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2013届高三数学-章末综合测试题(3)函数、基本初等函数(Ⅰ)-函数的应用


2013 届高三数学章末综合测试题(3)函数、基本初等函数(Ⅰ)、函数的应用 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.函数的定义域是( ) A.[1,+∞) B. C. D. 解析:要使函数有意义,只要 得 0<5x-4≤1,即<x≤1.∴函数的定义域为. 答案:D 2.设 a=20.3,b=0.32,c=logx(x2+0.3)(x>1),则 a,

b,c 的大小关系是( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a 解析:∵a=20.3<21=2,且 a=20.3>20=1,∴1<a<2. b=0.32<0.30=1. ∵x>1,∴c=logx(x2+0.3)>logxx2=2. ∴c>a>b. 答案:B 3.已知函数 f(x)=ln(x+),若实数 a,b 满足 f(a)+f(b-1)=0,则 a+b 等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.不确定 解析:观察得 f(x)在定义域内是增函数,而 f(-x)=ln(-x+)=ln=- f(x), ∴f(x)是奇函数,则 f(a)=-f(b-1)=f(1-b). ∴a=1-b,即 a+b=1. 答案:C 4.已知函数 f(x)=则不等式 f(x)>0 的解集为( ) A.{x|0<x<1} B.{x|-1<x≤0} C.{x|-1<x<1} D.{x|x>-1} 解析:当 x>0 时,由-log2x>0,得 log2x<0,即 0<x<1. 当 x≤0 时,由 1-x2>0,得-1<x≤0. 故不等式的解集为{x|-1<x<1}. 答案:C 5.同时满足两个条件:①定义域内是减函数;②定义域内是奇函数的函数是( ) A.f(x)=-x|x| B.f(x)=x3 C.f(x)=sinx D.f(x)= 解析:为奇函数的是 A、B、C,排除 D. A、B、C 中在定义域内为减函数的只有 A. 答案:A 6.函数 f(x)=x 与函数 g(x)=在区间(-∞,0)上的单调性为( ) A.都是增函数 B.都是减函数 C.f(x)是增函数,g(x)是减函数 D.f(x)是减函数,g(x)是增函数 解析:f(x)=x 在 x∈(-∞,0)上为减函数,g(x)=在(-∞,0)上为增函数. 答案:D 7.若 x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则( ) A.a<b<c B.c<a<b

C.b<a<c D.b<c<a 解析:a=lnx,b=2lnx=lnx2,c=ln3x. ∵x∈(e-1,1),∴x>x2.故 a>b,排除 A、B. ∵e-1<x<1,∴-1<lnx<ln1=0. ∴lnx<ln3x.∴a<c.故 b<a<c,选 C. 答案:C 8.已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若 a=f(log47), , c=f(0.2-0.6),则 a、b、c 的大小关系是( ) A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.a<b<c 解析:函数 f(x)为偶函数,b=f(log3)=f(log23),c=f(0.2-0.6)=f(50.6).∵50.6>2>log23 =log49>log47,f(x)在(0,+∞)上为减函数,∴f(50.6)<f(log23)<f(log47),即 c<b<a. 答案:A 9.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2 =2x,其中 x 为销售量(单位:辆),若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润 为( ) A.45.606 万元 B.45.6 万元 C.46.8 万元 D.46.806 万元 解析:设在甲地销售 x 辆,则在乙地销售(15-x)辆,总利润 L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30, 当 x==10.2 时,L 最大. 但由于 x 取整数,∴当 x=10 时,能获得最大利润, 最大利润 L=-0.15×102+3.06×10+30=45.6(万元). 答案:B 10.若 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+3)=f(x),f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6) 内解的个数的最小值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:f(5)=f(2+3)=f(2)=0,又∵f(-2)=f(2)=0,∴f(4)=f(1)=f(-2)=0, ∴在(0,6)内 x=1,2,4,5 是方程 f(x)=0 的根. 答案:B 11.函数 f(x)=π x+log2x 的零点所在区间为( ) A.[0,] B.[,] C.[,] D.[,1] 解析:因为 f(x)在定义域内为单调递增函数,而在四个选项中,只有 f·f<0,所以零点所在 区间为. 答案:C 12.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=3f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,则当 x∈[-4, -2]时,f(x)的最小值是( ) A.- B.- C. D.-1 解析:f(x+2)=3f(x), 当 x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,当 x=1 时,f(x)取得最小值. 所以当 x∈[-4,-2]时,x+4∈[0,2],

