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湖北省黄石市有色第一中学2015-2016学年高二11月月考(期中)数学(文)试题


2015-2016 学年度上学期 11 月月考数学试卷 (高二文科) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试卷上. 本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,检

测时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 M={0,1,2},N={x|x -3x+2≤0},则 M∩N=( A.{1} 2.抛物线 y ? B.{2} C.{0,1}
2

) D.{1,2}

1 2 ) x 的焦点坐标是( 4 1 1 A. ( ,0) B. (0, ) C. (0,1) D. (1,0) 16 16 5 3.若 sin ? ? ? ,且 ? 为第四象限角,则 tan ? 的值等于( ) 13 12 12 5 5 A. B. ? C. D. ? 5 5 12 12
4.设函数 f (x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x) ,且当 x≥1 时,f(x)=lnx,则有(
1 1 A. f ( ) ? f (2) ? f ( ) 3 2 1 1 C. f ( ) ? f ( ) ? f (2) 2 3 1 1 B. f ( ) ? f (2) ? f ( ) 2 3 1 1 D. f (2) ? f ( ) ? f ( ) 2 3



? ? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 5.函数 f (x)= ? 的零点个数为( ? ?? 2 ? 1nx, x ? 0

) D.3

A.0
x+1

B.1

C.2

6.函数 y=a -3(a>0,a≠1)过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny=-2(m>0,n>0)上, 则
1 1 ? 的最小值为( n n

) C.
3? 2 2 3

A.3

B. 2 2

D.

3? 2 2 3

7.已知{an}是公差为 1 的等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,若 S8=4S4,则 a10=(



A.

17 2

B.

19 2

C.10

D.12 )

8.圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 上与直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离等于 2 的点共有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

9.短轴长为 5 ,离心率 e ? △ABF2 的周长为( A.3 ) B.6

2 的椭圆两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则 3

C.12

D.24

10 .已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一条渐近线与 x 轴的夹角为 ? ,且

?
4

?? ?

?
3

,则双曲线的离心率的取值范围是 B. ( 2 ,2) C. (1,2) D. (1, 2 )

A. (1, 2 )

11.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ' ( x) ,且满足关系式 f ( x) ? x2 ? 3xf ' (2) ? ln x ,则 f ' (2) 的 值等于( A.2 ) B.-2 C. )
9 4

D. ?

9 4

1 12.函数 f ( x) ? 1nx ? x 2 的图象大致是( 2

A.

B.

C.

D.

第 II 卷 (非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

ì x- 2? 0 ? ? 13.设变量 x,y 满足约束条件 í x - 2 y ? 0 ,则目标函数 z = 3 x + y 的最大值为______. ? ? ? x +2y - 8 ? 0
14.一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则这个几 何体的体积为 m.
3

15.已知直线 y=x+1 与曲线 y=1nx+a 相切,则 a 的值 为___________. 16.若在曲线 f (x,y)=0 上两个不同点处的切线重合,则称

这条切线为曲线 f (x,y)=0 的“自公切线”。下列方 ①

程:

x2 ? y 2 ? 1





y ? x2 ? | x |



③ y ? 3sin x ? 4cos x ; ④ | x | ?1 ?

4 ? y 2 对应的曲线中存在“自公切线”





__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.
2 17.已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?

1 ,x?R . 2

(Ⅰ)求函数 f (x)的最小值和最小正周期; (Ⅱ)已知 ?ABC 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f (C ) ? 0,若向量

?? ? m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.

18.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,设 E 是棱 CC1 的中点. ⑴求证:BD⊥AE; ⑵求证:AC∥平面 B1DE; ⑶求三棱锥 A-B1DE 的体积.

19.已知抛物线方程为 x =4y,过点 M(0,2)作直线与抛物线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 过 A,B 分别作抛物线的切线,两切线的交点为 P. ⑴求 x1x2 的值; ⑵求点 P 的纵坐标; ⑶求△PAB 面积的最小值.

2

1 1 20.已知函数 f ( x) ? x3 ? a 2 x ? a (a∈R) . 3 2

(Ⅰ)当 a=1 时,x∈,求 f (x)的最值.

(Ⅱ)若对任意 x∈上的最大值. ⑶证明对一切 x∈(0,+∞) ,都有 1nx ?
1 e
x

?

