小于 0,S6,S7,…都大于 0 D.S1,S2,…,S20 都小于 0,S21,S22,…都大于 0 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据 a10<0, a11>0 可得到 , 故有 d>0, a1<0 成立, 结合 a11>|a10| 且对 n=1 也适合.

可知 a10+a11>0, 再由等差数列的性质可得到 a1+a20=a10+a11>0 进而可得到 S20=10 (a1+a20) >0 得到答案. 解答: 解:由题意知 可得 d>0,a1<0. 又 a11>|a10|=﹣a10, ∴a10+a11>0. 由等差数列的性质知 a1+a20=a10+a11>0, ∴S20=10(a1+a20)>0. 故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的性质.考查基础知识的灵活运用. 二、填空题: (共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知数列 3 , 5 , 7 , 9 , …试写出其一个通项公式: an=2n+1+ (n∈N ) . .
*

考点: 等比数列的通项公式;数列的概念及简单表示法;等差数列的通项公式.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 把数列的项写成: 3+ ,5+ ,7+ ,9+ …,利用

等差数列和等比数列的通项公式即可得出. 解答: 解: 已知数列的每一项写成: 3+ ∴数列的一个通项公式为 an=2n+1+ 故答案为:an=2n+1+ (n∈N ) .
*

, 5+ (n∈N ) .
*

, 7+

, 9+

…,

点评: 本题考查数列的通项公式,熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式是解题的关 键. 14.在△ ABC 中,若 AB=

,AC=5,且 cosC=

,则 BC=4 或 5.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 直接利用余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC,得到 BC 的方程,求出 BC 的值,即可得到 结论. 解答: 解:由余弦定理:c =a +b ﹣2abcosC a=BC,b=AC,c=AB cosC= ,
2 2 2


2



∴10a +200﹣90a=0, 2 即:a ﹣9a+20=0, (a﹣4) (a﹣5)=0, 解得:a=4,a=5, BC=4 或 5. 故答案为:4 或 5. 点评: 本题是基础题,考查三角形中余弦定理的应用,考查计算能力,本题也可以利用正 弦定理求出角,然后求解 BC. 15.某人玩投石子游戏,第一次走 1 米放 2 颗石子,第二次走 2 米放 4 颗石子,…,第 n 次 n 走 n 米放 2 颗石子,当此人一共走了 36 米时,他投放石子的总数是 510. 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 易得此人一共走了 8 次,由等比数列的前 n 项和公式可得. 解:∵1+2+3+4+5+6+7+8=36,

∴此人一共走了 8 次 ∵第 n 次走 n 米放 2 颗石子 2 3 8 ∴他投放石子的总数是 2+2 +2 +…+2 = =2×255=510
n

故答案为:510 点评: 本题考查等比数列的求和公式, 得出数列的首项和公比是解决问题的关键, 属基础 题.

16.已知函数

,则

的值为 .

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 有条件求得 f( )= 式子的值. 解答: 解:∵ ,∴f( )= ,∴ =1,再由 f(1) ,得到 =1,再 f(1)= ,求出所求

= , 可得 故答案为 . =1,是解题的关键,属 =f(1)+3= ,

点评: 本题主要考查求函数的值的方法,求得 于基础题.

三、解答题(共 6 小题,共 56 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.在△ ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、a,且 , . ,

(1)求 a,b 的值; (2)求角 C 和边 c 的值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由正弦定理及已知可得 a= ,联立方程 ,即可得解.

(2)由 A,B 为锐角,利用同角三角函数关系式可得 cosA,cosB 的值,利用两角和的余弦 函数公式即可求得 cosC=﹣cos(A+B)的值,利用余弦定理即可得 c 的值. 解答: 解: (1)由 得 a= ,联立 解得 .…

(2)∵A,B 为锐角,cosA=

,cosB=

, ,

∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣

∴C=135°,… 2 2 2 ∴c =a +b ﹣2abcosC=5, ∴c= .…8 分 点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函数恒等知识变换的应用,属于基本知 识的考查. 18. (1)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,求 a5. (2)在等比数列{an}中,若 a4﹣a2=24,a2+a3=6,求首项 a1 和公比 q. 考点: 等比数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题.

分析: (1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知可得

,解之即可;

(2)由已知可得

,解之可得.

