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2010年宝鸡市高三市二检数学文试题


2010 年宝鸡市高三教学质量检测(二)

数 学 试 题(文)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第 15 考题为三选一,其 它题为必考题,考生作答时,将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效,本试卷 满分 150 分,考 试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题

卡规定的位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它 答案标号;非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写, 字体工整、笔迹清楚,将答案书写在答题卡规定的位置上。 3.所有题目必须在答题卡上作答,在试卷上答题无效。

第Ⅰ卷
一、选择题. 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四

个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 U= {x ? Z | ?1 ? x ? 5} , A ={1,2,5}, B ? {x ? N | ?1 ? x ? 4} ,则

B ∩CU A =(
A.{3} 2.若复数

) B.{0,3} C.{0,4} D.{0,3,4} ) D

2i ? 1 的实部与虚部分别为 a 、 b ,则 ab 等于( i A .2 B. 2i C -2
x

? 2i

?1? 3. 已 知 函 数 f ? x ? ? ? ? ? log 2 x , 若 实 数 x0 是 方 程 f ? x ? ? 0 的 解 , 且 ? 3?

0 ? x1 ? x0 ,则 f ? x1 ? 的值为
A.恒为正值 B.等于 0 4.已知 a ? ?? 3,1?, b ? ?1,?2? ,若 ? 2a ? b ∥ a ? k b ,则实数 k 的值是 A. -17 B. ?

?

? ?
D.

C.恒为负值

?

D.不大于 0

1 2

C.

19 18

5 3

1

5. 设 a, b, c 是空间三条直线,? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成 立的是 A.当 c ? ? 时,若 c ? ? ,则 ? // ? B.当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ? ? C.当 b ? ? ,且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b D.当 b ? ? ,且 c ? ? 时, c // ? ,则 b // c 6. 已知直线 x ? y ? a与圆x 2 ? y 2 ? 4 交于 A, 两点, | O A ? OB |?| O A ? OB | B 且 (其中 O 为坐标原点) ,则实数 a 是 A.2 B.-2 C.2 或-2 D. 6或 - 6 ( ) ( )

7.将函数 y ? sin( 6 x ? 移

?
4

) 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平

? 个单位,得到的函数的一个对称中心是 8


( A. (

?
2

,0 )

B. (

?
4

,0 )

C. (

?
9

,0 )

D. (

?
16

,0 )

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 8.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 的取值范围是( x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
A. ? , 6? 5 9. “ m ?



?9 ?

? ?

B. ? ??, ? ? ? 6, ? ? ?

? ?

9? 5?

C. ? ??, ? ?6, ?? 3? ?

6] D. [3,

1 ”是“直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0与直线(m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 2
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

互相垂直”的( ). A.充要条件 C.充分而不必要条件 10.函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 x 的图象大致是 2
y y y

y

O

x

O
2

x
O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

第 II 卷
本卷包括必做题和选做题两部分. 其中第 15 题为选做题, 考生根据要求做答; 其余题为必做题,每个试题考生都必须做答. 二、填空题. 本大题共 7 小题, 11~14 题为必做题,15 题为选做题;考

生作答 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分
11. 下图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图,如果主视图、侧视图所对 应的三角形都是边长为 2 的正三角形, 俯视图对应的四边形为正方形, 那么这个几 何体的体积为 .

12 .设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a4 ? 1 , S5 ? 10 ,则当 Sn 取得最大 值时, n 的值为 . 13.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如下表所示的数据. 观测次数 i 观测数据 ai 1 40 2 41 3 43 4 43 5 44 6 46 7 47 8 48

在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中 a 是这 8 个数据的平均数),则输出的 S 的值是________. 14.如下图,对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂” .仿此,

3

52 的“分裂”中最大的数是___________,若 m3 的“分裂”中最小的数是 211, 则 m 的值为___________.

15.选做题: A. 在极坐标系中, ? ? 2cos ? 的圆心的极坐标是 圆 所表示的图形的交点的极坐标是 . , 它与方程 ? ?

?
4

( ? ? 0)

B. 如图 B, AB 为⊙O 的直径, AC 切⊙O 于点 A,且 AC ? 2 2cm ,过 C 的割线 CMN 交 AB 的延长线于点 D,CM=MN=ND.AD 的长等于

cm .
D

C.若关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? a 的解集为 ? ,则实 数 a 的取值范围是 .

