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2016年静安高三二模


静安区 2015 学年第二学期高三年级高考模拟 文理科数学试卷
(试卷满分 150 分
考生注意: 本试卷共有 23 道题,答题前,请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚.

考试时间 120 分钟)

2016.4

一、 填空题 (本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题, 考生应

在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
1.(文)已知全集 U ? R ,集合 A ? x ( x ? 1)( x ? 4) ? 0 , 则集合 A 的补集 CU A ?

?

?

开始 k←1

. _. . .

(理)计算: lim

n 2 (n ? 6) ? n ??? 12n 3 ? 7

k 2 ? 4k ? 0

N

k←k +1

2.(文)指数方程 4 x ? 6 ? 2 x ? 16 ? 0 的解是

Y 输出 k 结束
(第 5 题)

(理)设复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 5 ( i 为虚数单位),则 z ?
3.(文)已知无穷等比数列 ?a n ? 的首项 a1 ? 18 ,公比 q ? ?

1 , 2

则无穷等比数列 ?a n ? 各项的和是

. .

(理)若原点 (0, 0) 和点 (1,1) 在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是
4.函数 y ? cos2 x,x ? 0,? 的递增区间为 5.算法流程图如图所示,则输出的 k 值是 6. 抛物线

?

?

. . . .

上一点 到焦点的距离为 1,则点 的横坐标是

7.(文)设函数 f ? x ? ? 2x ? 3 ,则不等式 f ? x ? ? 5 的解集为

(理)一盒中装有 12 个同样大小的球,其中 5 个红球,4 个黑球,2 个白球,1 个绿球.从中随机取出 1 个球,则取出的 1 个球是红球或黑球或白球的概率为 8.关于? 的函数 f (? ) ? cos
2

.

? ? 2 x cos? ?1的最大值记为 M ( x) ,则 M ( x) 的解析式为


.

9. (文)如图所示,是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图, 若 a ? 2, b ? 3 ,则该几何体的体积等于

(理)如图,正四棱锥 P ? ABCD 的底面边长为 2 3cm , 侧面积为 8 3cm 2 ,则它的体积为 .
P
a a 俯视图 a 正视图 a 侧视图 b b

10. (文)圆心在直线 2x?y?7=0 上的圆 C 与 y 轴交于 A(0, ?4)、B(0, ?2) 两点,则圆 C 的 方程为 .
A D B C

(理 9 题)

(文 9 题)

(理)已知双曲线 x2 ? 取值范围为

y2 ? 1(m ? 0) 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 没有公共点, 则该双曲线的焦距的 m2

. .

??? ? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? 11.已知△ABC 外接圆的半径为 2 ,圆心为 O ,且 AB ? AC ? 2 AO , AB ? AO ,则 CA ?CB ?

? x ? 0, 4 ? 12.(文)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 3 ?3 x ? y ? 4 ?
分为面积相等的两部分,则 k 的值是 .

y

P θ

O

x

(理)若以过 (0, 0) 点的直线的倾斜角 ? 为参数,则圆 x2 ? y 2 ? x ? 0 的 参数方程为 .
(第 12 题)

13.(文)掷两颗均匀的骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)(n-mi)(i 为虚数单位)

为实数的概率为

.

(理)已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 81 , an ? ?

??1 ? log3 an ?1 , n ? 2k ,
an?1 ? 3 ,

n ? 2k ? 1

(k ? N *) ,则数列 ?an ? 的前 n 项和

Sn 的最大值为

. .

14. 设关于 x 的实系数不等式 (ax ? 3)( x2 ? b) ? 0 对任意 x ? [0, ??) 恒成立,则 a 2 b ?

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.(文) (1 ? x) 4 的展开式中 x 2 的系数为( A. 1 B. 4 ) B. sin x ? D. C. 6 ) D. 12

(理)下列不等式一定成立的是 ( A. lg( x 2 ? ) ? lg x( x ? 0) C. x2 ? 1 ? 2 | x | ( x ? R)

1 4

1 ? 2( x ? k? , k ? Z ) sin x

1 ? 1( x ? R) x ?1
2

16. (文) 在△ABC 中, ∠A、 ∠B、 ∠C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若△ABC 的面积 S ? ∠A 的弧度数为( A. ) B.

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ) , 4

? 3

? 6

C.

? 2

D.

