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重庆市南开中学2013届高三下学期3月月考数学(理)试题


重庆南开中学高 2013 级高三 3 月月考 数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分,每小题只有一个选项符合要求) 1、若 i 为虚数单位,则复数 A、 ?1

1? i 的值为( 1? i

) C、 ?i D、 i )

B、1

2、在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13 ,则公差 d 等于(

A、2 B、3 C、4 D、5 3、某校有 50 岁以上的老教师 40 人,35~50 的中年教师 200 人,35 岁以下的青年教师 80 人,为了调查教师对教代会制定的一项规章制度的满意度,准备抽出 80 人进行问卷调查, 则中年教师应抽取的人数为( ) A、50 B、40 C、30 D、20 4、若双曲线 ( A、 )

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ? a, b ? 0 ? 的渐近线方程为 y ? ? x ,则该双曲线的离心率为 2 a b 2

2 2

B、

5 2

C、

6 2


D、

3 5 5

5、在 ?ABC 中, sin 2 A ? “

3 ? ”是“ A ? 30 ”的( 2

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 6、某实心机械零件的三视图如右图所示,则该机械零件的体积为( A、 36 ? 2? B、 36 ? 5? C、 36 ? 8? D、 36 ? 20?



7、执行如图所示程序框图,则输出的 s ? ( A、 ?2013 B、2013

) C、 ?2012

D、2012

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 8、在 ?ABC 中,已知 CA ? CB ? 6, BA ? BC ? 3, ?ABC 的面积等于 3,则 cos A 的值为
( A、 )

10 10

B、 ?

10 10

C、

3 10 10

D、 ?

3 10 10

9、对于函数 f ? x ? 和g ? x ? ,设 ? ? x ? R f ? x ? ? 0 , ? ? x ? R g ? x ? ? 0 ,若存在 ? 、 。 ? ,使得 ? ? ? ? 1 ,则称 f ? x ? 与g ? x ? 互为“零点关联函数” 若函数 f ? x ? ? ex?1 ? x ? 2 与 g ? x ? ? x ? ax ? a ? 3 互为“零点关联函数” ,则实数 a 的取值范围为(
2

?

?

?

?



A、 [ , 3]

7 3

B、 [2, ]

7 3

C、 [2,3]

D、 [2, 4]

10、 假设乒乓球团体比赛的规则如下: 进行 5 场比赛, 除第 3 场为双打外, 其余各场为单打, 参赛的每个队选出 3 名运动员参加比赛,每个队员打两场,且第 1、2 场与第 4、5 场不能是 某个运动员连续比赛。某队有 4 名乒乓球运动员,其中 A 不适合双打,则该队教练安排运 动员参加比赛的方法共有( )种 A、48 B、56 C、60 D、72

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题共 6 个小题,考生作答 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,各题答案必 须填写在答题卡上相应位置) (一)必做题(11、12、13 题) 11、 ? x ? 1? 的展开式中二项式系数最大的项为
4



12、在平面直角坐标系 xOy 中,随机地从不等式组 ?

?x ?2 ? 表示的平面区域 ? 中取一个点 ?y ?2 ?

? x2 ? y 2 ? 0 1 ? P, 如果点 P 恰好在不等式组 ? ? m ? 0 ? 表示的平面区域的概率为 ,则实数 m 8 x ?m ? ?

的值为



13、设点 P 是抛物线 C : x2 ? 2 py ? p ? 0? 在第一象限内的任意一点,过 P 作抛物线 C 的切 线 l交x 轴于点 M , F 为抛物线 C 的焦点, Q 满足 PM ? 点 为 3 的等边三角形,则 p 的值为 。

???? ?

? ? 1 ??? 1 ??? PF ? PQ , ?PFQ 是面积 若 2 2

(二)选做题(考生从 14、15、16 题中任选做两道题,若三道题都做,则只记前两道题的 分数) 14、如图所示,过圆外一点 P 分别做圆的切线和割线交圆于点 A 和点 B ,且

BC ? PB ? 3, C 是圆上一点, ? 2 , BAC ? ?APB , AB ? 则



15 、 若 存 在 实 数 x 满 足 x ? 3 ? x ? m ? 5 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 为 。

16、设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos ? ??为参数? ,直线 l 的参数方程为 ? y ? ?1 ? 3sin ?
个。

? x ? ?1 ? 4t ?t为参数? ,则曲线 C 上到直线 l 的距离为 3 的点有 ? ? y ? 3t

三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡 II 上(必须写出必要的 文字说明、演算步骤或推理过程) 17、 (13 分)某电视台举办的技能比赛节目中,每位参赛选手需参加两场比赛,两场比赛都 胜出获得 10 万现金;若只胜一场,则奖励 5 万;两场都失利则无奖金。设甲选手每场比赛 胜利的概率都为

1 且两场比赛之间相互独立,用 ? 表示甲选手比赛结束后的奖金总额。 2

(I)求比赛结束后甲选手只胜一场的概率; (II)求 ? 的分布列和数学期望。

18、 (13 分)已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos( x ? 周期; (II)当 x ? [ ?

?
6

) ? cos 2 x ? m (I)求函数 f ? x ? 的最小正

? ?

, ] 时,函数 f ? x ? 的最小值为 ?3 ,求实数 m 的值。 4 4

19、 (13 分)如图,等腰直角三角形 SAB 所在平面与直角梯形 ABCD 所在平面垂直,

SA ? SB ? 2 且 AB // CD, DA ? AB, AD ? 2, CD ? 4, E 、 F 分别是线段 SC 、 CD 的中
点。

(I)求证:平面 BEF // 平面SAD ; (II)求二面角 S ? BD ? F 的余弦值。

20、 (12 分)已知 f ? x ? ? ax ? ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R 。 (I)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调性和极值; (II)是否存在实数 a ,使 f ? x ? 在 x ? ? 0, e? 时的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不 存在,说明理由。 21、 (12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 e ?

1 , P 为椭圆 2

上一动点。 F 、 F2 分别为椭圆的左、右焦点,且 ?PF F2 面积的最大值为 3 。 1 1 (I)求椭圆 C 的方程; (II)设直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切且与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,求 OA ? OB 的取值范围。

??? ??? ? ?

22 、( 12 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 中 的 相 邻 两 项 a2 k ?1 、 a2k 是 关 于 x 的 方 程
k x 2 ? ? 3k ? 2 ? x ? k ? 3 k

2 的两个根,且 a2k ?1 ? a2k ? k ? 1,2,3,?? 。 ? 0

(I)求 a1 、 a3 、 a5 的值; (II)求数列 ?an ? 的前 2n 项的和 S 2n ;

? ?1? 1 sin n ? 3), Tn ? (III)记 f ? n ? ? ( 2 sin n a1a2
求证:当 n ? N 时,
*

f ? 2?

? ?1? ?

f ? 3?

a3 a4

? ?1? ?

f ? 4?

a5 a6

? ?1? ???

f ? n ?1?

a2 n ?1a2 n



1 5 ? Tn ? 。 6 24


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