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【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 仿真模拟卷(二)文


高考仿真模拟卷(二)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1.设集合 M={0,1,2},N={x|x -3x+2≤0},则 M∩N 等于( ) (A){1} (B){2} (C){0,1} (D){1,2} 2.如果复数 (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等于( )

(A)

(B) (C)-

(D)2

3.设向量 a,b 满足|a+b|=

,|a-b|=

,则 a·b 等于(

)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)5 4.已知命题 x -x p1:函数 y=2 -2 在 R 上为增函数, x -x p2:函数 y=2 +2 在 R 上为减函数, 则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:( ? p1)∨p2 和 q4:p1∧( ? p2)中,真命题是( (A)q1,q3 (B)q2,q3 (C)q1,q4 (D)q2,q4 5.已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 的准线上,则双曲线的方程为( (A) =1 (B) - =1 )

)

x,它的一个焦点在抛物线 y =24x

2

(C)

- =1 (D) - =1

6.已知三棱柱的各侧面均垂直于底面,底面为正三角形,且侧棱长与底面边长之比为 2∶1, 顶点都在一个球面上,若该球的表面积为 π ,则此三棱柱的侧面积为( )

(A)

(B)

(C)8

(D)6

7.已知函数 f(x)=3sin (ω x- )(ω >0)和 g(x)=2cos (2x+φ )+1 的图象的对称轴完全相同,

若 x∈[0, ],则 f(x)的取值范围是(

)

1

(A)[-3,3]

(B)[- , ]

(C)[- , ] (D)[- ,3] 8.阅读如图的程序框图,若输入 n=6,则输出 k 的值为( )

(A)2

(B)3

(C)4

(D)5 则 z=2x-y 的最大值为( )

9.设 x,y 满足约束条件

(A)10 (B)8 (C)3 (D)2 10.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线是某个几何体的三视图(其中正视图中 的圆弧是半径为 2 的半圆),则该几何体的表面积为( )

(A)92+14π (B)82+14π (C)92+24π (D)82+24π 11.函数 f(x)=|x-2|-ln x 在定义域内零点的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 12.设函数 f(x)的定义域为 D,若函数 f(x)满足条件:存在[a,b]? D,使 f(x)在[a,b]上的值域 是[ , ],则称 f(x)为“倍缩函数”,若函数 f(x)=log2(2 +t)为“倍缩函数”,则 t 的范围是 ( )
x

(A)(0, ) (B)(0,1)

2

(C)(0, ] (D)( ,+∞) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知一个样本容量为 100 的样本数据的频率分布直方图如图所示,那么样本数据落在 [40,60)内的频数为 ;估计总体的众数为 .

14.已知函数 f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中 a 为实数,f′(x)为 f(x)的导函数,若 f′(1)=3, 则 a 的值为 . 2 2 15.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,若 a -c =3b,且 sin B=8cos Asin C,则边 b 等 于 . 16.已知 F 是双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的左焦点,B1B2 是双曲线的虚轴,M 是 OB1 的中点,过 F、

M 的直线交双曲线 C 于 A,且

=2

,则双曲线 C 的离心率是

.

三、解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 12 分) 设数列{an}为等差数列,且 a3=5,a5=9;数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn+bn=2. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn= (n∈N ),Tn 为数列{cn}的前 n 项和,求 Tn.
*

18.(本小题满分 12 分)

3

某校在一次期末数学统测中,为统计学生的考试情况,从学校的 2000 名学生中随机抽取 50 名学生的考试成绩,被测学生成绩全部介于 60 分到 140 分之间(满分 150 分),将统计结果按 如下方式分成八组 :第一组[60,70),第二组[70,80),?,第八组[130,140],如图是按上述分 组方法得到的频率分布直方图的一部分.

(1)求第七组的频率,并完成频率分布直方图; (2)估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平 均值); (3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名,求他们的分差不小于 10 分的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图所示,在直角梯形 ABCP 中,CP∥AB,CP⊥CB,AB=BC= CP=2,D 是 CP 中点,将△PAD 沿 AD 折 起,使得 PD⊥平面 ABCD. (1)求证:平面 PAD⊥平面 PCD; (2)若 E 是 PC 的中点.求三棱锥 A PEB 的体积.