B

N

M A
三、解答题. 本大题共 6 小题,满分 75 分,解答须写出文字说明、证明过

C

程或演算步骤.
16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 sin ?x sin(?x ?
2

?
2

)(? ? 0) 的最小正周期为 . ?

(1)求 f (x); (2)当 x ? [?

, ]时, 求函数 f ( x) 的值域. 12 2
4

? ?

17. (本题满分 12 分) 现有 8 名数理化成绩优秀者,其中 A1,A2,A3 数学成绩优秀, B1,B2,B3 物理成 绩优秀, C1,C2 化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名, 组成一个小组代表学校参加竞赛. (Ⅰ )求 C1 被选中的概率; (Ⅱ )求 A 和 B1 不全被选中的概率. 1 18. (本题满分 12 分) 如图,已知三棱锥 A—BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中 点, 且△PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC;

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x ? 3ax(a ? 0) .
3

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)求函数 y ? f ( x) 在 x ??0,1? 上的最小值. 20. (本题满分 13 分)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 2 3 a b l : y ? x ? 2 与以原点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切.

(1)求椭圆 C1 的方程; (2) 设椭圆 C1 的左焦点为 F , 直线 l1 过点 F 且垂直于椭圆的长轴, 1 右焦点 F2 , 1 动直线 l2 垂直 l1 于点 P , 线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M , 求点 M 的轨 迹 C2 的方程; (3) P( x0 , y0 ) 是轨迹 C2 上一定点, 设 过点 P 且倾斜角互补的两条直线与轨迹

C2 的另一个交点分别为点 A、B.求证:直线 AB 的斜率为定值.
21.(本题满分 14 分)
5

已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 1 ,且 a1 ? 3 , bn ? 和为 Sn . (1)求证数列 {an ? 1} 是等比数列; (2)求 {an } 的通项公式; (3)求数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ;

an ? 1 ,数列 {bn } 的前 n 项 an an?1

数学(文科)参考答案:
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 A 9 C 10 B

二、填空题: 11.

4 3 3

12. 4 或 5

13.7

14. 52 的“分裂”为

其中最大的数为 9, 3 的分裂数的数构成 211 为首项, 为公差且项数为 m 的等差 m 2 数列,其 m 项的和即为 m3 ,则 m ? 211?
(m ? 15)(m ? 14) ? 0 , m ? 15 ,故填 9;15.

m(m ? 1) ? 2 ? m3 , m2 ? m ? 210 ? 0 , 2
C. (??,1]

15.A. (1,0) , ( 2, 三、解答题: 16. 解: (1) f ( x) ?

?
4

)

B.2 7

1 ? cos 2?x ? 3 sin ?x cos ?x 2

?

3 1 1 ? 1 sin 2?x ? cos 2?x ? ? sin(2?x ? ) ? . 2 2 2 6 2
6

?函数f ( x)的最小正周期为 , 且? ? 0, ?
? 2? ? ? , 解得 ? ? 1. 2?

? f ( x) ? sin( 2 x ?
(2)? x ? [?

?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ]. 12 2 6 3 6
?

? ?

1 )? . 6 2

根据正弦函数的图象可得:当 2 x ?

g ( x) ? sin( 2 x ?
当 2x ?

?
6

6

?

?

2

, 即x ?

?
3

时,

) 取最大值 1

?
6

??

?
3

,即x ? ?

?
12

时, g ( x) ? sin(2 x ?

?
6

)取最小值 ?

3 . 2

1 3 ? 1 3 ? ? ? sin(2 x ? ) ? ? , 2 2 6 2 2 [ 即 f ( x)的值域为 1? 3 3 , ]. 2 2

17. 解: (1)从 8 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名, 其一切可能的结果组成的基本事件空间

? ? { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ) , (A (A (A

( A1,B3,C2 ) , ( A2,B1,C1 ), 2,B1,C2 ), 2,B2,C1 ) , ( A2,B2,C2 ) , (A (A ( A2,B3,C1 ) , ( A2,B3,C2 ) , ( A3,B1,C1 ), 3,B1,C2 ), 3,B2,C1 ) , (A (A ( A3,B2,C2 ), 3,B3,C1 ), 3,B3,C2 ) } (A (A
由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事 件的发生是等可能的.用 M 表示“ C1 恰被选中”这一事件,则

M ? { ( A1,B1,C1 ) , ( A1,B2,C1 ) , ( A1,B3,C1 ) , ( A2,B1,C1 )



( A2,B2,C1 ) ,( A2,B3,C1 ) ,( A3,B1,C1 ) ,( A3,B2,C1 ) ,( A3,B3,C1 ) }

7

事件 M 由 9 个基本事件组成,因而 P ( M ) ?

