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数列学案


第 1 课时

等差数列(1)

一.自主学习: 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它 一项的 等 于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列 的 , 常用字母
表示。强调:① “从第二项起”满足条件; ②公差 d 一定是由后项减前项所得,d 可以是正 数,负数,也可以是 0;③每一项与它的前

一项的差必须是同一个常数(强 调“同一个常数” )。

2.等差数列通项公式:若首项是 a1,公差是 d,那么这个等差数列的通项公式 是 。

3. 等差数列 1,-1,-3,?,-89 的项数是( ). A. 92 B. 47 C. 46 D. 45 4.(1)求等差数列 12,8,4,0,?的第 10 项;20 项;

(2) 已知等差数列 ?an ?

中,

an ? 4n ? 3 ,求首项 a1 和公差 d 。

二.合作探究: 5. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 2 ,问这个数列是否一定是等差数列?若 是,首项与公差分别是什么?

方法总结:定义法判断等差数列的方法:利用定义判断等差数列的关键是看

an?1 ? an 得到

的结果是否是一个与 n 无关的常数,若是,即为等差数列;若不是,则不是等差数列。

1

6.在等差数列 ?an ? 的首项是 a5 ? 10, a12 ? 31 , 求数列的首项与公差。

三.课堂检测: 7.等差数列的第 1 项是 7,第 7 项是 1,则它的第 5 项是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

) 。

8. 100 是不是等差数列 2,9,16,??的项?如果是,是第几项?如果不是,说 明理由。

提示:要求出数列中的项,关键是求出通项公式;要想判断一数是否为某一数列 的其中一项,则关键是要看是否存在一正整数 n 值,使得 a n 等于这一数。

第 2 课时
一.自主学习:

等差数列的前 n 项和(1)
=_______________ 或

1. 知 识 回 顾 : ① 等 差 数 列 通 项 公 式 : ________________。 ②等差数列的性质:若 m+n=p+q,则_______________ ; 即: + = +___= +____= +___=...=

+____=

+______。

2.等差数列{an}的前 n 项和 Sn =_______________或________________。 3.(2009 福建卷)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4,则公差 d 等于 ( ) A.1 B.
5 3

C.2

D.3

2

4.在等差数列 ?an ? 中,

?1? a1 ? 3, a50 ? 101, 求s50

? 2 ? a1 ? 3, d ?

1 , 求s10 2

? 3? d ?

1 3 15 , an ? , sn ? ? , 求a1 , n 2 2 2

小结:在等差数列的通项公式与前 n 项和公式中,含有 a 1 , d , n ,a n , S n 五个量, 只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个量.即“知三求二” 。 二.合作探究: 5.已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值。

三.课堂检测: 6.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于( A.13 B.35 C.49 ) D.63

7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则 an ?



8. (★★)等差数列 ?an ? 中, an ? 23 ? 2n ,则当 n 为何值时,该数列的前 n 项和 Sn 取得最大值?最大值是多少?

3

第 3 课时
一.自主学习:

等差数列的前 n 项和(2)

1.等差数列{an}的前 n 项和 Sn =_______________或________________。 2.(2011 年杭州质检)等差数列{an}的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 1, a3 ? 3 ,则 s4 ? ( A.12 B.10 C.8 D.6 3.在等差数列{an}中,已知 a6 ? 10, S5 ? 5, 求 a8和S8。 )

4.已知数列 ?2n ? 11? ,那么 s n 的最小值是( A. s1 B. s5 C. s6

) D. s11

5.在数列{an}中, an =2n+1,求这个数列自 100 项到第 200 项之和 S 的值。

二.合作探究: 6.在项数为 2n+1 的等差数列中, 所有奇数项的和为 165, 所有偶数项的和为 150, 则 n 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12

7.数列 ?an ? 的前 n 项和

sn ? n 2 ? 1



(1)试写出数列的前 5 项;

4

(2)数列 ?an ? 是等差数列吗? (3)你能写出数列 ?an ? 的通项公式吗?

三.课堂检测: 8 . 设 数 列 {an} 的 首 项 a1 = - 7 , 且 满 足 an + 1 = an + 2(n ∈ N*) , 则 。 a1 ? a2 +...a17 =

9.(2010.安徽)设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 , ,则 a8 的值为( A.15 B.16 C.49 D.64



第 4 课时等差数列单元检测
1.(2007 安徽文)等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 a2 A.12 B.10 C.8

? 1, a3 ? 3, 则S 4=(
D.6



2. (2006 全国Ⅰ卷文) 设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 若 S7 ? 35 , 则 a4 ?(



A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 3.(2008 广东文)记等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4 , S 4 ? 20 ,则该数 列的公差 d=( A.7 ) B. 6 C. 3 为等差数列, D. 2 ,

4.(2010 安徽卷)已知 则 等于

5

A. -1 D.7

B. 1

C.

