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什么是悖论


2 0 0 7 年 第4 6 卷

第2 期

数学通报

什么是悖论
王世 强 ( 北京师范大学数学科学学院 1 0 0 8 7 5

     在上世纪初前后 , 有一类 自相矛盾的语句引起 了数学家们的关注. 他们为了在数学的基础性研究 中避免类似的矛盾而煞费苦心, 从而促进了数学基

础及数理逻辑的发展. 这类语句称为悖论, 现在举 几个例子 .
1 罗素悖论

     哲学家兼数学家罗素( B .  R u s s e l l ) 在考虑集合 的 理论时, 想到了“ 所有的集合” , 以及“ 所有的集 合” 是否也能组成一个集合呢? 如果能, 记它为 A , 则应有: ( 集合) A任 ( 所有的集合组成的) A . 但我们 日 常所见到的集合并不如此, 例如集合 { 司, 它只有 1 个元素 a , 而{ 司 就不是{ 司 的元素了. 所以, 我们 日 常见到的任一集合 S , 都具有 SvS 这样的性质. 现在考虑“ 所有适合 S  0  S 的集合 S 所组成” , 记之 为B , 我们问: 是否 B任 B ? 1 . 1 如果 BEB , 则( 左边的) B 是( 右边的) B的元 素, 再根据( 右边的) B的定义, ( 左边的) B应适合 B  V  B . 这与上述的“ 如果 B  E  B ' , 矛盾. 1 . 2 如果 B  Z  I B , 则根据上述 B的定义, 又应有 ( 这个) BE( 上述的) B , 这也与“ 如果 B  9 }  B ' , 矛盾. 1 . 3 罗素悖论还能有一些更通俗的说法. 例如若 把集合的“ 自己属于自己” 换成长发人们“ 自己给自 己梳头” , 可以得到下面的悖论: 一位长发人 A说, “ 我给且只给我单位 自己不梳头的长发人梳头, 问 " A 是否给A梳头? ” . 无论“ 是” 或“ 否” , 都能仿上得 出矛盾. ( 罗素原说是“ 理发” , 但“ 自己给自己理发” 事实上迄今似还不可能) . 我们还可以把“ 梳头” 换 为“ 喂饭” 、 “ 穿衣” 等等. 2 谎话悖论( 也称为说谎者悖论)      “ 如果我说: 我刚才说的那句话是谎话” , 这句 话可能是真话, 也可能是假话, 但并不 自 相矛盾. 如 果我说: “ 你说的某句话是谎话” , 这句话也是可真

可假, 但并不 自 相矛盾. 现在我说: “ 我现在正说的 这句话是谎话” , 这就 自 相矛盾了. 记此话为 尸 , 如 果 尸真, 则从 尸的含意来看, 尸应为假. 如果 尸假, 则从 尸的字面来看, 我说的完全真实, 从而 尸为真. 3 再举一个文字方面的悖论, 它的原版是外文的, 现在我们换用汉文来说. 我们暂时把当前我国惯用 的汉字及文法固定下来. ( 事实上, 随着我国人民生 活的发展变化, 汉字及其文法也是发展变化的, 此 事不在此多说. ) 在这种固定的汉字及文法下, 有些 汉字或语句能表示自 然数: 如“ 一周的日 数” 表示7 , “ 正常人的手指数” 表示 1 0 , “ 公历闰年天数” 表示 3 6 6 , 等等. ( 这里要求用“ 非数字” 的汉字语句表示. 若是用“ 数字语言” , 则任何 自然数都能用汉字表

示, 如3 6 6 为“ 三百六十 六” 或“ 叁佰陆拾陆” 等等. )
在这种意义下, 有些自然数可以用一个汉字语句表 示, 而更多的( 无限多个) 自 然数则不能. 这样, 我们 可以说“ 第一个不能用只含一个汉字的非数字汉文 语句表示的自 然数” , “ 第一个不能用只含两个汉字 的非数字汉文语句表示的自然数” , ……, 当说到 “ 第一个不能用只含二十八个汉字的非数字汉文语 句表示的自 然数” 这句话( 记为 尸 ) 时, 怪事发生了: 我们设 尸 所说的自 然数为a , 从而, 。 是被尸 表示了; 但是, 表示 a 的这句话尸 , 却恰恰就是一个“ 只含二 十八个汉字的非数字汉文语句” , 因而按照 尸的含 意, a 又是不能用P表示的; 这就得出了矛盾. 4 上述的文字悖论说明, 我们的日常语言会在其 形式和含意方面发生矛盾, ( 更专业的说法是“ 语 法” 和“ 语义” 的矛盾) , 所以我们的日 常语言不能完 全适用于研究严密的科学, 特别是不适用于逻辑学 和数学中的数理逻辑学( 它是用数学方法研究逻辑 的科学) . 为了避免这种语法和语义的矛盾, 在数理 逻辑中产生了严格区分语法和语义的“ 形式化语 言” 和相应的“ 形式推演” 方法. ( 读者可参看这方面
的专书) .