9 1 ? . 18 2

(2)用 N 表示“ A1 , B1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 N 表示“ A1 , B1 全被选中”这一事件, 由于 N ? { ( A,B1,C1 ), 1,B1,C2 ) },事件 N 有 2 个基本事件组成, (A 1 所以 P ( N ) ?

2 1 ? , 18 9 1 8 ? . 9 9

由对立事件的概率公式得 P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ? 18. 【解】 (1)∵M 为 AB 中点,D 为 PB 中点, ∴MD//AP, 又∴MD ? 平面 ABC ∴DM//平面 APC. (2)∵△PMB 为正三角形,且 D 为 PB 中点. ∴MD⊥PB. 又由(1)∴知 MD//AP, ∴AP⊥PB. 又已知 AP⊥PC ∴AP⊥平面 PBC, ∴AP⊥BC, 又∵AC⊥BC. ∴BC⊥平面 APC, ∴平面 ABC⊥平面 PAC, 19. 解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 3x ,
3

所以 f ( x) ? 3x ? 3 ? 3? x ?1?? x ?1? ,
' 2

令 f ( x) ? 0 得: x ? ?1 .
'

列表:

x
f ' ( x)
f ( x)

? ??, ?1?
+

?1
0

? ?1,1?


1 0

?1, ???
+

极大值

极小值

∴ f ( x ) 的单调递增区间是 ? ??, ?1? , ?1, ?? ? ;单调递减区间是 ? ?1,1? .
8

(Ⅱ)由 f ( x) ? x3 ? 3ax(a>0) 得 f ( x) ? 3x ? 3a ? 3 x ? a
' 2

?

?? x ? a ? ?

∵ x ??0,1? ∴①当 0< a <1 时,

x
f ' ( x)
f ( x)
∴当 x ?

0

? 0, a ?


a
0

?

a ,1
+

1

0

?2a a

1 ? 3a

a 时, f ( x) 取得最小值,最小值为 ?2a a . f ' ( x) ≤0, f ( x) 在 x ??0,1? 上是减函数,当 x ? 1 时, f ( x) 取得
??2a a , (0<a<1) ? ?1 ? 3a, (a≥1) ?
2

②当 a ≥1 时

最小值,最小值为 1-3 a . 综上可得: f ( x) min ? ?

3 c2 a2 ? b2 1 20. 解: (1)∵ e ? ,? e 2 ? ? ? ,? 2a 2 ? 3b 2 2 3 a 3 c 2 2 2 ∵直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x ? y ? b 相切, 2 ? b,? b ? 2 , b 2 ? 2 ,∴ a 2 ? 3 ∴ 2 x2 y2 ? ?1 . ∵椭圆 C1 的方程是 3 2
(2)∵MP=MF2, ∴动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F1(1,0)的距离, ∴动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线,F2 为焦点的抛物线

y 2 ? 4x 2 (3)设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,因为 A、B、P 三点在抛物线 y ? 4 x 上,则
∴点 M 的轨迹 C2 的方程为
2 y2 ? 4 x2 ② , 由直线 PA 与直线 PB 的斜率互补可得: kPA ? ?kPB ,即 y1 ? y0 y ? y0 ,结合①②③可得 ?? 2 x1 ? x0 x2 ? x0

y12 ? 4 x1

① ,

2 y0 ? 4 x0 ③,

9

y1 ? y0 y2 ? y0 ,从而有 y1 ? y2 ? 2 y0 ?? 2 2 2 2 y1 ? y0 y1 ? y0
所以 k AB ?

y2 ? y1 4( y2 ? y1 ) 4 2 ? 2 ? ? ,即直线 AB 的斜率为定值 2 x2 ? x1 y2 ? y1 y2 ? y1 y0

21. 解: (1)∵ a1 ? 3 , an?1 ? 2an ?1 ,∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1)

?{an ?1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 2 为公比的等比致列
(2)由(1)知?an ?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,?an ? 2n ? 1,

(3)由(2)知?bn ?

1 1 2n 2n ? n ? n?1 ? n n ?1 an an?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

? Sn ? (
.

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ??? ( n ? n ?1 ) ? ? n ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 3 2 ?1
1

10


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