2 成立. ex

2015-2016 学年度上学期 11 月月考数学(高二文)试卷答案 1.【答案】D 【解析】试题分析:求出集合 N 的元素,利用集合的基本运算即可得到结论. 试题解析:解:∵N={x|x ﹣3x+2≤0}={x|(x﹣1) (x﹣2)≤0}={x|1≤x≤2}, ∴M∩N={1,2}, 故选:D. 2.【答案】C 【解析】根据抛物线的性质,得到抛物线的焦点坐标是(0,1)故选 C. 3.【答案】D 【 解 析 】 由 sin ? ? ?
2

tan ? ?

sin ? 5 ? ? ,故选 D. cos ? 12

5 12 , 且 ? 为 第 四 象 限 角 , 则 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ,则 13 13

4、 【答案】C 【解析】试题分析:由 f(2﹣x)=f(x)得到函数的对称轴为 x=1,再由 x≥1 时,f(x)=lnx 得到函数的图象,从而得到答案. 试题解析:解:∵f(2﹣x)=f(x)∴函数的对称轴为 x=1 ∵x≥1 时,f(x)=lnx∴函数以 x=1 为对称轴且左减右增,故当 x=1 时函数有最小值,离 x=1 越远,函数值越大 故选 C. 考点:对数值大小的比较. 5.【答案】C 【解析】法一:令 f(x)=0 得,

或 ∴x=3 或 x=e
2.

法二:画出函数 f(x)的图像可得其图象与 x 轴有两个交点,则函数 f(x)有 2 个零点. 6、 【答案】C 【解析】试题分析:函数 y=a ﹣3(a>0,a≠1)过定点 A(﹣1,﹣2) ,可得 m+2n=2.再利 用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 试题解析:解:函数 y=a ﹣3(a>0,a≠1)过定点 A(﹣1,﹣2) ,
x+1 x+1

∵点 A 在直线 mx+ny=﹣2(m>0,n>0)上,∴﹣m﹣2n=﹣2,即 m+2n=2. 则 + = 故选:C. 7. 【答案】B 【解析】∵公差 d ? 1 , S8 ? 4 S 4 ,∴ 8a1 ? = = .

1 1 1 ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) ,解得 a1 = ,∴ 2 2 2

a10 ? a1 ? 9d ?
8、 【答案】C

1 19 ? 9 ? ,故选 B. 2 2

2 2 【解析】圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 8 中圆心 ? ?1, ?2? ,半径 r ? 2 2 ,圆心到直线的距离为

d?

?1 ? 2 ? 1 2

? 2 ,结合图形可知圆上与直线的距离等于 2 的点共有 3 个

考点:1.直线和圆相交的位置关系;2.点到直线的距离 9、 【答案】B 【解析】 b ? B. 考点:椭圆定义及 a,b,c 基本关系. 10、 【答案】B 【解析】根据

5 c 2 3 , e ? ? , a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? ,根据椭圆定义知△ABF2 的周长为 4a=6,选 2 a 3 2

?
4

?? ?

?

b 的取值范围是 (1, 3) ,所以离心率的取值范围是 ( 2 ,2) 选 3 得到 a

B. 考点:双曲线离心率,a,b,c 的关系. 11、 【答案】D
' ' 2 ' 【 解 析 】 ∵ f ( x) ? x ? 3xf (2) ? ln x , ∴ f ( x) ? 2 x ? 3 f (2) ?

1 ,令 x?2 ,则 x

f ' (2) ? 4 ? 3 f ' (2) ?
' 即 2 f ( x) ? ?

1 , 2

9 9 ' ,∴ f (2) ? ? .故选:D. 2 4

考点:导数的加法与减法法则. 12、 【答案】B

【解析】试题分析:由已知中函数的解析式

,我们利用导数法,可以判

断出函数的单调性及最大值,进而分析四个答案中的图象,即可得到答案. 试题解析:解:∵ ∴ (x>0) (x>0)

则当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,函数 f(x)为增函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,函数 f(x)为减函数; 当 x=1 时,f(x)取最大值,f(1)= 故选 B 考点:对数函数的图像与性质. 13. 14. 9 4 ;

【解析】试题分析:由题意可知,一个简单的组合体,上面是一个底面是边长为 1 的正方形, 高是 2 的四棱柱,下面是一个长为 2,高为 1,宽为 1 的长方体,根据所给的长度,求出几何 体的体积. 试题解析:解:由三视图可知, 这是一个简单的组合体, 上面是一个底面是边长为 1 的正方形,高是 2 的四棱柱,体积是 1×1×2 下面是一个长为 2,高为 1,宽为 1 的长方体,体积是 1×1×2 ∴几何体的体积是 1×1×2+2×1×1=4m , 故答案为:4 15、2 16.【答案】②③
3

17、 【答案】解:(Ⅰ)

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?

