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平面向量的坐标运算(1)


高中数学教案

第五章 平面向量的坐标运算(1) (第 6 课时)

杨鸣泉



题:平面向量的坐标运算(1)

教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、复习引入: 1 向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
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2.向量加法的交换律: a + b = b + a 3.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) 4.向量的减法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差 即:a ? b = a + (?b)
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5.差向量的意义: OA = a,

OB = b, 则 BA = a ? b
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? ? 6.实数与向量的积:实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a ? ? (1)|λ a |=|λ|| a |; ? ? ? ?

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量

(2)λ>0 时λ a 与 a 方向相同;λ<0 时λ a 与 a 方向相反;λ=0 时λ a = 0 7.运算定律 λ(μ a )=(λμ) a ,(λ+μ) a =λ a +μ a ,λ( a + b )=λ a +λ b 8. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是: 有且只有一个非零实数λ,使 b =λ a

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9.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ1,λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2 (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一 λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量
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第五章 平面向量的坐标运算(1) (第 6 课时)

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二、讲解新课: 1.平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为 基底 任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得
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1 a ? xi ? yj …………○

我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,
2 记作 a ? ( x, y) …………○

其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴
2 式叫做向量的坐标表示 上的坐标,○
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与 .a 相等的向量的坐标也为 ..........( x, y )

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特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) 如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点

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作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确定 设 OA ? xi ? yj ,

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则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标; 反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是向量 OA 的坐标

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因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示 2.平面向量的坐标运算 (1) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
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设基底为 i 、 j ,则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y 2 ) j 即 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) (2) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
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AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)
(3)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y)
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第五章 平面向量的坐标运算(1) (第 6 课时)

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实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

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设基底为 i 、 j ,则 ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj ,即 ?a ? (?x, ?y) 三、讲解范例: 例 1 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1),B(?1, 3), C(3, 4), 求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点 解:当平行四边形为 ABCD 时,由 AB ? DC 得 D1=(2, 2) 当平行四边形为 ACDB 时,得 D2=(4, 6) 当平行四边形为 DACB 时,得 D3=(?6, 0) 例 2 已知三个力 F1 (3, 4), 求 F3 的坐标
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F2 (2, ?5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0

解:由题设 F1 + F2 + F3 = 0 即: ? 四、课堂练习:

得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0) ∴?

?3 ? 2 ? x ? 0 ?4 ? 5 ? y ? 0

? x ? ?5 ? y ?1

∴ F3 (?5,1)

1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP ?

1 MN , 求 P 点的坐标; 2 1 1 解:设 P(x, y) 则(x-3, y+2)= (-8, 1)=(-4, ) 2 2 4 ? ? 3 ?x ? 3 ? ? ? x ? ?1 1 ∴ ∴P 点坐标为(-1, - ) ?y?2? ?y ? ? 3 2 ? ? 2 2 ? ?
则 AB ?2 BC =(-3,-3)
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2.若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4)

3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证:四边形 ABCD 是梯形 解: ∵ AB =(-2, 3) ∴ AB ∥ DC

DC =(-4, 6)
且 | AB |?| DC |

∴ AB =2 DC ∴四边形 ABCD 是梯形

五、小结 1.向量的坐标概念 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:

2.向量坐标的运算

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