解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d, 由已知可得 ,

解之可得

,故 a5=1+(﹣2)=﹣1;

(2)由已知可得



解之可得 点评: 本题考查等差数列和等比数列的通项公式,属基础题. 19.△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 asinA+csinC﹣ asinC=bsinB,

(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A=75°,b=2,求 a,c. 考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ) 利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系, 代入余弦定理中求 得 cosB 的值,进而求得 B. (Ⅱ)利用两角和公式先求得 sinA 的值,进而利用正弦定理分别求得 a 和 c. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)由正弦定理得 a +c ﹣ ac=b , 2 2 2 由余弦定理可得 b =a +c ﹣2accosB, 故 cosB= ,B=45°

(Ⅱ)sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°= 故 a=b× = =1+

∴c=b×

=2×

=

点评: 本题主要考查了解三角形问题.考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用. 20.设关于 x 的一元二次方程 anx ﹣an+1x+1=0(n∈N )有两根 α 和 β,满足 α+β﹣αβ=2, 且 a1=1 (1)试 an 用表示 an+1; (2)求数列{an}的通项公式. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) 通过韦达定理可知 、 , 利用 α+β﹣αβ=2 化简即得结论;
2 *

(2)通过对 an+1=2an+1 变形可知数列{an+1}是以首项、公比均为 2 的等比数列,进而计算 可得结论. 2 * 解答: 解: (1)∵α、β 是 anx ﹣an+1x+1=0(n∈N )的两根, ∴ , ,

又∵α+β﹣αβ=2, ∴ ∴an+1﹣1=2an, ∴an+1=2an+1; ,

(2)∵an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1) , 又∵a1=1,a1+1=2, ∴数列{an+1}是以首项、公比均为 2 的等比数列, ∴ ∴ , .

点评: 本题考查数列的通项,涉及韦达定理等基础知识,注意解题方法的积累,属于中档 题. 21.已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= (n∈N) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)根据等差数列的两项之和的值,根据等差数列等差中项的性质得到 a6,根据 连续两项得到数列的公差,根据通项写出要求的第四项和数列的前 n 项和. (2)本题需要根据上一问的结果构造新数列,把第一问做出的通项代入,整理出结果,发 现这是一个裂项求和的问题,得到前 n 项和. 解答: 解(1)∵a3=7,a5+a7=26. ∴ ∴ ∴an=2n+1 sn= (2)由第一问可以看出 an=2n+1 ∴ , ,

= ∴Tn= .

点评: 本题考查等差数列的性质, 考查数列的构造, 解题的关键是看清新构造的数列是一 个用什么方法来求和的数列,注意选择应用合适的方法. 22.各项均为正数的数列{an}中,a1=1,Sn 是数列{an}的前 n 项和,对任意 n∈N ,有 2 2Sn=2pan +pan﹣p(p∈R)
*

(1)求常数 p 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)记 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 T.

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)根据 a1=1,对任意的 n∈N*,有 2Sn=2pan +pan﹣p,令 n=1,解方程即可求得 结果; (2)由 2Sn=2an +an﹣1,知 2Sn﹣1=2an﹣1 +an﹣1﹣1, (n≥2) ,所以(an﹣an﹣1﹣1) (an+an﹣1) =0,由此能求出数列{an}的通项公式. (3)根据 求出数列{bn}的通项公式,利用错位相减法即可求得结果.
2 2 2 2

解答: 解: (1)∵a1=1,对任意的 n∈N*,有 2Sn=2pan +pan﹣p 2 ∴2a1=2pa1 +pa1﹣p,即 2=2p+p﹣p,解得 p=1; 2 (2)2Sn=2an +an﹣1,① 2 2Sn﹣1=2an﹣1 +an﹣1﹣1, (n≥2) ,② ①﹣②即得(an﹣an﹣1﹣ ) (an+an﹣1)=0, 因为 an+an﹣1≠0,所以 an﹣an﹣1﹣ =0, ∴

(3)2Sn=2an +an﹣1=2× ∴Sn= ∴
1 2

2



, =n?2
n

Tn=1×2 +2×2 +…+n?2 ③ 2 3 n n+1 又 2Tn=1×2 +2×2 +…+(n﹣1)?2 +n2 ④ 1 2 3 n n+1 n+1 ④﹣③Tn=﹣1×2 ﹣(2 +2 +…+2 )+n2 =(n﹣1)2 +2 n+1 ∴Tn=(n﹣1)2 +2 点评: 本题考查数列的性质和应用, 数列前 n 项和与数列通项公式的关系, 以及错位相减 法求数列的前 n 项和,考查分析解决问题的能力和运算能力,属中档题.

n


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