3

5.(2007 四川文)等差数列{an}中, a1 ? 1, a 3 ? a 5 ? 14, 其前 n 项和 Sn=100,则 n=( ) A.9 B.10 C.11 D.12 二、填空题: 6.(2008 海南、宁夏文)已知{an}为等差数列, 。 7.(2007全国Ⅱ文)已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为Sn= 。 2 8.观察下面的数阵,容易看出,第 n 行最右边的数是 n ,那么第 20 行最左边的数 是 ,第 20 行所有数的和是 。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ... ... ... ... ... ... ... 三、解答题: 9. (2011 湖北卷)等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 ? 30, a20 ? 50. (Ⅰ)求通项 an ; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n.
a 3 ? a 8 ? 22, a 6 ? 7, 则 a 5 ?

10.(2008 海南)已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值。

6

第 5 课时等比数列(1)
一.自主学习: 1. 等比数列的定义:一般地,如果一个数列从 于 ,那么这个数列就叫做 起,每一项与它的前一项的比等 ;公比通

。这个常数叫做等比数列的

常用字母 q 表示(q≠0) ,即:

an =q(q≠0) 。注意:1?“从第二项起”与“前一项”之比 a n ?1

为常数 q , { an } 成等比数列 ? 3? q= 1 时,{an}为常数。 2.等比数列的通项公式:

a n ?1 ? =q ( n ? N ,q≠0) ; 2? 隐含: 任一项 an ? 0且q ? 0 ; an


3.等比数列的通项公式的推导过程:在等比数列{ an }中,首项为 a1 ,公比为 q ,其中, a1 与 q 均不 为 0 . 方法一:归纳法 方法二:累积法

4.观察下面几个数列: (1)1,1, 2,4, 8, 16, 32, 64; (2)数列{ an }中,已知

a a2 ? 2, 3 ? 2; a1 a2

(3) 常数列 a, a, ? , a ? ; 其中是等比数列的是

(4) 在数列 { an } 中, (只填序号) 。

an?1 其中 n ? N ? 。 ? q?q ? 0? , an

5.已知等比数列{ an }中, a1 ? 32 ,公比 q ? A.1 B.-1 C .2

1 ,则 a6 等于 2
D .-2





7

二.合作探究: 6.已知{an}是等比数列,a3=2,a2+ a4=
20 ,求{an}的通项公式。 3

三.课堂检测:
7.等比数列{ an }中, A.2
a1 ? 3, q ? 2, a n ? 24,

,则 则 n ? ( D. 8

)

B. 3

C. 4

8.已知{ an }是等比数列, a 2 ? 2 , a 5 ? A. ?

1 ,则公比 q ? ( 4
C. 2 D.

)

1 2

B. ? 2

1 2


9.一个各项均为正数的等比数列其任何项都等于前面项之和,则其公比是( A .

5 2

B.

1? 5 2

C .

2 5 2

D .

5 ?1 2

第 6 课时
一.自主学习:

等比数列(2)
为 a , b 的等比中项,则

1. 等比中项: 若 a , G , b 三个数成等比数列,我们就称
G ?


个,它们互为相反数。

两个正数(或两个负数)的等比中项有

2.等比数列的性质:若 m ? n ? p ? q , m, n, p, q ? N ? ,则 之不一定成立,如常数列) ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,有 且在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积等于首末两项的积。

(反 ;

8

1 1 已知等比数列?an ?中,a1 ? 16, q ? , an ? , 则n ? 2 2 3.



4.求下列各组数的等比中项: (1)4, 9; (2) 4 ? 3 , 4 ? 3 ;

5.在等比数列{ an }中, a4 ? 6 ,则 A. 4 B. 8

a 2 .a 6 ?

( D. 32

) 。

C. 36

二.合作探究: 6.在各项为负的数列{ an }中,
2 a n ? 3 a n ? 1, 且 a 2 .a 5 ? 8 27



(1)求证: { an }是等比数列,并求出通项;

(2)试问

?

16 81

是这个等比数列中的项吗?如果是,指明是第几项;如果不是,

请说明理由。

9

三.课堂检测: 7.若 x,2x+2,3x+3 是一个等比数列的连续三项,则 x 的值为( ) A.-4 B.-1 C .1 或 4 D.-1 或-4

8 . 已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 { an } , a1a2 a3 =5 , a7 a8 a9 =10 , 则

a4 a5 a6 =



第 7 课时
一.自主学习:

等比数列的前 n 项和(1)

1. 等比数列的前 n 项和公式: 2.各项均为正数的等比数列 ?an ? 中 a5a6 ? 9 , 则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ?( A 12 B 10 C 8 D )

2 ? log3 5

3.根据下列条件,求相应的等比数列 ?an ? 的 Sn : (1) a1 ? 3, q ? 2, n ? 6 ; (2) a1 ? 8, q ?
1 1 , an ? ; 2 2

4. (1)求等比数列 1, 2, 4,? 从第 5 项到第 10 项的和。

(2)

已知等比数列?an ?中,a1 ? 27, a9 ?

1 , q ? 0, 求sn。 243

10

二.合作探究: 5.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S4 ? 1, S8 ? 17 ,求数列 ?an ? 的通项 a n 。

三.课堂检测:
2 3 n?1 6.数列 1, a, a , a ,?, a ,? 的前 n 项和为(

) D.以上都不对

A.