4

20.(本小题满分 12 分) 如图所示,椭圆 C: + =1(a>b>0),其中 e= ,焦距为 2,过点 M(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点

A,B,点 B 在 A,M 之间,又 AB 的中点横坐标为 ,且



.

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求实数λ 的值.

21.(本小题满分 12 分) 3 2 已知函数 f(x)=x -3x +ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点.

5

请在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4 1:几何证明选讲

如图,△ABC 内接于直径为 BC 的圆 O,过点 A 作圆 O 的切线交 CB 的延长线于点 P,∠BAC 的平 分线分别交 BC 和圆 O 于点 D,E,若 PA=2PB=10. (1)求证:AC=2AB; (2)求 AD·DE 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4 4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C( , ),半径 r= .

6

(1)求圆 C 的极坐标方程: (2)若α ∈[0, ),直线 l 的参数方程为 求弦长|AB|的取值范围. (t 为参数),直线 l 交圆 C 于 A,B 两点,

24.(本小题满分 10 分)选修 4 5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1|. (1)解不等式:f(x)+f(x-1)≤2; (2)当 a>0 时,不等式 2a-3≥f(ax)-af(x)恒成立,求实数 a 的取值范围.

高考仿真模拟卷(二) 1.D 2.C 3.A 4.C 5.B 因为 - =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= x,

所以 =

,所以 b=
2

a.

又抛物线 y =24x 准线为 x=-6,双曲线焦点在准线上, 所以 c=6. 2 2 2 2 2 又 c =a +b ,即 36=a +3a , 2 2 2 2 所以 a =9,b =c -a =27, 故选 B. 6.D 设底面边长为 x,球半径为 r, 则 4π r = π ,
2

7

得r= ,

2

又题意得 r =x +( x) , 解得 x=1, 故三棱柱的侧面积为 6. 故选 D. 7.D 由题意可得ω =2, 因为 x∈[0, ],

2

2

2

所以ω x- =2x- ∈[- , ], 由三角函数图象知: f(x)的最小值为 3sin (- )=- ,

最大值为 3sin =3,

所以 f(x)的取值范围是[- ,3], 故选 D. 8.B 当 n 输入值为 6 时,用 2×6+1=13 替换 n,13 不大于 100,用 0+1=1 替换 k,再用 2×13+1=27 替换 n,27 不大于 100,此时用 1+1=2 替换 k,再用 27×2+1=55 替换 n,此时 55 不 大于 100,用 2+1=3 替换 k,再用 2×55+1=111 替换 n,此时 111 大于 100,输出 k 的值为 3. 故选 B. 9.B 作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分△ABC).

由 z=2x-y 得 y=2x-z, 平移直线 y=2x-z, 由图象可知当直线 y=2x-z 经过点 C 时,直线 y=2x-z 的纵截距最小, 此时 z 最大, 由

8

解得

即 C(5,2),代入目标函数 z=2x-y,

得 z=2×5-2=8.故选 B. 10.A 还原几何体如图所示.

由三视图知,该几何体是由底面半径为 2,高为 5 的半个圆柱和棱长分别为 4,4,5 的长方体组 2 成的组合体,其表面积为 S=π ×2×5+π ×2 +2×16+2×20+20=92+ 14π . 故选 A. 11.C 由题意,函数 f(x)的定义域为(0,+∞); 由函数零点的定义,f(x)在(0,+∞)内的零点即是方程|x-2|-ln x=0, 即|x-2|=ln x 的根.