数学通报

2 0 0 7 年

第4 6 卷

第2 期

数学问题解答
2 0 0 7 年1 月号问题解答
( 解答由问题提供人给出)

万 ( 不 n  +  厄 2 ) 1 ( n  -  1 ) ( , 二 ’ 一 6 )
( n+2 ) ( n一1 )一 n+2 '

1 6 5 1 已知 二 , y , z -R C + , n EN ,
求证:
x           

3    ( n 一1 )

_一3





n x+ Y+ 之

x+n y+z

+ 一一 . z 一 一 一
x + Y+ ) L z

1 6 5 2 在△A B C中,
‘ 7 丫- 月 片

   3 n + 2*

求 证 : s i n 晋 一 合 + s i n 合 C O s 合 + s i n 夸 C O s 普 、
证明
通- 2
A      . B

( 陕西省绥德中学 刘永春 7 1 8 0 0 0 ) 证明 当 n  =1   时, 不等式显然成立. 当 n)2 时,
n x + y + z 二 a,

           ( 山东省高青二中 董 林 2 5 6 3 0 0 ) 不妨设 A  _ } >  B  ,  C , 则有

x+n y+z二 6 ,
x+ y+ n z 二 c,

s i n 万 )s i n 万 )s i n 成立, 由排序不等式可得

合 及 c 。 ?

B             C

  八 j  l

   蛋

C o s 万 ‘c o s 万


! 一
   d ”  刁                  

( n+1 ) a一b一。 n ( n+1 ) 一2

s i n 万c o s 万+ s i n 万c o s 百+ s i n 百c o s 百 簇s i n 万c o s 百+ s i n 百c o s 万+ s i n 万c o s 百
A            C . B     B . C     A

A           B     .    B      C

. C     A

   劣 y 名

  - 一  

( n+1 ) b -c





一2 n    ( n+1 )

n+ 1 ) c一 a 一 b

n ( n+1 ) 一2

于 是 - 一 一 x ‘ 一+ 一 一 ‘ V 一 一+ 一 - 一 三 一
口 ( n+2 ) ( n一1 ) ( n+1 ) b一。 一a ( n+1c c

n x + y + z    x+ n y + z    x+ y+ n z 1          a一 b
一 a

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m_ i r . 二了 八 - 4 ' 2 - }  

= 。 。 ? 普 ( 1 + s i n 普 ) 二 s i n ( 普 ? 合 ) + s i n 夸 c o s 夸 设 x=      =s i n 由 ” , “ 〕 “ 知 ” E ( 0 , 晋 )
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     罗素悖论则提醒我们, 在研究关于集合的理论 时应该小心地避免矛盾. 因而产生了罗素的“ 类型 理论” ; 由E .  Z e r m e l o 提出又经 A .  A .  F r a e n k e l 改进的 Z F C 公理集合论; 还有另外几种公理集合论. 其中以 Z F C 公理集合论被数学家们用得最多. 5 顺便说一下: 有不少数学家认为不必要使用数 理逻辑及公理集合论, 因为他们的数学思维已经十 分严密了. 但是, 无情的事实说明: 数理逻辑的各分 支( 包括公理集合论) 可以用来帮助解决其他数学 学科中的困难问题, 这方面的例子现在已有不少, 读者可参看各种数学书刊或下列参考文献. 6 另外, 悖论并不只是数学中 才有. 据说在著名小 说《 唐? 吉诃德》 中( 笔者未看过, 是叶著著同志告 知的, 而叶又是听她母亲丁钟女士说的) 也有下列
的悖论



令f ( x ) =

b 1

1                  f , , . 、 Ib    a\ I  c       a\

=( 1 一 x 2 ) ( 1 + x ) 2 二1 + 2 : 一 2 x 3 一二 a x 2 一4 x 3=2 ( 1 一2 x ) ( x+1 ) 2 , 则f ‘ ( x ) 2一6
, 得      令f ‘ ( x ) 0 x=万 ,
1               

( ‘ +  s i n  B  ) ’

I c            b\ 1
一 I下      尸 + —
、 o             c i

ii

     从前有一个国王, 为他的国家制定了如下一条 法律: 任何外国人来旅游时, 国王都要问他一句话: “ 你来我国做什么? ” ; 如果他说真话, 则平安无事; 如果他说假话, 则要被绞死一 天有个聪明的外国 人 A来旅游, 国王问 A后, A回答说: “ 我是来被绞 死. ” 这就使国王犯了愁: 如果不绞死 A , 则 A的话 成为假话, 按法律应把 A绞死; 如果把 A纹死, 则A 的 话成为真话, 按法律 A 应平安无事, 怎么办? 国王 只好承认 自 相矛盾, 该打 自己的耳光.
参考文献

1 王世强, 杨守廉. 独立于 Z F C的数学问题‘ 北京师范大学出版

     社, 1 9 9 1 ' 2 王世强, 孟晓青‘ 数理逻辑与范畴论应用. 北京师范大学出版
社,      1 9 9 9


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