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钢结构讲义4


第 四 章 轴 心 受 力 构 件

1

§4.1 轴心受力构件的特点 轴心受拉 轴心受力构件分 轴心受压 实际上真正的轴心受力构件并不存在,原因是材质不 均匀、初始缺陷、残余应力的影响。 理想轴心受压构件在达临界荷载之前一直保持直杆平 衡。 N=Ncr N>Ncr N 当N达临界荷载时发生微小的偏离 直线位置的弯曲,但仍处于平衡

状态, 当荷载超过临界荷载一微量时,构 件就失去平衡不断挠曲而破坏。 说明杆件有两种稳定的平衡状态,这称为平衡的分枝。 2 属于第一类稳定问题,以曲线稳定平衡状态为临界状态。
直杆平衡
曲杆平衡

偏心受压杆在荷载开始作用时,杆件就发生弯曲,荷 N>Ncr 载低于临界荷载时,杆件随时处于弯曲 N 的平衡状态。 而在达临界荷载后,平衡状态被破 坏。杆件仅存在一种弯曲平衡状态,属 于第二类稳定问题。 设计轴心受力构件时,应同时满足第一极限状态和第 二极限状态的要求。 强度问题 第一极限状态为承载力极限状态,包括 稳定问题 第二极限状态是限制构件正常使用时的变形。 受压构件的承载力常决定于稳定,
曲杆平衡

?

2 π EI Ncr ? 2 l

I ? i2 A

3

所以为了提高临界力,应采用较为开展的截面型式, 即提高回转半径 i 。 通常采用实腹式截面和格构式截面。 实腹式:沿构件全长是连续分布的。 格构式:由柱肢和缀件组成截面,缀件沿构件全长是 间隔分布的,柱肢是连续分布的。

实腹式组合截面还要保证局部稳定 格构式截面还要保证单肢稳定
4

(d)格构式构件截面 1

§4.2 轴心受力构件的强度和刚度 轴心受力构件的强度承载力是以全截面的平均应力 达到屈服应力为极限。 由于柱要通过螺栓连接其它构件,柱截面有削弱, 因此需进行净截面强度计算。 N N' ? f σ? ? f 或 σ? An An 对于高强螺栓摩擦型连接,还需验算构件的毛截面 强度: σ?N A? f 为满足轴心受力构件的正常使用要求,构件应具有 一定的刚度要求,以保证构件不会产生过度的变形。 轴心受力构件刚度的保证是通过限制构件长细比来 5 确定的:

λ ? lo i ? ?λ?
式中: lo :是构件两个主轴方向的计算长度; i :是构件两个主轴方向中与lo 对应的回转半径; ?λ? :? 规范? 规定的容许长细比。 λ过大?抗弯刚度过小,易产生振动,对构件不利。 z 杆件长细比按照下列规定确定: z N N ① 截面为双轴对称或极对称的构件

l/2

λ y ? l oy i y

l

l/2

λ x ? l ox i x

x 式中: lox 、loy :构件对主轴x轴和y轴 的计算长度; ix 、 iy : 构件对主轴x轴和y轴 l oy ? l 的回转半径;

y

l ox ? l 2
6

注意:双轴对称十字形截面构件 λx ≥ 5.07 b/t λy ≥ 5.07 b/t b ② 单轴对称截面构件 y 绕非对称主轴 λ x ? l ox i x 绕对称主主轴时,除了考虑λy,还应考虑 x 计及扭转效应的换算长细比λyz (后面阐述)。 容许长细比 ?? ?的取值可查表, 受压构件 ?? ?=150 ?? ?=250(有重级工作制吊车 多数情况下 的厂房) 受拉构件 ?? ?=350(有中、轻级工作制 吊车的厂房) 7
t

§4.3 轴心受压构件的临界力 理想轴心受压构件丧失稳定,或者称屈曲,有三种 情况: 弯曲屈曲:杆件纵轴线发生弯曲变形 扭转屈曲:杆件各截面绕纵轴线扭转变形 弯扭屈曲:既有各截面绕纵轴线的扭转,又有纵轴 线的弯曲变形 需算出三种屈曲情况的屈曲临界力,然后取小值,作 为轴压构件的临界力。 一. 弯曲屈曲 确定轴心受压构件的临界力时,采用下列假设: ① 杆件为两端铰接的理想直杆; ② 轴心压力作用于杆件两端,且为保向力(即弯曲时, 轴心压力方向不变); ③ 屈曲时变形很小,忽略杆长的变化; 8 ④ 屈曲时轴线挠曲成正弦半波曲线,截面仍保持平面。

静力法:据曲线平衡状态求解微分 方程。属于精确法。 求临界力的方法 z 能量法:属于近似法。 P 静力法: 针对实心截面列平衡方程
P M
V

y y

Py ? M 即: EIy?? ? Py ? 0

注意:对实心截面,可以不考虑剪力影 响,薄壁截面不能忽略。 能量法稳定准则:杆件从直杆平衡状态转变为无限 邻近的曲杆平衡状态时,外荷势能的变化和杆件中应变 能的变化总量不变。 即: δV ? δU ? 0 9 应变能的变化 外荷势能的变化

如图, 据假设①、②、③,有:

z

dz l ?? ? ? Ncr ? ( ? dz) cosα ds l 1 ?? ? ? Ncr ? (1 - cosα)dz cosα l y 1 2α ? ? Ncr ? ? 2 sin dz cosα 2 l α α 1 sin ? tg ? tgα 据假设③,有: cosα ? 1

dy

2 dy 而 tg α ? dz 2 故: δV ? ?2 Ncr ( 1 ? dy ) dz ? l 2 dz
?? Ncr 2 ? (y ) dz ? 2 l

2

2

ds
10

l

dz ds-dz

δ V ? ? Ncr Δ ? ? Ncr ? (ds ? dz)



N

杆件应变能包括弯曲应变能和剪切应变能 变形由两部分组成,y1由M引起,y2由V引起, z V γ1 称为剪切角, γ1 称为单位剪切角。

Vγ M 应变能为: δ U ? ? dz ? ? dz 2EI 2 l l 式中: M ? Ncr y V ? dM d Z ? N y? cr
2

N

剪切角: γ ? V γ1 ? Ncr y? γ1
2 cr 2 2 cr

y1

y2 Vγ1 y

故: δ U ? N 将

、 δU代入 δ V ? δ U ? 0 δV
Ncr ?
2 ? dz ( y ) ? l

N γ1 ? 2 y dz ? (y ) dz ? ? 2EI l 2 l

中整理得:

1 EI

2 2 ? dz ? dz y γ ( y ) 1? ? l l

11

πz 据假设④, 令 y ? ym sin l2
代入上式整理后得:

符合边界条件

对实腹式截面,剪切应变能所占比例较小,可忽略 2 π EI 得: N cr ? 2 l 2 Ncr π E l I ? σcr ? ? 2 ?λ ? 、 i ? A A i λ 上两式就是理想轴压构件的欧拉临界力和临界应力。

1 π EI Ncr ? 2 ? 2 EI π l 1 ? 2 γ1 l

从公式看出,轴心受压构件弯曲屈曲临界应力随构件 的长细比减小而增大,即随计算长度的减小而增大,而与 材料的抗压强度无关,即采用高强度钢材不能提高稳定承 12 载力。

计算长度与构件两端的支承条件有关,不同的支承条 件下计算长度不同。 考虑到理想支承条件难以实现,规范给出了计算长度 系数的建议值。
计 算 长 度 系 数 μ 两端支 承情况 l0 =μl μ理论值 μ的设计 建 议 值 两端 上端自由 上端铰接 两端 上端可移动但不 上端可移动但不 铰接 下端固定 下端固定 固定 转动 下端固定 转动 下端铰接 1.0 l 1 2.0 l 2 0.7 l 0.8 0.5 l 0.65 1.0 l 1.2 2.0 l 2

欧拉临界应力公式仅当σcr≤ fp 时,才正确。 σ 当σcr > fp 时,钢材进入弹塑性 ?? 阶段,应采用切线模量理论更合适。 2 π Eτ 即: σcr ? 2
λ

tg?=Et
13

ε

E t τ ? 式中: E
经实验验证

Et:对应于临界应力的切线模量

Et ?