? 4
( )

(理)在极坐标系中,圆 ? =2cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 A. ? =0(? ? R)和?cos? =2 B. ? =

?
2

(? ? R)和? cos? =2

C. ? =

?
2

(? ? R)和? cos? =1

D. ? =0(? ? R)和?cos? =1 )

2 17. 若函数 F ? x ? ? f ? x ? ? x 为奇函数,且 g(x)= f(x)+2,已知 f(1) =1,则 g (-1)的值为(

A.-1

B.1

C.-2

D.2

? x ? y ? 2 ? 0, ? 18. (文)已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ?| x ? 4 y | 的最大值为( ? x ? ?3, ?
A. 17 B. 15 C. 9 D. 5



(理)袋中装有 5 个同样大小的球,编号为 1,2,3,4,5. 现从该袋内随机取出 3 个球,记被取出的 球的最大号码数为 ?,则 E? 等于( A. 4 B.4.5 ) C. 4.75 D. 5

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤. 19.(文)(本题满分 12 分) 如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P—ABCDEF(底面正六边形 ABCDEF 的中心为球心). 求:正六棱锥 P—ABCDEF 的体积和侧面积.

(文 19 题)

(理)(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (其中 a ? b ? 0 )的左、右焦点,椭圆 C 过点 (? 3,1) 且 a 2 b2

与抛物线 y 2 ? ?8 x 有一个公共的焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点且斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点,求线段 AB 的长度.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.
(文)题同理科第 19 题。

(理)设点 E, F 分别是棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱 AB, AA1 的中点.如图,以 C 为坐标原 点,射线 CD 、 CB 、 CC1 分别是 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
(1)求向量 D1E 与 C1F 的数量积; (2)若点 M , N 分别是线段 D1E 与线段 C1F 上的点,问是否存在直线 MN , MN ? 平面 ABCD ?若存在, 求点 M , N 的坐标;若不存在,请说明理由.

???? ?

???? ?

C1 D1 A1

B1

F C D A E B

(理 20 题)

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, A 、 B 是海岸线 OM 、 ON 上的两个码头,海中小岛有码头 Q 到海岸线 OM 、 ON 的距离分别 为 2km 、
7 10 km .测得 tan ?MON ? ?3 , OA ? 6km .以点 O 为坐标原点,射线 OM 为 x 轴的正半轴, 5

建立如图所示的直角坐标系. 一艘游轮以 18 2km / 小时 的平均速度在水上旅游线 AB 航行 (将航线 AB 看作直线,码头 Q 在第一象限,航线 AB 经过 Q ). (1)问游轮自码头 A 沿 AB 方向开往码头 B 共需多少分钟? (2)海中有一处景点 P (设点 P 在 xoy 平面内, PQ ? OM ,且 PQ ? 6km ),游轮无法靠近.求游 轮在水上旅游线 AB 航行时离景点 P 最近的点 C 的坐标.
N
B?

??? ?

y

?P

? C
?Q ?

O (第 21 题)

A

xM

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知函数 y ? f ? x ? ,若在区间 I 内有且只有一个实数 c ( c ? I ),使得 f (c) ? 0 成立,则称函数

y ? f ? x ? 在区间 I 内具有唯一零点.
(1)(文)判断函数 f ? x ? ? log2 x 在定义域内是否具有唯一零点,并说明理由; (理)判断函数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? 1, 0 ? x ? 1, 在区间 (0, ??) 内是否具有唯一零点,并说明理由; ?log 2 x, x ? 1

(2)已知向量 m ? ( 具有唯一零点;

?? ?

? ? ? ?? ? ? ? ? 3 1 , ) ,n ? (sin 2x,cos 2 x) ,x ? (0, ? ) ,证明 f ( x) ? m ? n ?1 在区间 (0, ? ) 内 2 2

(3)若函数 f ( x) ? x2 ? 2mx ? 2m 在区间 (?2, 2) 内具有唯一零点,求实数 m 的取值范围.

23.(文) (本小题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知各项为正的数列 ?a n ? 是等比数列,且 a1 ? 2 , a5 ? 32 ;数列 ?bn ?满足:对于任意 n ? N ? , 有 a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn = (n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 . (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ?的通项公式; (3)在数列 ?a n ? 的任意相邻两项 a k 与 a k ?1 之间插入 k 个 (?1) k bk( k ? N ? ) 后, 得到一个新的数列 ?c n ?. 求数列 ?c n ?的前 2016 项之和. (理)(本小题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满 分 8 分. 已知数列 ?an ? 满足 an ? 3an?1 ? 3n ( n ? 2, n ? N ? ),首项 a1 ? 3 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (3)数列 ?bn ? 满足 bn ? log3

an ? 1 ? ,记数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn , A 是△ABC 的内角,若 n b ? b ? n n ?1 ?

sin A cos A ?

