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吉林省长春市十一高中2009-2010学年下学期高一年级期末考试数学试卷(理科)


2009吉林省长春市十一高中 2009-2010 学年下学期 高一年级期末考试数学试卷(理科) 高一年级期末考试数学试卷(理科)
考试说明: 考试说明:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,试卷满分 120 分,附加题 10 分,答题时间为 120 分钟.考试结束后,将选择题答题卡和 答题纸一并交回,试题卷自己保留. 注意事项: 注意事项:1.答题前,考生必须将自己的班级,姓名,考号,座位序号填写清楚. 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书 写,字体工整,笔迹清楚. 3.保持卡(卷)面清洁,不要折叠,不要弄破,不准使用涂改液,刮纸刀. (每小题 一,选择题: 每小题 4 分,共 48 分) 选择题: ( 1.设 a,b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( A. a < b
2 2

) D. ) D. 16

B. ab < a b
2 2

C.

1 1 < 2 2 ab a b

b a < a b

2.在等比数列{ a n }中,已知 a1 a 3 a11 = 8 ,那么 a 2 a8 的值为( A. 4 B. 6 C. 12

3.若直线 l 1 :ax+ (1 a ) y 3 = 0 与直线 l 2 : ( a 1) x + ( 2a + 3) y 2 = 0 互相垂直,则

a 的值为(
A. 3 4.不等式

) B.

x ( x + 2) < 0 的解集为( x3

1 2

C. 0 或 )

3 2

D. 1 或 3

A. {x x < 2 或 0 < x < 3} C. {x x < 2 或 x > 0}
2 2 2

B. {x 2 < x < 0 或 x > 3} D. { x x < 0 或 x > 3}
2

5.点 M( x 0 , y 0 )在圆 x + y = R 外,则直线 x 0 x + y 0 y = R 与圆的位置关系是( A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 )

)

6.在数列{ a n }中, a1 = 2, a n +1 = a n + ln(1 + A . 2 + ln n C. 2 + n ln n D. 1 + n + ln n

1 ) ,则 a n = ( n

B . 2 + ( n 1) ln n
y
C(1,2)

7.当点 M( x, y )在如图所示的三角形 ABC 内(含边界) 运动时,目标函数 z = kx + y 取得最大值的一个最优 解为(1,2) ,则实数 k 的取值范围是( A. (∞,1] ∪ [1,+∞) B. [ 1,1]
-1A(0,1)

B(2,1)

)
o x

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C. (∞,1) ∪ (1,+∞)

D. (1,1) )

8. 已知等差数列的前 n 项和为 S n , S13 < 0, S12 > 0, 则此数列中绝对值最小的项为 若 ( A.第 5 项 B.第 6 项
2 2

C.第 7 项

D. 第 8 项

Q 且此圆被分成的两段弧长之比为 1: 9. 若直线 y = kx + 1 与圆 x + y = 1 相交与 P, 两点,
2,则 k 的值为( ) A. 3 或 3 B.

3

C. )

2或 2

D. 2

10.下列函数中, y 的最小值为 4 的是( A. y = x +

4 x

B. y =

2( x 2 + 3) x2 + 2

4 (0 < x < π ) D. y = e x + 4e x sin x 11. 过直线 x + y = 0 上一点 P 作圆 ( x + 1) 2 + ( y 5) 2 = 2 的两条切线 l1 ,l 2 , , 为切点, A B
C. y = sin x + 当直线 l1 ,l 2 关于直线 y = x 对称时, ∠APB =( A. 30°
2

) D. 90° )

B. 45°

C. 60°

12.若 a, b, c > 0 ,且 a + 2ab + 2ac + 4bc = 12 ,则 a + b + c 的最小值是( A.

3

B. 2 3

C. 2

D. 3

(每小题 二,填空题: 每小题 4 分,共 16 分) 填空题: (

x y + 4 ≥ 0 13.不等式组 x + y ≥ 0 所表示的平面区域的面积是 ____________. x ≤ 3
14.点 ( x, y ) 在直线 x + 3 y 2 = 0 上移动时, z = 2 + 8 的最小值为
x y

. . .

15. 一个等比数列,前 n 项和为 S n ,若 S 30 = 13S10 , S10 + S 30 = 140, 则 S 20 = 16.直线 y = x + b 与曲线 x =

9 y 2 恰有一个公共点,则 b 的取值范围是

2009~ 学年度高一下学期期末 长春市十一高中 2009~2010 学年度高一下学期期末考试 理科) 数 学 试 题 答 题 纸(理科) 填空题: (每小题 二,填空题: 每小题 4 分,共 16 分) ( 13. 14. 15. 16.

(共 三,解答题: 共 56 分) 解答题: ( 17. (10 分)已知等差数列{ a n }中 a 2 = 9, a 5 = 21 . (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)若 bn = 2
an 1

,求数列 {log 2 bn } 的前 n 项和 S n .
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18. (10 分)要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影 2 部分) ,这两栏的面积之和为 18 000 cm ,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白 的宽度为 5 cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位 cm) ,能使矩形广告面积最小?

19.(12 分) 已知关于 x 的一元二次不等式 ( a + 1) x 2 + ax + a > b( x 2 + x + 1) 对任意实数

x 都成立,试比较实数 a, b 的大小.

x ≥ 0 20. 分) 已知平面区域 y ≥ 0 (12 恰好被面积最小的圆 C: x a ) 2 + ( y b) 2 = r 2 ( x + 2 y 4 ≤ 0
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及其内部覆盖. (1)求圆 C 的方程; (2)斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A,B,满足 CA ⊥ CB ,求直线 l 的方程.