( f y ? σ) σ

( f y ? f p) f p

E

画出临界应力和长细比的关系(称为柱子曲线) σ cr 2 π E Eτ π ? ? ? f σ 若: σcr p 2 λ λ E
2 cr 2

则: λ ? π

E f p

fp

σ

cr

?

π λ

2

2

σ fy

cr
π
E π ? σ λ
cr 2 2

λ
E fp

若材料为理想弹性-塑性体
即:
fy

σ

则:
ε
π E fy

λ
14

构件截面有两根主轴(x轴、y轴), 因而弯曲屈曲可能在两个主轴方向发生, 临界应力分别为:

π Eτ σcrx ? 2 λx

2

π Eτ σcry ? 2 λy

2

则σcrx =σcry 若λx = λy , 即两主轴方向弯曲屈曲临界应力相等,称为轴心受 压构件在两主轴方向等稳定。 那么λx = λy 就称为绕两主轴等稳定条件。
条件:截面绕两主轴为同一类截面 二. 扭转屈曲 1. 剪切中心(弯曲中心)

15

梁受横向荷载时,截面会产生剪应力。 薄壁截面梁剪应力的计算宜用剪力流理 沿截 面宽 论,认为剪应力沿板件厚度均布,方向与各 度均布 板件平行。 与材料力学的计算方法相比较,薄壁构件腹板上剪应 力的计算是相同的,但在计算翼缘剪应力时,无论大小和 VS 方向都有质的区别。 由 τ ? t 计算 Ix 计算翼缘时,S取计算处以外面积对中和轴的面积矩。 翼缘中剪应力的合力为零,故腹板中剪应 力的合力即为全截面剪应力的合力,此合力通 过截面形心。 若梁受的横向荷载也通过形心(实质是通 16 过剪切中心),则梁只产生弯曲变形。

τf 1 若荷载平行于 y 轴作用, H 上翼缘和下翼缘中的剪力和均为 V y H,形成一个力偶Hh。 S 整个截面剪力和为V(实际上 e 是腹板的剪力和),平行于 y 轴。 H b 若荷载平行于 y 轴作用且通 过截面形心会产生扭转吗? 会产生扭转 若不产生扭矩,需 Hh ? Ve ? 0 1 V h V b2 t h 1 ? (b t ? ) ? 而 H ? b t τ f 1 ? bt ? 4 Ix 2 2 2 Ix t 2 2 h b th 故: e ? H ? V 4 Ix S为剪切中心,若实际外力通过剪切中心,不会产生 扭矩,否则,有扭矩产生。 17 注意:剪心仅与截面有关,是截面特性,与外荷无关。

t

h

常用截面剪切中心的位置: C S ① 双轴对称截面,剪切中心与形心重合; ② 单轴对称截面,剪切中心在对称轴上, S S C 具体位置通过计算确定; C ③ 矩形板中线相交于一点的截面,剪切 S 中心在交点。 C C 2. 扭转的形式 S 荷载作用线未通过剪切中心时,产生的扭转分为自由 扭转和约束扭转。 非圆截面扭转时,原来为平面的横截面不再成为平 面,有的凹进而有的凸出,这种现象称为翘曲。 M 如果扭转时轴向位移不受任何约 M 束,截面可自由翘曲,称为自由扭转 18 或圣维南扭转(纯扭转)。
t t

自由扭转时,各截面的翘曲变形相同,纵向纤维保 持直线且长度不变,截面上只有剪应力,无纵向正应力。 如果由于支承情况或外力作用 方式使构件扭转时截面的翘曲受到 约束,称约束扭转(弯曲扭转)。 x z Mz 约束扭转时,构件产生弯曲变形,y 截面上将产生纵向正应力,称翘曲正应力。由此伴生的 弯曲剪应力,称为翘曲剪应力。 ① 开口薄壁构件的自由扭转 自由扭转时截面上的剪力流沿壁厚方向线性变化, 在壁厚中部剪应力为 ?1 tw 零,在两壁面处达最 tw 大值τ1 ,方向与壁 19 厚中心线平行。

根据弹性力学理论,作用在构件上的自由扭矩Mt为: 式中: Mt :作用扭矩; G :剪切模量; φ:截面的扭转角; υ' :单位长度的扭转角,即扭转率; It :截面的抗扭惯性矩,又称扭转常数。 当截面由几个狭长矩形板组成时, It由下式计算:

M t ? G It ? ?

式中:bi 、ti :任意矩形板的宽度和厚度; k:考虑热轧型钢在板件交接处凸出部分 的有利影响,其值由试验确定。 角形截面k=1.0; 槽形截面k=1.12; 20 工字形截面k=1.25; T形截面k=1.25。

k n 3 ? bi t i It ? 3 i ?1

M tt ? Gt?? 最大剪应力为: τ t ? It

t ?t
o ? Mt ds

② 闭口薄壁构件的自由扭转 剪力流的分布如图,沿构件截面成封 闭状,沿壁厚均匀分布,方向与截面中心 线相切。 τt 为常数。 总扭转力矩为:

Mt ? ? ρτ t ds ? τ t ? ρds

?

ρ 为剪切中心至微元段ds的中心线的距离, ρds 为截面中心线所围面积A的2倍

则:

M t ? 2τ t A

M t 或: τ ? 2At

21 经计算,闭口截面的抗扭能力较开口截面大的多。

③ 开口薄壁截面构件的约束扭转 悬臂端截面可自由翘曲,而固 定端截面完全不能翘曲,中间 x z y 各截面受到不同程度的约束。 Mz 截面翘曲剪应力形成翘曲扭矩,再加上自由扭转产生 的扭矩,与外扭转相平衡。 即约束扭转平衡微分方程:

MT ? Mt ? Mω ? G It ? ?- E Iω? ???
h 工字形截面: Iω ? I1 ? 2
2

该式适用于各种截面形式,不同截面 Iω不同。 Iω :称为翘曲惯性矩(扇性惯性矩或翘曲常数)

式中: I1 :一个翼缘对腹板轴的惯性矩。

22

3. 轴压柱的扭转屈曲 当构件截面抗扭刚度(GIt)不足时,轴压杆除可能 发生绕两主轴的弯曲屈曲外,还可能发生扭转屈曲。 一般轴压杆很难发生单纯的扭转屈曲,双轴对称截 面易发生,特别是十字形截面。 (前面要求十字形截面λx≥5.07b/t,λy≥5.07b/t , 目的是防止扭转屈曲。) 临界状态:当荷载达到临界力时,构件由直杆平衡 状态转变为绕纵轴微扭的平衡状态,这 时杆件截面的抗扭矩与外力扭矩平衡。 列出扭转微分方程,求解出扭转屈曲临界力。 在轴心压杆扭转屈曲的计算中,可采用扭转屈曲临 23 界力与欧拉力相等的条件得到换算长细比λz 。

λz :扭转屈曲的换算长细比

λz ?