1-a n 1? a

B.

1-a n?1 1? a

C.

1-a n?2 1? a

q , n的 值 。 7. 在等比数列{ an }中,已知 a1 ? 1, an ? ?512, Sn ? ?341,求

第 8 课时
一.自主学习:

等比数列的前 n 项和(2)
)

1. 已知下列命题,其中正确命题的个数为(

①等差数列{an}有如下性质:若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq; ②等比数列{an}有如下性质:若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq; ③如果 a,b,c 成等比数列,那么 lga,lgb,lgc 成等差数列; ④首项为 a1,公比为 q 的等比数列的前 n 项和 Sn ? A.1 B.2 C.3 D.4

a1 (1 ? q n ) . 1? q

11

2. 已知等比数列 ?an ? 中, an ? 2 ? 3n?1 ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 为( )

A.3n ? 1

B.3(3n ?1)

1 C. (9n ? 1) 4

3 D. (9n ? 1) 4

3.在等比数列 ?a n ? 中 ,若公比 q=4 , 且前 3 项之和等于 21, 则该数列的通项公式

an ?



4.已知数列

?an?的前n项和sn =n2 -2n,求数列an的通项公式。

二.合作探究: 5.设 {an } 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 {bn } 是首项为 1, 公差为 2 的等差数列, 求数列 {an ? bn } 的前 n 项和 s n 。

三.课堂检测: 6. (2010?重庆)在等比数列 ?an ? 中, a2010 A. 2 B. 3 C. 4

? 8a2007 ,则公比 q 的值为(
D. 8



12

1 1 1 1 1 求sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? (n ? n ) 2 4 8 16 2 7.

8.(★★)

求数列1? 2,3 ? 22 ,5 ? 23, ...,(2n-1)2n的和。

数列复习题
一、选择题 1、 (2010 全国卷 2 理数)如果等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,那么
a1 ? a2 ? ... ? a7 ?

(A)14

(B)21

(C)28

(D)35

2、 (2010 辽宁文数)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 ,
3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ?

(A)3

B)4

(C)5

(D)6

13

3、 (2010 安徽文数)设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为 (A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64
S5 ? S2

4、 (2010 浙江文数)设 sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和,8a2 ? a5 ? 0 则 (A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11

5、 (2009 年广东卷文)已知等比数列 {an } 的公比为正数, 且 a3 ·a9 =2 a5 2 ,
a2 =1,则 a1 =

A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

6、 ( 2009 广 东 卷 理 ) 已 知 等 比 数 列 {an } 满 足 an ? 0,n ? 1, 2, ?,且
a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3),则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log 2 a 3 ?? ? log 2a n 2? 1 ?

A. n(2n ? 1)

B. (n ? 1)2

C. n2

D. (n ? 1)2

7、 (2009 江西卷文) 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是
a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于

A. 18

B. 24

C. 60

D. 90 . , 若
S6 =3 , S3

8、 (2009 辽宁卷理) 设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn 则
S9 =( S6

) ( B)
7 3

8 (D)3 3 9、 (2009 安徽卷理) 已知 ?an ? 为等差数列, a2 ? a4 ? a6 =99, a1 + a3 + a5 =105, 以 Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是

(A) 2

( C)

(A)21

(B)20

(C)19

(D) 18

14

10、 (2009 上海十四校联考)无穷等比数列 1, ( ) A. 2 ? 2 B . 2 ? 2 C. 2 ? 1

2 1 2 , , , ?各项的和等于 2 2 4

D. 2 ? 1
n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项 3 3

11、 (2009 江西卷理)数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2 和为 Sn ,则 S30 为( A. 470 ) B. 490 C. 495

D. 510

12、2009 湖北卷文)设 x ? R , 记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ], 则 {
5 ?1 },[ 5 ? 1 ], 5 ? 1 2 2 2

A.是等差数列但不是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 二、填空题

B.是等比数列但不是等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列

13 、 (2010 辽 宁 文数 ) ( 14 ) 设 Sn 为 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 若
S3 ? 3,S6 ? 24 ,则 a9 ?

。`

14、 (2010 福建理数)11.在等比数列 ?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之 和等于 21,则该数列的通项公式 an ?
1 2



15、 ( 2009 浙江理)设等比数列 {an } 的公比 q ? ,前 n 项和为 Sn ,则
S4 ? a4



16、 (2009 北京理)已知数列 {an } 满足: a4n?3 ? 1, a4n?1 ? 0, a2n ? an , n ? N?, 则

15

a2009 ? ________; a2014 =_________.

三、解答题 17、 (2009 全国卷Ⅱ文) 已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项和 sn . .

18、 (2010 重庆文数)已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列,Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的 通项公式及其前 n 项和 Tn .

16

19、 (2010 山东理数)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=
1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

20 、 2009 全 国 卷 Ⅱ 理 ) 设 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn ,
a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2

已知

(I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。

17

18

19


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