所以当 x+4=1 时,f(x)有最小值, 即 f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(1)=-. 答案:A 第Ⅱ卷 (非选择 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若函数 f(x)=ax2+x+1 的值域为 R,则函数 g(x)=x2+ax+1 的值域为__________. 解析:要使 f(x)的值域为 R,必有 a=0.于是 g(x)=x2+1,值域为[1,+∞). 答案:[1,+∞) 14.若 f(x)是幂函数,且满足=3,则 f=__________. 解析:设 f(x)=xα ,则有=3,解得 2α =3,α =log23, 答案: 15.若方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间, 则实数 k 的取值范围是__________. 解析:设函数 f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,结合图像可知, 即解得 故实数 k 的取值范围是. 答案: 16.设函数 f(x)= 若 f(x)为奇函数,则当 0<x≤2 时,g(x)的最大值是__________. 解析:由于 f(x)为奇函数,当-2≤x<0 时,f(x)=2x 有最小值为 f(-2)=2-2=,故当 0<x ≤2 时, f(x)=g(x)-log5(x+)有最大值为 f(2)=-, 而当 0<x≤2 时, y=log5(x+)为增函数, 考虑到 g(x)=f(x)+log5(x+),结合当 0<x≤2 时,f(x)与 y=log5(x+)在 x=2 时同时取到最 大值,故[g(x)]max=f(2)+log5(2+)=-+1=. 答案: 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17.(10 分)已知函数 f(x)=()x,x∈[-1,1],函数 g(x)=f2(x)-2af(x)+3 的最小值为 h(a),求 h(a). 解析:∵x∈[-1,1],∴x∈. 设 t=x,t∈, 则φ (t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2, 当 a<时,g(x)min=h(a)=φ =-; 当≤a≤3 时,g(x)min=h(a)=φ (a)=3-a2; 当 a>3 时,g(x)min=h(a)=φ (3)=12-6a. ∴h(a)= 18.(12 分)设直线 x=1 是函数 f(x)的图像的一条对称轴,对于任意 x∈R,f(x+2)=-f(x), 当-1≤x≤1 时,f(x)=x3. (1)证明:f(x)是奇函数; (2)当 x∈[3,7]时,求函数 f(x)的解析式. 解析:(1)∵x=1 是 f(x)的图像的一条对称轴, ∴f(x+2)=f(-x). 又∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即 f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数.