2 A i0 Iω 2 ? I t 25.7 lω
2 2 ? ? i ix iy 2 0

式中:i0:截面对剪心的极回转半径 双轴对称截面:

2 A i0 ? Ix ? I y 2 2 2 单轴对称截面: i 0 ? e0 ? i2 ? iy x

e0 :截面形心至剪切中心的距离 lω:扭转屈曲的计算长度, 两端铰接端部截面可自由翘曲 l ω ? l 两端嵌固端部截面受到完全约束 l ω ? 0.5l 24 知λz后就可据弯曲屈曲的柱子曲线获得φ值

三. 弯扭屈曲 单轴对称截面受轴心压力N,作用于截面形心。 绕 x 轴弯曲时,产生水平剪力Vy,通 Vy 过剪切中心 S,仅产生弯曲,不会扭转。 Vx C x 绕 y 轴弯曲时,产生水平剪力Vx,通 S y 过形心 C,而不通过剪切中心 S ,由此形 成一个扭矩 Vx a,弯曲的同时伴有扭转,称为弯扭屈曲。 由此看出剪切中心与形心不重合,易发生弯扭屈曲, 即单轴对称截面易发生弯扭屈曲。 列出弯扭屈曲微分方程,可求出弯扭屈曲的临界力, 计算过程复杂。 ? 规范? 将完全弹性的弯扭屈曲临界力与欧拉临界力 相比较,得到换算长细比λyz。 25 λyz:计及扭转效应的换算长细比。
a

知λyz后就可据弯曲屈曲的柱子曲线获得φ值。
1 ? λ yz 2 2 ? 2 2 ? 2 e 0 2 2 2 2 ?(λ y ? λ z ) ? (λ y ? λ z ) ? 4(1? 2 ) λ y λ z ? i0 ? ? ? ?
1 2

2 A i0 式中: λ z ? Iω 2 ? I t 25 ? 7 lω

对于单角钢及轧制或焊接T形截面,工程中认为 Iω=0; 由双角钢组成的T形截面也可近似认为 Iω=0。
则λz 简化为: λ z ? 5.07 i 0
2 0

A

2 2 2 ? ? ? i e0 i x i y

It
26

λy:构件对对称轴的长细比

对单角钢截面和双角钢组合T形截面λyz简化为: ① 等边单角钢截面 4 0.85 b b l oy 当 ? 0.54 时, λ yz ? λ y (1 ? 2 2 ) y t b l oy t
2 2 b b l oy 时, ? 4.78 (1 ? l oy t ) 当 ? 0.54 λ yz 4 t 13.5 t b b 式中:b、t 分别为角钢肢的宽度和厚度 ② 等边双角钢截面 b 0.475 b4 l oy 当 ? 0.58 时,λ yz ? λ y (1 ? 2 2 ) t b l oy t
2 2 b l oy t b l oy ) 当 ? 0.58 时,λ yz ? 3.9 (1 ? 4 t 18.6 b t b

y
27

③ 长肢相并的不等边双角钢截面

l 当 b2 ? 0.48 oy 时, λ yz ? λ y (1 ? t b2

1.09 b4 2 l t
2 2 oy

)

l t b2 b2 l oy ) 当 时,λ yz ? 5.1 (1 ? ? 0.48 4 t 17.4 b2 t b2 式中: b1、b2分别为不等边角钢长肢、短肢宽度。 ④ 短肢相并的不等边双角钢截面

2 2 oy

y

当 b1 ? 0.56 l oy 时, λ yz ? λ y

t

b1

y
2 2 oy

l t b1 b1 l oy 时, ) λ yz ? 3.7 (1 ? 当 ? 0.56 4 t 52.7 b1 t b1 以上每种情况中,前式适用时,弯曲是主导变形; 28 后式适用时,扭转是主导变形。

总结上面看出: 绕非对称主轴失稳时,是弯曲屈曲; 绕对称主轴失稳时,可能弯扭屈曲。 单轴对称的轴心压杆在绕非对称主轴以外的任一轴失 稳时,应按照弯扭屈曲计算其稳定性(参见钢结构稳定理 b 论)。 计算单角钢绕平行于一个边的轴屈曲时 u (这时截面属于b类),是又弯又扭。 换算长细比为: 4 0.25 b b l ou ? (1 ? ) 时, 当 λ uz λ u ? 0.69 2 2 t b l ou t b b l ou ? 0.69 当 时,λ uz ? 5.4 t b t 注意:无任何对称轴且又非极对称的的截面(单面连接的 不等边角钢除外),不宜用作轴心受压构件。 29

§4.4 实腹式轴心受压构件的整体稳定 上节介绍的轴压杆的弯曲屈曲是针对理想直杆并承 受绝对沿轴心的压力。 实际构件恒存在一些缺陷,如构件的初始缺陷、荷 载的初始偏心、构件的残余应力等均会降低构件的稳定 承载力。 一. 荷载初偏心和构件初弯曲的影响 z 初弯曲: z
N

N
M=Ny y0

EIy?? ? N y ? 0
y y 无初弯曲

由于有初弯 M=N(y0+y) 曲,跨 中弯矩增 y 30 ) 大,承载力降低。 有初弯曲

y

EIy?? ? N(y ? y0 ) ? 0

初偏心: e0 N z z EIy?? ? N (y ? e0 ) ? 0 方程为: N 无偏心时: EIy?? ? Ny ? 0 N 显然,有偏心时,临界力降低。 ? EIy?? 或者,将弯曲轴线延长到和荷 y y 载作用线相交,长 l 的偏压杆变成 N 长 l0 的轴压杆,临界力降低。 初弯曲和初偏心的影响可归纳为三点: ① 压力一开始作用,杆件就产生挠曲,荷载↑?挠度↑ 当荷载?临界荷载后,挠度无限增大。 ② 初挠度y0和初偏心 e0 越大,在相同的压力作用下,杆 件的挠度越大。 31 ③ 不论 y0 、e0多么小,Ncr永远小于NE 。
l0

l

N/NE 1.0
y0=0 y0=0.1 y0=0.3
f
l 2

N/NE 1.0
e0=0 e0=0.1 e0=0.3
f

材料是无限弹性体 即: σ
ε
l 2

实际材料并非无限弹性体,弯矩作用下, N M 边缘纤维屈服,进入弹塑性,承载力下降。 二. 残余应力的影响 焊接后 轧制后,冷却不均匀 产生残余应力的原因 火焰切割后 冷校正后 残余应力本身自相平衡,内应力包括相等的受拉和 受压两部分 ,因而对构件的强度承载力并无影响。 32

残余应力对稳定承载力是有影响的。 残余压应力和外压力叠加后,将提 前进入塑性,而残余拉应力和外压力叠 加后,仍保持弹性工作。 b 达临界状态时,截面由弹性模量不 kb x 同的两部分组成,屈服区弹性模量E=0, 而弹性区的模量不变。只有弹性区才能 继续有效承载,相当于截面缩小了,稳 定承载力自然降低。 2 2 E I π EI π Ie m ? ? 此时,临界力为: Ncr ? 2 2 式中: Ie :有效截面惯性矩 m= Ie/I :截面抗弯刚度降低系数 E π ? m 相应的临界应力:σ λ
2 cr 2

l

I

l

fy
33

σ c=0.3fy

h

t

一般来说,残余应力对构件稳定的 不利影响对弱轴要比强轴严重。 证明: 如图,焊接工字形截面,将残余应 力理想化直线分布,简化分析忽略 腹板,外力作用下,四角出现塑性 区,中部kb区为弹性,即有效截面。 对 y 轴(弱轴)屈曲时: 3 2 E Iy 3 2 ? t ? 12 (kb) π I e 3 m? ? ? k Ncry ? 2 k 3 l I 2 ? t b ?12 对 x 轴(强轴)屈曲时:
2 ? t ? (kb) h 4 ?k m ? Ie ? 2 I h 2? t ? b? 4
2

b
σ c=0.3fy
fy
34

kb

x

y

Ncrx

2 π E Ix ? k 2 l

因 k<1,故不利影响对弱轴要比强轴严重

h

t

对工字形截面另一种残余应力分布再来证明: y 对 y 轴(弱轴)屈曲时: 2 π E I e 2 3 m ? ? 3k ? 3 k ? k σcry ? 2 m λy I b-kb 对 x 轴(强轴)屈曲时: 2 E π I e m? ?k σcrx ? 2 m λx I