令 y1=|x-2|,y2=ln x(x>0),在同一个坐标系中画出两个函数的图象: 由图得,两个函数图象有两个交点, 故方程有两个根,即对应函数有两个零点,故选 C. x 12.A 因为函数 f(x)=log2(2 +t)为 “倍缩函数” ,满足存在[a,b]? D,使 f(x)在[a,b]上的值 域是[ , ], f(x)在[a,b]上是增函数; 所以



所以方程 2 - +t=0 有两个不等的实根,

x

设 =m(m>0).则 m -m+t=0 有两个不等的实根,且两根都大于 0,
2

9



解得 0<t< ,故选 A. 13.解析:由题图可知样本数据落在[40,60)内的频率为(0.01+0.005)×10=0.15,所以样本数 据落在[40,60)内的频数为 100×0.15=15.频率分布直方图中最高的矩形的中点为 75,所以 估计总体的众数为 75. 答案:15 75 14.解析:f′(x)=a(ln x+x· ) =a(ln x+1), 因为 f′(1)=3,所以 a=3. 答案:3 15.解析:由 sin B=8cos Asin C 及正、 余弦定理知 b=8c× 联立解得 b=4. 答案:4 16.解析:由题意可知 F(-c,0), 不妨取 M 设 A(xA,yA), 则由 =2 得 =2 , , ,整理得 a = b +c ,与 a -c =3b
2 2 2 2 2

解得 xA= ,yA= b,得 A 因为点 A 在双曲线上, 所以 =1,即 - =1,

,

所以

= ,即 = ,

即 e = ,所以 e= .

2

答案:

10

17.解:(1)由题意可得数列{an}的公差 d= (a5-a3)=2, 故 a1=a3-2d=1, 故 an=a1+2(n-1)=2n-1, 由 Sn+bn=2 可得 Sn=2-bn, 当 n=1 时,S1=2-b1=b1, 所以 b1=1, 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=2-bn-(2-bn-1), 所以 bn= bn-1,

所以{bn}是以 1 为首项, 为公比的等比数列,

所以 bn=1·( ) =( ) .

n-1

n-1

(2)由(1)可知 cn= =(2n-1)·2 , 所以 Tn=1·2 +3·2 +5·2 +?+(2n-3)·2 +(2n-1)·2 , 1 2 3 n-1 n 故 2Tn=1·2 +3·2 +5·2 +?+(2n-3)·2 +(2n-1)·2 , 两式相减可得 1 2 n-1 n -Tn=1+2·2 +2·2 +?+2·2 -(2n-1)·2 =1+2× -(2n-1)·2
n n 0 1 2 n-2 n-1

n-1

=-3+(3-2n)·2 . n 所以 Tn=3+(2n-3)·2 . 18.解:(1)由频率分布直方图知第七组频率为 f7=1-(0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+0.004)×10=0.08; 频率分布直方图如图所示.

(2)估计该校这次考试的平均成绩为 65×0.04+75×0.12+85×0.16+95×0.3 +105×0.2+115×0.06+125×0.08+135×0.04=97(分); (3)第六组有学生 3 人,分别记作 A1,A2,A3,第八组有学生 2 人,分别记作 B1,B2; 则从中任取 2 人的所有基本事件为(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),

11

(A3,B2),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2)共 10 个. 分 差 不 小 于 10 分 , 表 示 所 选 2 人 来 自 不 同 组 , 其 基 本 事 件 有 6 个:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2), 所以从中任意抽取 2 人,分差不小于 10 分的概率 P= = .

19.(1)证明:由于 CP∥AB,CP⊥CB,AB=BC,D 为 PC 中点,AB= CP, 所以四边形 ABCD 为正方形, 所以 AD⊥CD, 因为 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥AD. 又 PD∩CD=D, 故 AD⊥平面 PCD, 因为 AD? 平面 PAD, 所以平面 PAD⊥平面 PCD, (2)解:因为 AD∥BC, BC? 平面 PBC,AD?平面 PBC, 所以 AD∥平面 PBC, 所以点 A 到平面 PBC 的距离即为点 D 到平面 PBC 的距离. 又因为 PD=DC,E 是 PC 的中点, 所以 DE⊥PC. 由(1)知有 AD⊥平面 PCD, 所以有 AD⊥DE. 又 AD∥BC, 故 BC⊥DE. 于是,由 BC∩PC=C, 可得 DE⊥平面 PBC. 在 Rt△PDC 中,PD=DC=2, 所以 DE= ,PC=2 ,

又因为 AD⊥平面 PCD, 所以 AD⊥CP, 因为 AD∥BC, 所以 CP⊥BC, 所以 S△PEB= S△PBC= ×( ×BC×PC)= ,

所以

=

= ×DE×S△PEB

= .