座位号 21.(12 分)如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A( 2,0 ) B(0, 2 2 ) , ,顶点 C 在 x 轴 上,点 P 为线段 OA 的中点,设圆 M 是△ABC 的外接圆,若 DE 是圆 M 的任意一条直径, 试探究 PD PE 是否是定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由. y E

A

P O C

x

B D

22.附加题 附加题(10 分)以数列 {a n } 的任意相邻两项为坐标的点 Pn ( a n , a n +1 ) 附加题 ( n ∈ N ) 都 在 一 次 函 数 y = 2 x + k 的 图 象 上 , 数 列 {bn } 满 足
*

bn = a n +1 a n (n ∈ N * , b1 ≠ 0) .
(1)求证:数列 {bn } 是等比数列;
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(2)设数列 {a n } , {bn } 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,且 S 6 = T4 , S 5 = 9 , 求 k 的值.

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期末考试数学(理)答案 一.选择题 1.C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 二.填空题 13.25 三.解答题 17. 解:∵ a 2 = 9, a 5 = 21, a5 a 2 = 3d ∴d=4 ∴ a n = 4n + 1 ∴ bn = 2
b a n 1

7.A 8.C 9.A 10.D 11.C 12.B

14.4

15.40

16. 1 < b ≤ 1 或 b = 2

…5 分 …6 分 …8 分

= 24n
24 n

∴log 2n = log 2 =4n ∴ log 2 n

{

b

}是以 4 为首项,4 为公差的等差数列

n( 4 + 4 n) = 2n 2 + 2n …10 分 2 18. 解: 设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000,广告的高为 (a+20) cm,宽为 (2b+25)
∴ Sn = cm,其中 a>0,b>0 广告面积 s=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500 …2 分 …5 分

=18500+25a+40b≥18500+2 25a 40b =18500+2 1000ab =24500 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b=

a = 120 5 a 代入 ab=900 中得 …9 分 8 b = 75

即当 a=120,b=75 时,S 取最小值 24500,广告面积最小.…10 分 19. 解:原不等式可变形为 (a b + 1)x 2 + ( a b) x + a b > 0 …2 分 又不等式对任意的实数 x 都成立,则

a b +1 > 0 2 (a b) 4(a b + 1)(a b) < 0 a b +1 > 0 (a b)[3(a b + 1) + 1] > 0
∴ a b >0 ∴ a >b

…7 分

…12 分

20.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以 o(0,0), p ( 4,0), Q (0,2) 构成的三角形及其内部,

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且⊿ OPQ 是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.…2 分 故圆心是(2,1) ,半径是 5 ,所以圆 C 的方程是 x 2) + ( y 1) =5 …6 分 (
2 2

(2)设直线 l 的方程是: y = x + b

…7 分

因为 CA ⊥ CB ,所以圆 C 到直线 l 的距离是

10 2
…10 分

2 1+ b 1+1

=

10 2

解得 b = 1 ± 5 所以直线 l 的方程是: x y 1 ± 5 = 0 21.解: AOB ∽ BOC ∴ …12 分

AO BO

=

BO CO

∴ CO =4 …2 分

∴C(4,0)AC 中点为 M(1,0) 半径为 3 ∴圆 M 的方程(⊿ABC 的外接圆)为 x 1 2 + y 2 = 3 2 ( ) 设过圆心 M 的任意一直线为 x = my + 1 , …5 分 …4 分



x = my + 1 2 2 ( x 1) + y = 9
…7 分

∴ ( m 2 + 1) y 2 = 9

设直线 x = my + 1 与圆 ( x 1) 2 + y 2 = 9 的两个交点为 D( x1 , y1 ),E( x 2 , y 2 ) 则 PE =( x1 + 1, y1 ) PD =( x 2 + 1, y 2 ) ,

PE PD = x1 + 1 ( x 2 + 1) + y1 y 2 = (my1 + 2)(my 2 + 2) + y1 y 2 = (m 2 + 1) y1 y 2 + 4 …9 分 ( )
由 ( m 2 + 1) y 2 =9,得 y1 y 2 =

9 代入上式 m +1
2

PE PD = 9 + 4 = 5

…11 分

当 ED 为横轴时,D( 2,0 ),E ( 4,0) , PD = (1,0) , PE = (5,0) ∴ PE PD = 5 …12 分
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22. (附加题)解: (1)点 p n ( a n , a n +1 )(n ∈ N ) 都在一次函数 y=2x+k 图像上,则有 a n +1 = 2a n + k
*

bn +1 = a n + 2 - an +1 =(2 an +1 +k)-(2 a n +k)=2( an +1 - a n )=2 bn .


bn +1 =2 bn

故 {bn } 是以 b1 = a 2 a1 = 2a1 + k a1 = k + a1 为首项,2 为公比的等比数列.…4 分 (2)∵ bn =( a1 + k ) 2
n 1

= an +1 - a n

a 2 a1 = (k + a1 ) 2 0 a3 a 2 = (k + a1 ) 21 n 1 a n =( a1 + k ) 2 -k n2 a n a n 1 = (k + a1 ) 2
∴ bn a n = k ,又 S 6 = T4 即 a1 + a 2 + + a 6 = b1 + b2 + b3 + b4 ∴ a 5 + a 6 = 4k ∴ a1 = 即 ( a1 + k ) 2 4 + ( a1 + k ) 2 5 2k = 4k

7 k 8 k n 1 ∴ a n = ( ) 2 k 又 S 5 = 9 8 k (1 2 5 ) ∴ 8 5k = 9 1 2
…10 分

∴k=8

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