表明:残余应力对临界应力的影响随截面残余应力 分布的不同而不同,对不同截面和不同轴也不同。 钢材的弹塑性区是残余应力引起的,构件非弹性屈

π E Et ? 曲时的临界应力公式为: σcr ? 2 E λ

2

E π 考虑残余应力时的临界应力公式为:σcr ? m35 2 λ

2

若 m ? E t E ,则切线模量理论包含了残余应力的影响; 若m ? E t E ,则切线模量理论没包含残余应力的影响。 所以切线模量理论并没有包含全部残余应力的影响。 三. 设计规范对轴心受压构件稳定的计算 前面学过有初弯曲的荷载-挠度曲线图,如图。 若构件存在残余应力, 承载力下 N/NE y0=0 降,极值点为C1,对应的荷载 N即为 1.0 y0=0.1 临界荷载。 C 有残余应力 由此模型建立的计算理论称极限 f l2 承载力理论(最大强度理论)。 以有初始缺陷的压杆为依据,考虑截面 最大强度准则: N M 塑性发展,以构件最后破坏时所能达到 36 的最大压力值作为压杆的极限承载力。
1

理想轴压构件计算并不复杂,如图。 σ cr Eτ ?π σ 实际轴压构件受初始缺陷的影响, λ fp E π ? σ 且影响程度还因截面形状、尺寸和屈曲 λ 方向而异。故每个实际构件都有各自的 λ E π 柱子曲线。 f 实际构件在弹塑性阶段,不同截面或同一截面上的不 同点,σ~ε关系各异,按最大强度理论计算复杂,一般 采用数值法通过计算机求解。 ? 规范? 考虑了截面的不同形式和尺寸,不同的加工 条件及相应的残余应力图式,不同的弯曲屈曲方向,并考 虑了1/1000杆长的初弯曲,忽略了荷载的初偏心(因初弯 曲初偏心的影响类似,只考虑一个缺陷来模拟两个缺陷都 37 存在的影响),采用最大强度理论确定构件的临界应力。
2 cr 2
2 cr 2

p

得设计公式: N σcr fy σ? ? ? 即: N ? ? A f ? ? f A γR fy 式中:A :构件的毛截面面积; γR :材料的抗力分项系数; σcr/γR :应力标准值除以材料抗力分项系数为应 力设计值; fy /γR :材料强度标准值除以材料抗力分项系数 为材料强度设计值; σ cr f y ? ? :为轴心受压构件的整体稳定系数。 φ与钢号、构件的长细比、构件的截面型式有关。 前面讲过:每个实际构件都有各自的柱子曲线,即 σcr~λ曲线,那么每个实际构件都存在φ~λ曲线。 38

? 规范?对各种截面型式、不同的加工方法,及残余 应力图式,经计算,得到多条φ~λ曲线,并考虑板件厚 度,归纳出a 、b 、 c 、d 四类截面型式的φ~λ曲线,供 计算时选用。 也可直接查表。
a曲线 b曲线 除a、c、d以外的其他截面情况 c曲线
y y y

φ
1.0

轧制,b/h≤0.8,对强轴 轧制,对两主轴

焊接,轧制边,对y轴
y

焊接,板件宽厚比≤20,对两主轴 0.8

b c d

a

焊接,轧制边,对两主轴 焊接,轧制边,t≥40,对强轴 轧制,40<t≤80,对弱轴,b/h>0.8 轧制,t≥80,对强轴,b/h>0.8

0.6

0.4 d曲线 0.2 焊接:t≥40,轧制边,对弱轴 轧制:t≥80,b/h>0.8,对弱轴 O 40 80 120 160 200

39

λ

为了方便计算机应用,将φ拟合成数学公式,

引入正则化长细比

λn ? λ λ y

式中:λy:临界应力为屈服点时的长细比

λy ? π E f y
λ 当 λn ? π fy E ? 0.215 时(相当于 λ ? 20 235 f y )

1 ? 2 ?? ( ? ? )? α 2 ? α2 λ n 3 λn 2 λn ?

(α ?α λ ? λ )
2 3 n

2 2 n

2? ? 4 λn ? ?

λ 当 λn ? π

fy

235 ? 0.215 时(相当于 λ ? 20 ) fy E

? ? 1 ? α1 λ2 n

α 、α
1

2

、α3 系数,查表。

40

双轴对称截面有两个主轴,可能绕两个主轴弯曲,

Nx ? ? x Af

N y ? ? y Af

若截面绕两主轴为同类截面时, 如果 λ x ? λ y 则 ? x ? ? y ? Nx ? Ny 若截面绕两主轴为不同类截面时, 即使 λ x ? λ y 而 ? x ? ? y 则 Nx ? N y

故:截面绕两个主轴不属于同一类的截面,等稳定的 条件不再是: λ x ? λ y 而是: ? x ? ? y 双轴对称截面特别是十字形截面还可能发生单纯的扭 转屈曲,需计算扭转屈曲的换算长细比λz 。 单轴对称截面易发生弯扭屈曲,需计算计及扭转效应 41 的换算长细比λyz 。

§4.5 实腹式轴心受压构件的局部稳定 一. 薄板稳定的基本概念 实腹式截面常由薄板组成,板件很薄。 板中应力达某一数值时,板件可能偏 离其平面位置,出现波形鼓曲而失去稳定,这种现象称 为组成截面的局部板件丧失稳定,亦称局部失稳。 热轧型钢的板件厚,不存在局部稳定问题。 局部失稳?局部板件退出工作 ?有效承载截面减小 故板的局部稳定必须保证。 且不对称 ?构件整体破坏。 四边简支板,两对边受压力作用, 此压力作用于板厚度的中面内,N较小 等 时,平面平稳。 高 当N达Ncr时,板处于微弯的弯曲平 线 衡状态,即临界状态。 42

单边受压力的情况 受剪情况 等 高 求解临界力可采用静力法和能量法 线 矩形简支板在各种荷载单独作 用下的临界力通式为: 2 π D (N/mm) N cr ? k 2 b 式中:b:受压时受载边边长,受剪时为短边; D:板的柱面刚度(或称单位宽度抗弯刚度); E t3 D? 12(1 ? ν 2) ν :钢材泊桑比; t :板厚; k :板的屈曲系数,取决于荷载种类、荷载分布 43 及板的边长比

t Ncr π E ?k 相应的临界应力:σcr ? 2 ( ) t 12(1 ? ν ) b Ncr、σcr的公式也适用于三边简支、一边自由的板。 钢构件是由几块板件连接而成,各板之间存在相互 约束作用,两板连接的边,既不简支,又不嵌固,而是 广义的弹性约束边。 考虑相互约束,上述公式应乘以约束系数 ?。 板在弹塑性状态失稳时为双向异性板,受力方 向为 E t ? ηE 2 弹塑性,E降为 ,非受力方向仍是弹性 E。 ηχπ E t 2
Ncr ? σcr ? ?k 2 ( ) t 12(1 ? ν ) b
2 式中:η:弹性模量折减系数 η ? 0.1013 λ (1 ? 0.0248 λ2 f y E) f y44 E

2

2

二. 轴心受压构件的局部稳定 1. 工字形截面 加劲肋 取出一个板段, 翼缘板对腹板 b1 a 有嵌固作用,这是由于翼缘板平面外刚度较大,两端加 劲肋是腹板另一方向的支承,故腹板是四边简支板。 翼缘板的一半属于三边简支,一边自由的板。 a ① 腹板 临界状态时,以横向形成一 个半波时的临界力最低,纵向可形 成若干个半波。此时,板的屈曲系数为:
k ? (m

m:沿荷载作用方向形成的半波数。

b a 2 ? ) a mb

b

45

画出m为不同值时,k与a/b的关系 若a/b=1 当m=1时 若a/b≠1 若a/b=2 当m=2时 若a/b≠2 当m=3时 : :
b a 2 k ? (m ? ) a mb

k=(1+1)? =4 k>4 k=(2×0.5+1/2×2)? =4 k > 4 k m=1 m=2 m=3 m=4
4 a/b 1 2 3 4

a / b > 1时,板挠曲成若干个半波, a / b < 1时,只能挠曲成一个半波,k 能取得大值, 临界力大大提高。 若 a / b < 1,意谓着加劲肋布置很密,不经济。 46 通常 a / b 恒大于1,因而取 kmin=4。