3 Tn 对于任意 n ? N ? 恒成立,求角 A 的取值范围. 4

静安区 2016 年高考模拟考解答与评分细则 1.文: (??,1) ? (4, ??) ;理:

1 3 4 ; 2.文: x ? 3 ;理: ? i 12 5 5

3.文:12;理: ? 0, 2 ?

4.

?? ? ,? ? ?2 ? ?

5.5

6.点 的横坐标为 .

7.文: x ?1 ? x ? 4 ;理:

?

?

11 ; 12

8. M ( x ) ? ?

?2 x x ? 0 ??2 x x ? 0

9.文:

13? ;理:4 3

10.文: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 5 ;理: (2, 4)

11.12

7 ? x ? cos 2 ? 12.文: 3 ;理: ?
16.文 D 理 B

? y ? cos ? ? sin ?

,? ? R

1 13.文:6;理:127 18.文理 B

14. 9

15.文理:C
19.文:

17. A

设底面中心为 O,AF 中点为 M,连结 PO、OM、PM、AO,则 PO⊥OM, …………2 分

OM⊥AF,PM⊥AF,

1 1 ∵OA=OP=2,∴OM= 3,∴S 底=6× ×2× 3=6 3.∴V= ×6 3×2=4 3. 2 3
PM= 4+3= 7. …………8 分 1 ∴S 侧=6× ×2× 7=6 7. 2 …………12 分

…………6 分

2 理:(1)抛物线 y ? ?8 x 的焦点为 (?2, 0)

………1 分

所以椭圆 C : 又

x2 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点为 (?2, 0) , c ? 2 , b2 ? a2 ? 4 ………2 分 2 a b

3 1 ? 2 ? 1 ,得 a4 ? 8a2 ? 12 ? 0 ,解得 a 2 ? 6 ( a 2 ? 2 舍去)………4 分 2 a b

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 。………6 分 6 2
…………………7 分

(2)直线 l 的方程为 y ? x ? 2 .

?y ? x ? 2 ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 2 ?6

消去 y 并整理得 2 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 .…………………9 分(文 10 分)

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .故 x1 ? x2 ? 3 , x1 x2 ?

3 . 2

…………………10 分(文 11 分)

2 2 2 则 AB ? 1 ? k x1 ? x 2 ? (1 ? k )[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ] ? 6 …………12 分(文 14 分)

20.文题同理 19,评分标准见上。 理:(1)在给定空间直角坐标系中,相关点及向量坐标为

???? ? D1 (2,0,2), E(1,2,0), D1E ? (?1,2, ?2) …………2 分 ???? ? C1 (0,0,2), F (2,2,1), C1F ? (2,2, ?1) …………4 分 ???? ? ???? ? 所以 D1E ? C1F ? ?1? 2 ? 2 ? 2 ? (?2) ? (?1) ? 4 。 …………6 分
(2)存在唯一直线 MN , MN ? 平面 ABCD 。 …………8 分 若 MN ? 平面 ABCD ,则 MN 与平面 ABCD 的法向量 (0, 0,1) 平行, 所以,可设 M (a, a, m), N (a, a, n), MN ? (0,0, n ? m), n ? m

???? ?

???? ?

…………10 分

又因为点 M , N 分别是线段 D1E 与线段 C1F 上的点,所以 D1M / / D1E, C1N / /C1F , 即 D1M ? ? D1E, C1N ? tC1F , …………12 分

????? ?

???? ? ???? ?

???? ?

????? ?

???? ? ???? ?

???? ?