12

20.解:(1)由条件可知 c=1,a=2, 2 2 2 故 b =a -c =3, 故椭圆 C 的标准方程是 + =1. (2)设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2). 若直线 AB⊥x 轴,则 x1=x2=4,不合题意. 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时, 设直线 l 的方程为 y=k(x-4). 由
2 2

消去 y 得
2 2

(3+4k )x -32k x+64k -12=0.① 由①的判别式 2 4 2 2 2 Δ =32 k -4(4k +3)(64k -12)=144(1-4k )>0, 解得 k < ,
2



=

= 可得 k = ,

2

将 k = 代入方程①得 7x -8x-8=0,

2

2

则 x1=

,x2=

.

又因为

=(4-x1,-y1),

=(x2-4,y2),



,

所以λ =

,

所以λ =

.
2

21.(1)解:函数的导数 f′(x)=3x -6x+a,f′(0)=a; 则 y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为 y=ax+2,

13

因为切线与 x 轴交点的横坐标为-2, 所以 0=-2a+2, 解得 a=1. 3 2 (2)证明:当 a=1 时,f(x)=x -3x +x+2, 3 2 设 g(x)=f(x)-kx+2=x -3x +(1-k)x+4, 由题设知 1-k>0, 2 当 x≤0 时,g′(x)=3x -6x+1-k>0,g(x)单调递增, g(-1)=k-1<0,g(0)=4>0, 即 g(x)在(-∞,0]上有一零点, 3 2 当 x>0 时,令 h(x)=x -3x +4, 则 g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). 2 h′(x)=3x -6x=3x(x-2), 可知 h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 所以在 x=2 时,h(x)取得最小值 h(2)=0, 所以 g(x)>h(x)≥h(2)=0, 所以 g(x)=0 在(0,+∞)上没有实根. 综上当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 22.(1)证明:因为 PA 是圆 O 的切线, 所以∠PAB=∠ACB, 又∠P 是公共角, 所以△ABP∽△CAP, 所以 = =2,

所以 AC=2AB. (2)解:由切割线定理得 2 PA =PB·PC, 所以 PC=20, 又 PB=5, 所以 BC=15, 又因为 AD 是∠BAC 的平分线, 所以 = =2,

所以 CD=2DB,所以 CD=10,DB=5, 又由相交弦定理得 AD·DE=CD·DB=50. 23.解:(1)因为 C( , )的直角坐标为(1,1),
2 2

所以圆 C 的直角坐标方程为(x-1) +(y-1) =3. 化为极坐标方程是 2 ρ -2ρ (cos θ +sin θ )-1=0.

14

(2)将
2

代入圆 C 的直角坐标方程(x-1) +(y-1) =3,
2

2

2

得(1+tcos α ) +(1+tsin α ) =3, 2 即 t +2t(cos α +sin α )-1=0. 所以 t1+t2=-2(cos α +sin α ),t1·t2=-1. 所以|AB| =|t1-t2|=

=2

.

因为α ∈[0, ).所以 2α ∈[0, ),

所以 2

≤|AB|<2

. ,2 ).

即弦长|AB|的取值范围是[2 24.解:(1)原不等式等价于 当 x≤1 时,-2x+3≤2, 即 ≤x≤1.

当 1<x≤2 时,1≤2,即 1<x≤2. 当 x>2 时,2x-3≤2,即 2<x≤ . 综上所述,原不等式的解集为 {x| ≤x≤ }. (2)当 a>0 时,f(ax)-af(x)=|ax-1|-|ax-a|=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|=|a-1|, 所以 2a-3≥|a-1|,所以 a≥2. 即实数 a 的取值范围为[2,+∞).

15


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