经理论分析与实验验证,翼缘对腹板的嵌固作用, 取 χ ? 1.3 故轴心受压柱腹板的临界应力为:
≥0.75tw

式中:h0:腹板高度; tw:腹板厚度 提高σcr的方法: ≥10t 增加腹板厚度;常用。 减小h0,即沿腹板中央设一道纵向加劲肋;不常采 用,因肋在截面中央,不提高截面刚度。 确定tw的方法是采用等稳定原则,即腹板局部稳定 的临界应力正好等于轴压构件的整体稳定临界应力。 即: σcr ? ? f y 47 由此得到腹板高厚比h0/tw和长细比λ的关系曲线。
w

π η E tw ( ) σcr ? 1.3 ? 4 ? 12(1 ? ν2) h 0

2

2

为便于应用,采用简化的直线式表达:

h 0 t w ? (25 ? 0.5λ) 235 f y
式中:λ:构件对两个主轴方向的最大长细比 当λ< 30时, 取λ=30; 当λ> 100时, 取λ=100 λ小时,由强度控制; λ大时,弹塑性阶段的公式不再适用。 fy :构件所用钢材的屈服点。 注意:如果设计时构件的实际应力σ(=N/A)<φf , 材料没有得到充分利用,即板厚了,将算得的 h0/tw乘以 ? f σ 即可。 b1 ② 翼缘板 屈曲系数 k=0.425 +(b1/a)? 48 b1:翼缘板自由外伸宽度, 故近似取k=0.425

据不低于屈服应力的原则,即: σcr ? f y 得:h 0 t w ? 40 235 f y 此处为了计算方便,没有和长细比发生关系,而将 49 高厚比近似地取为定值(实际就是工字形中的λ=30)

t

h0

腹板对翼缘无嵌固作用,取 χ ? 1.0 2 2 η E t π 临界应力为: σcr ? 0.425 ( ) 2 12(1 ? ν ) b1 根据与柱等稳定的原则,得: b1 t ? (10 ? 0.1λ) 235 f y 当λ< 30时, 取λ=30; 当λ> 100时, 取λ=100 2. 箱形截面 腹板为四边简支板,翼缘对腹板的嵌固 b b b 作用不如工字形,故不考虑翼缘的嵌固作用。 腹板的临界应力: t t
1 0 1

π ηE t w ( ) σcr ? 4 ? 2 12(1 ? ν ) h 0

2

2

w

w

t

翼缘板的中间部分b0为四边简支板, 其外伸部分b1为三边简支、一边自由, 两者均不考虑腹板对翼缘的嵌固作用。
2 η E t π ( ) b0部分: σcr ? 4 ? 2 12(1 ? ν ) b0 2
2 η E t π ( ) b1部分: σcr ? 0.425 2 12(1 ? ν ) b1 2

b1

据不低于屈服应力的原则,得:

b0 t ? 40 235 f y

b1 t ? 13 235 f y

3. T形截面 翼缘的自由外伸部分为三边简支、一边自由的均匀 受压板,腹板不能为其提供约束。故T形截面翼缘同工 50 字形截面翼缘。 即: b1 t ? (10 ? 0.1λ) 235 f y

t

h0

tw

tw

t

b0

b1

腹板为三边简支、一边自由的均匀受压板,腹板受 到翼缘的一定嵌固作用,按等稳定的条件确定高厚比。 热轧剖分T形钢: h 0 t w ? (15 ? 0.2 λ) 235 f y b1 焊接T形钢: h 0 t w ? (13 ? 0.17 λ) 235 f y 焊接T形截面几何缺陷和残余应力都比 热轧T形钢不利,故采用了相对低一些的限值。 4. 圆管截面 根据材料为理想弹塑性体,轴向压力达屈服强度的 条件得出: d t ? 100 (235 f y) 式中:d :钢管外径。 t :钢管壁厚; fy :钢管所用钢材的屈服点。 51 注意:钢管压弯构件的局部稳定也是此条件。
h0

5. 部分腹板不参加受力情况 截面高度大的柱子确定的腹板厚度较大, 不经济。取薄板并在腹板中部设纵向加劲肋, 因h0 减小一半,故临界应力大大提高。 b 若设纵肋也不经济,可取更薄的腹板, 认为腹板不参加受力,任其失稳。仅边缘 b1 ? 20 t w 235 f y 部分参加受载,此板段相当于三边简支、一边自由的 板。考虑翼缘对腹板的嵌固作用,取 b1 t w ? 20 235 f y 但在计算构件的强度和整体稳定性时,要取有效截 面面积,即: σ ? N An ? ? f 由 λ ? l i 求φ时,i 采用全截面面积。 注意: 当 h 0 t w ? 80 235 f y 时, 应采用横向加劲肋加强,其间距不大 52 于3h0 。此为构造要求,非稳定性要求。
1

≤3h0

§4.6 格构式轴心受压构件稳定承载力的计算 轴心受压柱受力较大或柱的长度较大时,宜采用格构 式柱。 x x 双肢柱 y y 常用截面型式 三肢柱 四肢柱 格构式构件由柱肢和缀件组成,通过柱肢腹板的轴为 实轴,通过缀件平面的轴为虚轴。 格构式轴心受压柱整体失稳时,不大可能发生扭转屈 曲和弯扭屈曲,往往发生弯曲屈曲,绕两主轴为b类截面。
2 1 π EI 轴心受压构件的临界力为: Ncr ? 2 ? 2 EI π l 1 ? 2 γ1 53 l

绕实轴屈曲时,因绕实轴弯曲 产生的剪力由柱肢承

担,变形小,剪切应变能小,可忽略。
假定 y 轴是实轴

x

π Eτ σcry ? Ncry 2 Vx λy 故:格构柱绕实轴弯曲时的计算完全同实腹式柱。

π Eτ I y ? 2 l oy

2

2

y

即:

Ny ? ? y A f

x

绕虚轴弯曲时,因绕虚轴弯曲产生的 V y 剪力由缀件承担,剪切变形大,剪切应变 能较大,降低Ncrx,不能忽略剪切应变能。
2

y

1 π EI x ? 改写为: 绕虚轴的临界力 Ncrx ? 2 2 EI x lox π 1? 54 2 γ1 lox

N

crx

?

π (μ l ox)
E Ix

2

2

σcrx

π E ? 2 λ ox
l1
b
l0 l1
55

2

2 π E Ix γ1 式中:μ ? 1 ? 2 l ox λox :绕虚轴的换算长细比

λox ? μ λx

μ:为格构式压杆计算长度放大系数,

μ 取决于体系的单位剪切角γ1,
故与体系所采用的缀件有关。 缀条柱为桁架式杆件体系 缀条: 缀件 缀板柱为多层框架体系 缀板: 知λox后,查φx ,

即可按

Nx ? ? x A f 计算

一. 缀条柱(双肢) 在单位剪力V作用下,每个 缀条面受力V1=1/2。 体系产生相对剪位移△。 单位剪切角 γ1 ? tg γ1 ? Δ l1
?Δ ? Δd cosα

V1=1/2 α

△ △d

l1

横杆不受力,用于减小柱肢在平面内的计算 长度,柱任一截面的剪力由斜缀条的水平分量来平衡。 斜杆内力

Δ d ?γ ? 1 l1 cosα

α V1=1/2

γ

1

x Vy y

σ Δ s d d ? 据虎克定律 Ad:单斜杆截面积 ? l d E E Ad Sd ld l1 ? Δd ? 56 EA d 2EA d sin α cosα

s

d

?