1 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2
(5 分)

? sin(2 x ? ) ? 1 6
(Ⅱ)∵

?

∴ f ( x ) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? .

f (C ) ? sin(2C ? ) ? 1 ? 0 , 6

?

即 sin(2C ?

?
6

) ?1

∵ ∵

0?C ?? ,?

11? ? ? ? ,∴ 2C ? ? ,∴ C ? . 6 6 6 6 2 3 ?? ? a b ? , 得 b ? 2a, m与n 共线,∴ sin B ? 2sin A ? 0 .由正弦定理 sin A sin B ? 2C ? ?

?

?

2 2 ∵ c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a ? b ? 2ab cos

?

3

, 故 a ? 3, b ? 2 3 ( 10 分)

18

【证明】连接 BD,AE.因四边形 ABCD 为正方形,故 BD ? AC , 因 EC ? 底面 ABCD, BD ? 面 ABCD,故 EC ? BD ,又 EC ? AC ? C , 故 BD ? 平面 AEC , AE ? 平面 AEC ,故 BD ? AE .(4 分) ⑵.连接 AC1 ,设 AC1 ? B1D ? G ,连接 GE , 则 G 为 AC1 中点,而 E 为 C1C 的中点,故 GE 为三角形 ACC1 的中位线,

AC // GE , GE ? 平面 B1DE , AC ? 平面 B1DE ,故 AC // 平面 B1DE .(8 分)
⑶.由⑵知,点 A 到平面 B1DE 的距离等于 C 到平面 B1DE 的距离, 故三棱锥 A ? B1DE 的体积 VA? B1DE ? VC ? B1DE ,

2 1 2 ? 而 VC ? B DE ? VD? B CE ? 1 ? S B CE ? DC ? 1 ? ? ? ? 1? 2 ? ? 2 ? ,三棱锥 A ? B1DE 的体积为 3 .(12 1 1 1 3 3 ?2 3 ?
分)

2 19 ( 1 ) 由 已 知 直 线 AB 的 方 程 为 y ? kx ? 2 , 代 入 x ? 4 y 得 x ? 4kx ? 8 ? 0 ,

2

? ? 16k 2 ? 32 ? 0 ,∴ x1 ? x 2 ? 4k , x1 x 2 ? ?8 .(3 分)

x1 (2)由导数的几何意义知过点 A 的切线斜率为 2 ,
y?
∴切线方程为

x12 x1 x x x2 ? ( x ? x1 ) y? 1 ? 1 4 2 2 4 ① ,化简得 y?
2 x2 x x2 ? 2 4 ②

同理过点 B 的切线方程为

2 x ? x2 x1 x x12 x 2 x x 2 x? 1 ? ? ? 2 ,③ 4 2 4 ,得 由 2

将③代入①得 y ? ?2 ,∴点 P 的纵坐标为 ? 2 .(7 分) (3)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 , 由(1)知 x1 ? x 2 ? 4k , x1 x 2 ? ?8 ,

d?
∵点 P 到直线 AB 的距离为 线段 AB 的长度为

2k 2 ? 4 k 2 ?1 ,

AB ? x1 ? x 2 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k 2
S ?PAB
2 3 1 2k ? 4 ? ? ? 4 k 2 ? 2 ? 1 ? k 2 ? 4(k 2 ? 2) 2 ? 8 2 2 k 2 ?1 ,

? 4 k 2 ? 2 ? 1? k 2 .

当且仅当 k ? 0 时取等号,∴△ PAB 面积的最小值为 8 2 .(12 分)

20(1)最大值 7/6,最小值-1/6 (Ⅱ)f′(x)=(x+a) (x﹣a) ,令 f′(x)=0,x1=﹣a,x2=a, (1)当 a=0 时,f(x)在上的最大值 Fmax(x)=max{F(a) ,F(2a)} ∵ ∴当 当 时,F(a)﹣F(2a)≥0,Fmax(x)=F(a)=lna 时,F(a)﹣F(2a)<0,Fmin(x)=F(2a)=2ln2a(7 分)

(3)问题等价于证明 由(2)可知 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞) )的最小值是

, ,当且仅当 时取得.



,则



易得



当且仅当 x=1 时取到,从而对一切 x∈(0,+∞) , 都有 成立.(12 分)


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