(a ? 2, a, m ? 2) ? (??, 2?, ?2? ) , (a, a, n ? 2) ? (2t , 2t , ?t ) ,

4 ? a ? , ? 3 ?a ? 2 ? ? , ? 2 ?a ? 2t , ? ? 所以 ? a ? 2? , 且? 解得 ? m ? , 3 ? m ? 2 ? ?2? ?n ? 2 ? ?t ? ? 4 ? ?n ? 3 ?
所以点 M , N 的坐标分别是 M ( , , ) , N ( , , ) 。 …………14 分 21.解:(1)由已知得: A(6,0) ,直线 ON 的方程为 y ? ?3 x , ………1 分 设 Q( x0 , 2)( x0 ? 0) ,由
3x0 ? 2 10 ? 7 10 及图 x0 ? 0 得 x0 ? 4 ,? Q(4, 2) 5

4 4 2 3 3 3

4 4 4 3 3 3

………3 分

? 直线 AQ 的方程为 y ? ?( x ? 6) ,即 x ? y ? 6 ? 0 ,
? y ? ?3x, ? x ? ?3, 由? 得? 即 B (?3,9) , ? x ? y ? 6 ? 0 ? y ? 9,

………5 分 ………6 分

? AB ? (?3 ? 6)2 ? 92 ? 9 2 ,即水上旅游线 AB 的长为 9 2km .

游轮在水上旅游线自码头 A 沿 AB 方向开往码头 B 共航行 30 分钟时间. ………8 分 (2)解法 1:点 P 到直线 AB 的垂直距离最近,则垂足为 C 。 ………10 分

??? ?

由(1)知直线 AB 的方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,? P(4,8) ,则直线 PC 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 , ………12 分 所以解直线 AB 和直线 PC 的方程组,得点 C 的坐标为(1,5). 解法 2:设游轮在线段 AB 上的点 C 处,则 AC ? 18 2t , 0 ? t ?
? C (6 ? 18t ,18t ) ,

……14 分 ………10 分

1 , 2

? P( 4 , 8 ) ,则
2 ?P C ?( 2 ? 1 8 t2 ) ? ( 1 t8 ? 2

8)
1 , 2

?1 8 ( 3 t 26 ?
1 ? 0 ?t ? 时, 2

t 2? 0 ) ,6 08 ?t ?

………12 分

当? t ?

5 1 ? 时,离景点 P 最近,代入 C (6 ? 18t ,18t ) 得离景点 P 最近的 18 2

点的坐标为(1,5).

………14 分

22.文:(1)函数 f ? x ? ? log2 x 在定义域内不具有唯一零点, ………2 分 因为当 x ? ?1 时,都有 f ? ?1? ? 0 ; 理:(1)函数 f ? x ? ? ? ………4 分 在区间 (0, ??) 内具有唯一零点. …2 分

? x 2 ? 1, 0 ? x ? 1 ?log 2 x, x ? 1

理由: 当 x ? 1 时, 有 f ?1? ? 0 , 且当 0 ? x ? 1 时, 有 f ? x ? ? x2 ?1 ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ? x ? ? log2 x 是增函数,有 f ? x ? ? log2 x ? log2 1 ? 0 . (2) 因为 m ? n ? 1 ? …………4 分

?? ? ?? ?

? 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ,所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 1 ,……7 分 6 2 2 6

? ? ? ?2 ? 因为 A ? I ? ? ? ? ,所以在区间 (0, ? ) 内有且只有 f ? x ? ? 0 的解集为 A ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? ; 3 ?3 ? ? ?
一个实数 ? ,使得 f ( ? ) ? 0 成立,因此 f ( x) ? m ? n ? 1 在开区间 (0, ? ) 内具有唯一零点;……10 分 (3) 函数 f ( x) ? x 2 ? 2mx ? 2m 在开区间 (?2, 2) 内具有唯一零点,该二次函数的对称轴为

2 3

2 3

?? ? ? ? ?

x ? ?m .以下分?m 与区间 (?2, 2) 的位置关系进行讨论.
1)当 ? m ? ?2 即 m ? 2 时, f ( x) ? x2 ? 2mx ? 2m 在开区间 (?2, 2) 是增函数,只需 ? 得 m ? 2 ; …………12 分 2) 当 ?2 ? ? m ? 2 即 ?2 ? m ? 2 时,若使函数在开区间 (?2, 2) 内具有唯一零点, 2m ? m2 ? 0 ,所
以 m ? 0 。分三种情形讨论:当 m ? 0 时,符合题意;当 0 ? m ? 2 时, 空集; 当 ?2 ? m ? 0 时, 只需

? f (?2) ? 0, 解 ? f (2) ? 0

? f (?2) ? 0, 2 解得 ?2 ? m ? ? ; …………14 分 ? 3 ? f (2) ? 0
3)当 ? m ? 2 即 m ? ?2 时, f ( x) ? x2 ? 2mx ? 2m 在区间 (?2, 2) 是减函数,只需 ?