12 cosα

斜杆长度

ld ?

l1 sin α

1 ?γ ? 1 2E Ad sin α cos2 α
将其代入计算长度放大系数公式,有:
2 A E π π Ix ? 1 ? μ ? 1? 2 2 2 λ2 sin α α 2 l ox E Ad sin α cos2 α cos A x d 2

式中:A:两个柱肢的毛截面面积 取:2Ad=A1 A1:一个节间内两侧斜缀条毛截面面积之和 通常?=20°~ 50°,
μ? 1 ? 27 A A1 λ x
2

π2 ? 27 2 sin α cos ?

故:双肢缀条柱对虚轴的换算长细比为:

λox ? μ λx ?

λ ? 27
2 x

A A1

57

π E 由λox ?φx? Nx=φxA f 或 ? A Nx 2 x 1 规范? 规定:单肢长细比 λox 单肢稳定:如图, ? λ1 ? l1 i1 小于等于两主轴方向中最大长细比 y λmax的0.7倍时, 即 λ1 ? 0.7 λ max ? 0.7max ?λox ,λ y? 时, 1 单肢不会先于柱整体失稳,不必验算单肢稳定。 否则,按实腹式截面验算单肢稳定,若单肢为单轴 对称截面(如槽形),不必考虑绕对称轴的扭转效应, 直接用λy 查出φy 。 ? 而不是 λ1 ? λmax ? 提问:为什么 λ1 ? 0.7λmax N 由两柱肢平均分担, λ大 ?φ小 ? N小 ?N/2小 现 λ1 ? 0.7λmax,则单肢能承受的力 N1>N/2 较多, 若λ1< λmax较少, 则 N1> N/2 较少。 若同时考虑缺陷,可能使一个单肢的受力大于另一 个单肢,无缺陷的单肢受力很大,易破坏。 58
2

思考题:为什么不验算绕 y 轴的单肢稳定? 因λy1=λy ,若柱绕 y 轴稳定满足,单肢必然满足。 二. 缀板柱(双肢) 通常缀板刚度相同且等距离布置,当柱子达临界状 △1 △2 态绕虚轴整体弯曲时,它的所有 1/2 杆件都按 S 形弯曲,力矩零点在 1/2 γ 1 缀板中点及柱肢上两缀板间的中 θ1 A B 点,在力矩零点只作用着杆件弯 曲而产生的剪力。 x 1 1/2 1/2 在单位剪力V=1作用下, y 每个柱肢受力为1/2。 1 a 每个柱肢的变形由两部分组成,一是缀 两柱肢轴 板弯曲变形引起的分肢变形△1,一是单肢本 线间距离 59 身弯曲变形时的变形△2 。
l1/2 l1/2

缀板与柱肢刚接 Δ1 ? l1 2 ? θ1 对缀板来讲,固接点A、B点的固端弯矩为:

MAB ? MBA ? 1 2 ? l1 2 ? 2 ? l1 2
M AB ? M BA ? θ1 3 ib 6 ib

△1 △2 1/2
1

1/2 γ θ
1

i

E Ib ? ib a A b为同一截面缀板线刚度之和, a l1 1 2 ? l1 1 2 ? l1 ? ? θ1 ? E Ib E 12E I b 3 6 Ib
a a

B
l1/2
60

1/2

1/2

2 a l1 ? Δ1 ? 24E I b 3 3 3 1 2 ? ( l 2 ) 1 P x l 1 P ?y ? ? ? Δ2 ? 3EI 3E I1 48E I1

2 ? a Δ l1 l1 1 Δ2 ? ? 单位剪切角 γ1 ? 12E I b 24E I1 0.5 l1

I :为单肢绕本身1—1轴的惯性矩
1

l1/2

2 2 2 a E I l K1 ) l1 l l I 1 1 1 1 1 ? (1 ? 2 ? (1 ? 2 )? (1 ? 2 ) 24E I1 E I b a 24E I1 Kb Ib l1 24E I1

式中:K1 ? EI1 l1 为一个单肢的线刚度 Kb ? E I b a 为两侧缀板线刚度之和 1 3 Ib ? 2 ? t b 12 将γ1代入计算长度放大系数公式中,得:
2 2 2 2 E I π x l1 K 1 π l i 1 xA μ ? 1? 2 ? (1 ? 2 ) ? 1 ? ? ? 2 (1 ? 2 K1 ) 24E I1 24 I1 l ox l ox Kb Kb 2

? A1 ? 0.5A

l ox
2

i x ? λx
2

2 2 2 ? ? l A1 I1 l1 i1 λ1 2 1

π K1 ) ? μ ? 1 ? ? λ1 (1 ? 2 12 λ2 Kb x
2

π 2 K1 ) 2 ? μ ? ? (1 ? 2 λox λx λx λ1 12 Kb ? 规范? 规定:若缀板线刚度之和大于6倍单肢线刚度,

(*)

即取:

Kb K1 ? 6

b

61

则:

μ?

1 ? λ1 2 λx
2

2

若某些特殊情况下,无法满足 Kb K1 ? 6要求,则 应按 (*)式计算。 注意:在缀板宽度 b 范围内,柱肢无法变形, 故实际应用时,取 λ1 ? l 0 i1, 而非理论 λ1 ? l1 i1。 若缀板与柱肢焊接, l0 =缀板间净距 l0取值 若缀板与柱肢螺接, l0 =两缀板边缘螺栓间的 距离。 单肢稳定: λ1 ? l 0 i1 ? 0.5 λmax 且: λ1 ? 40 若λmax< 50, 取λmax=50 λ1 ? 0.5λ max ,除考虑单肢压力不等外,还考虑承受 62 剪力引起的局部弯矩。
b

λox ?

λx ? λ1

2

后面构造满足 Kb K1 ? 6 要求

l0 l1

三. 缀件计算 1. 剪力值的确定 柱绕实轴弯曲时,轴心力因挠度而引起弯 矩,从而产生横向剪力,由柱肢承担;柱绕虚 轴压杆在临界荷载作用下处于弯曲平衡的 临界状态。 设杆挠曲线为: y ? ? 0 sin( πz l )
l

z N

轴发生弯曲时,产生的剪力将由缀件体系承担。

y
x

y h

π? 0 dM πz V? ?N cos dz l l 剪力沿构件高度的分布如图所示。

M ? Ny ? N? 0sin( πz l )

v

0

:最大挠度,未知

Vmax
63

在 z=0,z=l 时,V最大, π? 0 Vmax ? N l 据边缘纤维屈服条件确定 0 N? 0 N σmax ? A ? Ix (h 2) ? f

z N

x

y h

v

l
y
y

N

σ
M

N

? Ix ? A i

2 x

M σ

且常用双槽钢截面 ix ? 0.44 h 即: h ? 2.27 i x N? 0 f y N ? ? ?1 2 A f y A i x 1.135 ix 1.135?? 0 ?1 即: ? ? ix 64 解得:? 0 ? 0.88 ix (1 ? ? 1)

i x ? 0.88π N (1 ? ? ) ? Vmax ? 0.88π N ? l λx ? N λx 令: K ? 则: V max ? K? 0.88π (1 ? ? ) 经分析:在常用的长细比范围内,K与λx关系不大, 近似由λox查 b 类截面得φ,算出K值。 N ?Af Af 对Q235钢,K=85, 得: Vmax ? K? ? 85? ? 85 1??