(2)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 若 x∈[3,5],则(x-4)∈[-1,1], ∴f(x-4)=(x-4)3. 又∵f(x-4)=f(x), ∴f(x)=(x-4)3,x∈[3,5]. 若 x∈(5,7],则(x-4)∈(1,3],f(x-4)=f(x). 由 x=1 是 f(x)的图像的一条对称轴,可知 f[2-(x-4)]=f(x-4), 且 2-(x-4)=(6-x)∈[-1,1], 故 f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)3=-(x-6)3,x∈(5,7] 综上,可知 f(x)= 19.(12 分)已知函数 f(x)=-,常数 a>0. (1)设 m·n>0,证明:函数 f(x)在[m,n]上单调递增; (2)设 0<m<n,且 f(x)的定义域和值域都是[m,n],求 n-m 的最大值. 解析:(1)任取 x1,x2∈[m,n],且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=· , 因为 x1<x2,x1,x2∈[m,n],且 m·n>0 所以 x1x2>0,即 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在[m,n]上单调递增. (2)因为 f(x)在[m,n]上单调递增,f(x)的定义域、值域都是[m,n]?f(m)=m,f(n)=n,即 m, n 是方程-=x 的两个不相等的正根?a2x2-(2a2+a)x+1=0 有两个不相等的正根, 所以Δ =(2a2+a)2-4a2>0,>0?a>. ∴n-m== ,a∈,∴a=时,n-m 取取最大值. 20. (12 分)如图所示, 图①是定义在 R 上的二次函数 f(x)的部分图像, 图②是函数 g(x)=loga(x +b)的部分图像. (1)分别求出函数 f(x)和 g(x)的解析式; (2)如果函数 y=g(f(x))在区间[1,m)上单调递减,求 m 的取值范围. 解析:(1)由题图①得,二次函数 f(x)的顶点坐标为(1,2), 故可设函数 f(x)=a(x-1)2+2. 又函数 f(x)的图像过点(0,0),故 a=-2. 整理,得 f(x)=-2x2+4x. 由题图②得,函数 g(x)=loga(x+b)的图像过点(0,0)和(1,1), 故有∴ ∴g(x)=log2(x+1)(x>-1). (2)由(1)得,y=g(f(x))=log2(-2x2+4x+1)是由 y=log2t 和 t=-2x2+4x+1 复合而成的函 数, 而 y=log2t 在定义域上单调递减,要使函数 y=g(f(x))在区间[1,m)上单调递减,必须 t=- 2x2+4x+1 在区间[1,m)上单调递减,且有 t>0 恒成立. 由 t=0,得 x=. 又 t 的图像的对称轴为 x=1, 所以满足条件的 m 的取值范围为 1<m<. 21.(12 分)金融风暴对全球经济产生了影响,温总理在广东省调研时强调:在当前的经济形

势下,要大力扶持中小企业,使中小企业健康发展.为响应这一精神,某地方政府决定扶持 一民营企业加大对 A、B 两种产品的生产.根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正 比,其关系如图①,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②.(注:利润与 投资单位:万元) (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万 元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元?(精确到 1 万元) 解析:(1)设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元. 设 f(x)=k1x,g(x)=k2. 由题图①知,f(1)=,所以 k1=. 又由题图②知,g(4)=,所以 k2=. 从而 f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0). (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入(10-x)万元. 设企业利润为 y 万元, 则 y=f(x)+g(10-x)=+(0≤x≤10). 令=t, 则 y=+t=-(t-)2+(0≤t≤). 当 t=时,ymax=≈4.此时 x=10-=3.75. 故当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得的最大利润约为 4 万元. 22.(12 分)已知函数 f(x)=(常数 a>0),且 f(1)+f(3)=-2. (1)求 a 的值; (2)试研究函数 f(x)的单调性,并比较 f(t)与 2 的大小; (3)设 g(x)=-m(x+2)-2,是否存在实数 m,使得 y=g(x)有零点?若存在,求出实数 m 的 取值范围;若不存在,请说明理由. 解析:(1)由 f(1)+f(3)=+=-2, 得 a(a-2)=0. 又 a>0,所以 a=2. (2)由(1)知,函数 f(x)=, 其定义域为(-∞,2)∪(2,+∞). 设 x1,x2∈(-∞,2),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=- =<0, 即 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在区间(-∞,2)上是增函数. 同理,可得 f(x)在区间(2,+∞)上是增函数. 令 h(x)==+2, 则函数 h(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数. 当 t∈时,f(t)>f=,h(t)<h= (3)由(1)得,g(x)= -m(x+2)-2. 函数 g(x)的定义域为{x|x≥-2,且 x≠2}. 故 g(x)=-m(x+2)-2(x≥-2,且 x≠2), 令 t=(t≥0),

所以 g(x)=0 可转化为方程-mt2+t-2=0. 要使 g(x)有零点,则方程-mt2+t-2=0 必有正实数根, 当 m=0 时,t=2,=2,∴x=2,这与定义域不符. 当 m>0 时,>0,>0,所以如果方程存在实数根,则必为正实数根,故只需使Δ =1-8m ≥0 即可. 故 m>0 时,满足条件的 m 的取值范围为 0<m≤, 当 m<0 时,方程有一正根一负根,符合题意. 所以 m 的取值范围是(-∞,0)∪.


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