? f (?2) ? 0, 解得 ? f (2) ? 0

m ? ?2 ;

综上讨论,实数 m 的取值范围是 m ? ? 23.文:(1)由 a5 ? 32 得, q ? 2 。

2 或 m ? 0 或 m ? 2 . …………16 分 3
an ? 2 n
………4 分

………2 分

2 (2) a1b1 ? (1 ? 1)2 ? 2 ? 2 ,得 b1 ? 1 . ………5 分

当 n ? 2 时, an bn ? (a1b1 ? ? ? an bn ) ? (a1b1 ? ? ? an?1bn?1 ) ? n ? 2 n . ………8 分 于是 bn ? n . ………10 分 (3)设数列 ?a n ? 的第 k 项是数列 ?c n ?的第 m k 项,即 ak ? cmk . 当 k ? 2 时, mk ? k ? (1 ? 2 ? ? ? (k ? 1)) ?

k (k ? 1) . ………12 分 2
………14 分

m62 ?

62 ? 63 ? 1953 , m63 ? 2016 , c2016 ? a63 , c2015 ? (?1) 62 ? b62 2

设 S n 表示数列 ?c n ?的前 n 项之和. 则 S 2016 ? (a1 ? a2 ? ? ? a63 ) ? [(?1)1 b1 ? (?1) 2 ? 2b2 ? ? ? (?1) 62 ? 62b62 ] . 其中 a1 ? a2 ? ? ? a63 ? 264 ? 2 , (?1) n nbn ? (?1) n n 2 。又 (2n) 2 ? (2n ? 1) 2 ? 4n ? 1 , 则 (?1)b1 ? (?1) 2 2b2 ? ? ? (?1) 62 62b62 = (?1)12 ? (?1) 2 2 2 ? ? ? (?1) 62 62 2 = (2 2 ? 12 ) ? (4 2 ? 32 ) ? ? ? [(2m) 2 ? (2m ? 1) 2 ] ? ? ? (622 ? 612 ) = (4 ? 1 ? 1) ? (4 ? 2 ? 1) ? ? ? (4n ? 1) ? ? ? (4 ? 31 ? 1) ?

31(4 ? 1 ? 1 ? 4 ? 31 ? 1) ? 1953 2

因此, S 2016 ? (2 64 ? 2) ? 1953 ? 2 64 ? 1951. ………18 分
? n 理:(1)数列 ?an ? 满足 an ? 3an?1 ? 3 ( n ? 2, n ? N )

∴ an ? 3an?1 ? 3n ,∵ 3 n ? 0 ,∴ ∴数列 ?

a n a n ?1 ? ? 1 为常数,…………2 分 3 n 3 n ?1

a ? an ? 是等差数列,首项为 1 ? 1 ,公差为 1 …………4 分 n ? 3 ?3 ?
∴ a n ? n ? 3n ( n ? N ? ) …………6 分

an ?n 3n

(2) Sn ? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? 4 ? 34 ? ?? (n ?1) ? 3n?1 ? n ? 3n

3Sn ? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? 4 ? 35 ? ?? (n ?1) ? 3n ? n ? 3n?1

?2Sn ? 3 ? 32 ? 33 ? 34 ? ?? 3n?1 ? n ? 3n?1
Sn ? n ? 3n ?1 ? 3n ?1 3 ? …………10 分 2 2

(3)数列 ?bn ? 满足 bn ? log3

an ,则 bn ? log3 3n ? n ,…………11 分 n

1 1 1 1 ? ? ? n 1 bnbn ?1 n( n? 1 ) n ?
因此有: Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ∴由题知△ABC 中, sin A cos A ? 所以 sin 2 A ?

1 2

1 1 2 3

1 1 3 4

1 n

1 1 ) =1 ? n ?1 n ?1

…………13 分

1 3 sin 2 A ? Tn 恒成立,而对于任意 n ? N ? , Tn ? 1成立, 2 4
…………16 分

1 2

3 3 即 sin 2 A ? , 2 4

又 A ? (0, ? ) ,即 2 A ? (0,2? ) ∴

?
3

? 2A ?

2? ?? ? ? ,即 A ? ? , ? . 3 ?6 3?

…………18 分


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