对Q345钢,K=70,写成:85 235 f y ? 85 235 345 ? 70.2
85 235 f y ? 85 235 390 ? 66 对Q390钢,K=65,写成: 85 235 f y ? 85 235 420 ? 63 对Q420钢,K=62,写成:
Af f 235

写成统一设计公式:

V

max

?

y

式中: f y 235 :不同钢号的强度换算系数 ; 65 f :所用钢材的强度设计值。

85

由前面知,实际剪力为余弦曲线分布。 实用上,此剪力值可认为沿构件全长 V 不变,并由承受该剪力的缀件面分担。 注意:前面推证时是针对双肢槽形截面, 对其它截面形式也适用。 2. 缀条计算 α 每个缀条平面内的剪力为: V1 ? Vmax 2 横缀条不受力,主要用来减小柱肢在平面 内的计算长度,一般采用和斜缀条相同的截面。 斜缀条所受的力为: Nt ? V1 cosα 柱绕虚轴弯曲时,弯曲可左可右,即缀条可受拉或 受压,按轴压杆计算 σ ? Nt At ? ? f 66 当λ< 20时,取λ=20 据 λ ? l t i1 查φ
max

式中: lt :斜缀条计算长度,认为两端铰接; i1:单角钢的最小回转半径; 1~1 f :强度设计值, 单面连接的单角钢实际是偏心受力,即使按轴压杆 计算,也可能发生弯扭屈曲。 ?规范?规定单面连接的单角钢按轴心受压 计算时,不计扭转效应,但需考虑折减系数。 所以 f 需乘以折减系数γR考虑偏心的不利影响。 等边角钢:0.6 ? 0.0015λ f y 235 ? 1.0 γR 短边连柱的不等边角钢: 0.5 ? 0.0025λ f y 235 ? 1.0 长边连柱的不等边角钢: 0.7 单面连接的单角钢按轴心受力构件计算强度和连接 时,强度设计值应乘以折减系数 0.85,以考虑偏心影响。 67 斜杆和横杆应满足刚度要求,即:λ ? ?λ? ? 150

3.

对O点取矩,得:T ? V1 l1 a 缀板与柱肢相连处受力为:

V ?V
1

max

2

V1/2 a/2

T ? V1 l1 a

缀板和柱相连,搭接长度一般(20~30)mm,不 能考虑按扭矩计算,按受剪(T)和受弯(M)计算。 T、M较小,不必计算缀板本身强度。 缀板尺寸按构造选取,当柱截面的高和宽大致相等, 且 λ ? λ 时,取缀板宽 b≥(2/3 )a 厚t≥a/40及 6 mm, 68 可满足前述的 Kb K1 ? 6 要求。
y ox

M ? T ? a 2 ? V1 l1 2

绕角部分

b
20~30

l1/2

缀板计算 取出一个单元,如图: 每一缀板面受剪力:

V1

x
O

V1/2
l1/2

V1

y

T

4. 横膈 为保证柱在吊装和运输过程中,因碰撞而不致使截面 歪扭变形,需设置横膈,以提高截面刚度。 横缀条 膈板 横缀条 横膈 角钢 膈材
横隔

钢板横隔

沿柱身每隔8m或柱截面较大宽度的 九倍处; 横膈设置位置 柱身受较大水平集中力处。 每个运输单元不得少于两个。 69 实腹柱也需要按此设置横膈。

四. 1. ① ② ③ 2. ① ② ③ ④ 3. 4.

格构柱的设计步骤 按对实轴的稳定性要求选定单肢截面 N 假定λy ,查φy , 得 i yr ? l oy λ y Ar ? ; ?y f 按 Ar / 2 和 iyr 选定单肢截面; 按所选实际截面验算绕实轴的整体稳定性和刚度; 确定单肢间距并验算绕虚轴的整体稳定性和刚度 据等稳定条件λox=λy ,确定λx; (对缀条柱先假定A1,对缀板柱先假定λ1 ) 由λx求 i xr ? l ox λ x ; 由回转半径与截面高度的近似关系,求出柱肢间距 h(选10mm的倍数,另外柱肢净距100~150mm) 按实选 h 验算绕虚轴的整体稳定性和刚度; 单肢稳定和缀材及连接计算; 70 强度计算(螺栓连接情况)。

§4.7 轴心受压柱的柱头、柱脚 上部荷载传给柱,需要柱头,柱将荷载传给基础,需 要柱脚。 构造设计 柱头、柱脚的设计包括 传力过程分析 各部分与连接的计算 设计准则:传力明确、简捷、安全可靠、经济合理 、 有足够的刚度而构造又不复杂。 一. 柱头 梁支承于柱侧 铰接 梁支承于柱顶 梁柱连接分 刚接

梁与轴压柱的连接只能是铰接,若为刚接,则柱将 71 承受较大弯矩成为偏心受压柱。

1. 实腹式柱头 ① 构造设计 为了放梁,柱顶设一块顶板, bl 保证轴心受压,梁端突缘应压在柱顶 ① ② 板中部,防止顶板挠度过大,应提高 顶板抗弯刚度,不应采取提高顶板厚 度的办法,应在顶板上设垫板,在顶 板下设加劲肋撑住顶板。 由顶板、垫板、加劲肋组成柱头, 1-1 垫板和顶板、顶板和柱身用构造焊缝 围焊相连。 用四个粗制螺栓固定梁在柱头上的位置,螺栓可在 柱身内和也可在柱身外,d=16~20mm。 72 顶板厚≥14mm。
1 1

b

hl

② 传力过程分析
垫板顶 垫板底 垫板 顶板 N 面承压 面承压 加劲肋顶面承压 竖向角 加劲肋 柱身 或水平角焊缝① 焊缝②
bl


③ 计算 按传力过程的顺序进行。 设计梁时,梁端突缘做过承压计算, 垫板、顶板面积大于突缘面积,故不必计算。 N 通过承压传给加劲肋时,肋顶承压强度为: σ ? N 2 bl tl ? f ce fce:端面承压设计强度

加劲肋宽 bl 参照柱子确定, bl可超出翼缘,但不宜 过多,进而确定了顶板宽 b ? 2 bl ? t w tw:柱腹板厚。 73 然后确定加劲肋厚度 tl ,且 t l ? bl 13 及 t l ? 10mm

b

hl



顶板长度取决柱截面高度,并考虑梁柱连接螺栓位置。 N通过焊缝传给加劲肋时,构造确定 bl ,稳定确定 tl ,按正面焊缝确定焊脚尺寸hf1。 加劲肋属于悬臂状态工作,每 块肋根部受N/2的剪力和 1/4 bl N的 bl ① ② 弯矩, 计算肋本身的抗剪、抗弯强 度以确定加劲肋高度 hl 。 角焊缝②受向下的剪力N/2和弯矩1/4 bl N 。 提问:若外力大,角焊缝②过长,怎么办??? 可将加劲肋做成双悬臂梁,即将柱腹板开槽,如图。 tl+2 不改变加劲肋受力状态,改 变了焊缝②受力状态,此时,焊 tw+2 74 缝②不受弯矩。
hl

hl+2

2. 格构式柱头 ① 构造设计 由垫板、顶板、柱端加劲肋、 两块柱端缀板组成。 ② 传力过程分析
垫板顶 垫板底 N 面承压 垫板 面承压 顶板 加劲肋顶面承压 柱端加劲肋 或水平角焊缝①
③ ①

竖向角 焊缝②

竖向角 柱端缀板 焊缝③ 柱身

③ 计算 N ? f ce N通过承压传给加劲肋: 端面承压 σ ?
确定加劲肋厚度tl :t l 且要满足稳定要求 t l ? a 40 及 t l ? 10mm
N ? a f ce

a tl

a
75



N通过焊缝传给加劲肋时, 焊缝①计算同实腹式,焊缝相当于 正面焊缝,通过稳定要求确定肋厚 tl 。 加劲肋: 近似简支梁,承受均布线荷载q=N/a, ③ 计算肋抗剪、抗弯强度以确定加劲肋高hl 。 ② ① 加劲肋的支反力 N/2 由角焊缝②承 担,角焊缝②相当于侧面焊缝受剪。 缀板: 跨中受 N/2 集中力的简支梁,柱端缀板高=加劲肋 高度 hl 。 假定缀板厚度为t1,且要满足稳定要求: t1≥h1/40 且 t1≥ 10mm。 h1:缀板长,非缀板高。 按简支梁验算缀板强度。 76 焊缝③相当于侧面焊缝受力,受力N/4。
a

10~20 3. 其它梁柱铰接情况 适用于压力不大 梁端压力分布不均, 的情况,多用于型钢梁与柱的连接。 梁端加劲肋与柱翼缘对齐,若在梁下 设垫块,使传力更加明确。 10~20 在上翼缘附近用小 角钢和柱连接起来,目 的防止梁侧移,适用梁 端压力较小情况。 压力三角形分布。 适用梁端压力较大情况。 承托较突缘板厚(10~12)mm, 一般采用(∟25~∟40)的角钢。 77 承托宽度比突缘宽度大10 mm。

二. 柱脚 轴心受压柱的柱脚设计成铰接。 ① 构造设计 混凝土的抗压强度低,在柱下设面 积较大的底板把荷载分布到较大面积的 混凝土上,柱四周底板悬臂,受力较大, 设靴梁加强底板。 ② ① 设锚栓固定柱子。 各构件焊接连接,靴梁和柱之间, 2d b1 只考虑外侧四条角焊缝,柱身槽钢内侧 L 和靴梁间的焊缝为构造焊缝。 柱身和底板之间用构造焊缝相连。 柱身内部靴梁和底板间的焊缝为构造焊缝。 柱脚由底板、靴梁、锚栓组成,锚栓的作用仅是固定 78 柱脚的位置。
B

c t a

t c



传力过程分析
混凝土 竖向角 水平角 N 焊缝① 靴梁 焊缝② 底板 抗压 混凝土基础



计算 底板尺寸的确定: 假定基础均匀受压, N N ? 基础反力为: σc BL ? a1 ? f c σc ? BL ? f c 或: 即: BL ? N f c ② ① 式中:fc:混凝土抗压强度; a1:放锚栓切去的面积,可不考虑。 2d b1 B:按构造要求确定,B ? a ? 2t ? 2c L 式中:a:柱截面宽度; t: 靴梁厚度,通常(10~14)mm。 c:悬臂部分宽度c=(3~4)d锚栓,d=20~24
B

? L ? ( N f c ? a1) B

79

c t a

t c

底板厚度由其抗弯强度确定: 底板受混凝土基础向上的均布反力作用, ② ① 柱身和靴梁是它的支承边,这就形成 了四边支承板、三边支承板、悬臂板。 2d b1 L N 底板受到的反力为: q ? BL ? a 1 悬臂板: 取单位板宽,根部所受弯矩为: M1 ? 1 2 q c2 1 三边支承板: 取单位板宽,跨中弯矩 8 q a 2。 第三支承边降低跨中弯矩,如图: a 1 2 q a b1越小,影响越大,M越小于 8 。 M3=βq a? 式中:a:自由边的长度; β:系数,据板的边长比例查表。 1/8qa? 当 b1>a 时,可加设隔板将b1分成两部分。 80
B

b1

c t a

t c

σ?

1

合理的设计应当是M1、M3、M4尽可能接近。

t

四边支承板: M4=αq a? 式中:a:短边的长度; α:系数,据长边 b 和短边 a 之比查表。 1/8qa? 表示另两支承边对弯矩的影响,b 越大,影响 1 2 q a 越小,M4越接近于 8 。 当b=4a时,影响为零,变成单向板受力。 求得M1、M3、M4后,取其最大值为Mmax,确 定底板厚度: t1 ? 6 Mmax f t1=(20~40)mm,且 t 1≦14mm 公式来源: 取1mm宽的板条
M max ? f 1 6 ? 1? t 2

a

81

b

角焊缝①: 相当于侧面焊缝受力,构造选hf , ② ① 计算出 lw ,即确定了靴梁高度 hl 。 靴梁强度: 2d b1 L 靴梁可近似认为是支承在焊缝① 上的双悬臂梁,验算支承点处的抗剪、 抗弯强度。 支座处剪力:V=q(B/2)b1 , 弯矩:M=(1/2)Vb1 或者: 把底板视作悬臂梁的一部分,按双腹板的槽 形截面进行强度计算, 弯矩:M=1/2qBb1? t 剪力:V=qBb1 2 2 B t 近似取抵抗矩 W ? t1 ? 2 ? hl 6 6 82 B 剪力仍由靴梁承受。
t1 hl
B

c t a t c

角焊缝②: 相当于正面焊缝受力。 锚栓设置: 应放在垂直于主梁轴线的位置,这样不承受弯矩, 保证铰接。 在底板上开缺口,不开圆孔,便于柱子安装定位。 柱脚处的剪力由底板和基础间的摩擦力平衡。 若采用压型钢板等轻质材料时,轴心压力值较小, 此时再用摩擦力传递水平剪力就不能满足要求了,这时 应验算底板下的摩擦力。 摩擦系数取0.4,验算是否满足 V ? 0.4N 若V>0.4N,不满足要求,应在柱脚底板 下设置抗剪键。 83 抗剪键可用方钢、T形钢或H形钢做成。

第 四 章 小 结 轴心 承载力极限状态:σ ? N A ? f σ ? N(N?) An ? f 受拉 正常使用极限状态:λ ? ?λ? 强度 σ ? N(N?) An ? f σ?N A? f 变形限制 λ ? ?λ? a、b、c、d四类截面 σ ? N A ?? f 扭转屈曲的换算长细比λz 实 整体 计及扭转效应的换算长细比λyz 腹 稳定 等稳定条件: λx ? λy 、 ? ? ?(不同类截面) 式 初弯曲 ? 规范? 如何 影响整体稳定因素:初偏心 考虑的? 残余应力 轴心 局部 工字形截面 根据? 高厚比 2 2 受压 ηχπ E t 稳定 σcr ? k 箱形截面 2 ( ) 12(1 ? ν ) b 宽厚比 格构式 T形截面 84 柱头、柱脚
x y

绕实轴: 同实腹式
2 2 ox x 1

A1、λ1的假定
2 λox ? λ x ? 27 A A1

整体稳定 绕虚轴: 同实腹式 应用条件 λ ? λ ?λ N A ?? f 缀条柱 λ1 ? 0.7λmax 且 λ1 ? 40 ? ? 0.5 缀板柱 l i λ λ 1 max 0 1 单肢稳定 格 构 式 缀件计算
V
max

如何取值

否则单肢稳定验算,不计扭转效应 σ ? Nt Ad ? γ? f 折减系数取值 缀条 强度与连接计算,折减系数0.85 λ ? ?λ? ? 150 缀板
Vmax/4 O T

?

Af

f y 235 85

如何满足 Kb K1 ? 6 要求?

Vmax/4

构造分析 画图 柱头、柱脚 传力过程分析 计算

85

思考题 1. 轴心受压柱会发生哪三种失稳形式?如何判断发生哪 种失稳形式?常用截面的失稳形式? 2. 实腹式组合截面轴心受压柱保证了整体稳定,为什么 还有保证局部稳定? 3. 格构式轴心受压柱保证了整体稳定,为什么还有保证 单肢稳定? 4. 缀条柱与缀板柱的节间段长度取值有什么区别? 5. 为什么截面绕两个主轴不属于同一类的截面,等稳定 的条件不再是 λ x ? λ y ,而是 ? x ? ? y ? 6. 画出典型柱头、柱脚图,并分析其传力过程和传力途 径? 86 7. 柱脚底板的大小、厚度如何确定?

作业: 钢结构设计原理 P218 6.2 、 6.3 、 6.5、 6.6、 6.7 钢结构设计原理 P285 8.1

87


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