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累加法求数列的通项公式


说 课 人:李 伟
单 位:黑龙江省海林林业局一中

著名教育学家布鲁纳说过:“知识

的获得是一个主动过程. 学习 者不是信息的被动接受者, 而是知识获取的主动参与者.”
这节课的设计正是以此为理念,在整 个授课过程中努力体现学生的主体地 位,使学生亲自参与获取知识和技能 的全过程,亲身体验知识的发生和发 展,从而激

发学生数学学习兴趣,培 养学生运用数学的意识与能力。现在 我就来谈一谈对本节课的分析和设计。

一、教材与教学目的分析:
1、教学内容: 本节主要介绍累加法求数列的 通项公式,让学生清楚地认识 到累加法适用的题型,并且在 求通项公式的过程中渗透出求 数列前n项和的方法。

一、教材与教学目的分析:
2、教材中的地位和作用: 本课是人教版必修5第二章数列的 相关内容,在此之前已经学习了数列 的概念,及求数列通项公式、前n项 和公式的方法。而这些运算方法也作 为本课的计算基础。 本课也是对数列知识的加深,与 等差、等比数列前n项和以及裂项法 等有着密切联系。通过对一些递推公 式累加计算得到数列通项,从而进行 进一步运算。

一、教材与教学目的分析:
3、教学目标: 知识目标:理解并掌握数列的累加 法的计算方法,理解累加法实质,能 解决一些简单的变式题目。 能力目标:培养学生观察、计算、 知 识迁移、创新的能力。 情感目标:让学生在和谐欢快的氛 围 中感受数列的魅力,将学习变为一种 乐趣。

一、教材与教学目的分析:
4、教学重难点: 重点:数列的累加法的应用 难点:如何将累加法和数列求前 n项和公式结合起来求数列的通 项公式。 关键:以学生为主,让学生充分 地动手、动眼、动口、动脑。

二、教学方法的分析:
?

?

学生在学习本知识之前已经学习了数列的 基本知识,但对一些细节上面还有很多漏 洞,例如求和过程中对项数的计算,对于 递推公式的理解等等。本节课对于学生而 言从理解上需要下一定功夫,先通过观察 和模仿进行学习,然后根据所学知识进行 创新,充分发挥小组合作的力量。 本节课采用学案导学模式,由潜入深层层 递进,吸引学生的目光,调动学生的积极 性。最后让学生创新,提高学生语言综合 运用能力,和动脑能力,培养学生对数学 的兴趣和对变式应用理解能力。

三、教学过程分析:
热身:回顾等差数列的定义及递推公 式,写出通项公式的求法? 定义:

递推公式:

an ? an?1 ? d

n>1

数列 ?a ? 满足 a ? a 列的通项公式。
n

n

n ?1

?d

n>1

,求数

解:由递推公式 an ? an?1 ? d 得

a3 ? a2 ? d

a2 ? a1 ? d

...... ...... an?1 ? an?2 ? d

an ? an?1 ? d 累加得 an ? a1 ? (n ?1)d
?等差数列的通项公式是 n ? a1 ? (n ?1)d a

?

n ?1

第一问

数列 ?a ? 满足 a ? 1, a 列的通项公式。
n
1

n?1

? an ? n

,求数

解:由递推公式 an ? an?1 ? d 得

a3 ? a2 ? d

a2 ? a1 ? d

...... ...... an?1 ? an?2 ? d

an ? an?1 ? d 累加得 an ? a1 ? (n ?1)d
?等差数列的通项公式是 n ? a1 ? (n ?1)d a

?

n ?1

第一问

数列 ?a ? 满足 a ? 1, a 列的通项公式。
n
1

n?1

? an ? n

,求数

解:由递推公式an ? an?1 ? n ?1得

a3 ? a2 ? 2

a2 ? a1 ? 1

...... ...... an?1 ? an?2 ? n ? 2

an ? an?1 ? n ?1 (n ? 1)n 累加得 an ? a1 ? 1 ? 2 ? ...n ? 1 ?
2 n ?n?2 ? 数列的通项公式是 n ? a 2
2

?

n ?1

等差数 列前 N项和

第二问: 数列 ?an ? 满足 a ? 1, a ? a 求数列的通项公式。
1 n?1

n

?

2n
n




解:由递推公式 an?1 ? an ? 2

a3 ? a2 ? 2
......

a2 ? a1 ? 2
2

1

......
n ?2

an?1 ? an?2 ? 2

an ? a1 ? 21 ? 22 ? ...? 2n?1 ? 2n ? 2 累加得
?数列的通项公式是 n ? 2n ?1 a

an ? an?1 ? 2n?1

?

n ?1

等比数 列前 N项和

设计意图
通过分析发现前二问求通项 公式的形式类似等差数列通项公 式的求法,故想到用累加法去求 解。由学生演示并讲解整个解题 过程。在讲题时注意四个过程: 读题;说思路;小组交流;小组 补充。

第三问
回顾我们学过求数列前n项和的方法 有哪些?分别适用于什么样的题型? 公式法:适用于等差数列或等比数列 倒序相加:适用于等差数列求和 错位相减:适用于等比数列或等差乘等 比数列求和。 分组求和:适用于等差加等比的数列 列项相消:适用于分式数列求和

第四问
请参照前两关求通项公式的方 法编写一些应用不同数列求前n项 和方法求通项公式的习题,并且写 出解题过程。 (公式法和倒序相加法除外)

分组求和法 数列 ?an ? 满足 a ? 1, a ? a 求数列的通项公式。
1 n?1

n

?

2n+2n ,
n

解:由递推公式 an?1 ? an ? 2 ? 2n 得

a2 ? a1 ? 2 ? 2
1

a3 ? a2 ? 2 ? 4
2

......

......
n?2

an?1 ? an?2 ? 2

? 2(n ? 2)

an ? an?1 ? 2
累加得

n?1

? 2(n ?1)

?

n ?1

an ? a1 ? 2n ? 2 ? n2 ? n

?数列的通项公式是 n ? 2n ? n2 ? n ?1 a

列项相消法 数列 ?an ? 满足 a ? 1, a ? a 求数列的通项公式。
1 n ?1

n

?

1 n(n ? 1)




解:由递推公式 1 a2 ? a1 ? 1 ? 2
1 1 a3 ? a2 ? ? 2 3

1 1 1 an ?1 ? an ? ? ? n(n ? 1) n n ? 1

......

an ?1 ? an ? 2

1 1 ? ? n ? 2 n ?1

......

1 累加得 an ? a1 ? 1 ? n 2n ? 1 ?数列的通项公式是 an ? n

1 1 an ? an ?1 ? ? n ?1 n

?

n ?1

错位相减法

数列?an ?

a1 ? 1, an?1 ? an ? n ? 2n 满足



求数列的通项公式。
解:由递推公式 an?1 ? an ? n ? 2 得 1 a2 ? a1 ? 1? 2
n

a3 ? a2 ? 2? 2

2

...... ...... an?1 ? an?2 ? (n ? 2) ? 2n?2

an ? an?1 ? (n ?1) ? 2n?1

?

n ?1

an ? a1 ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ...? (n ?1) ? 2n?1 累加得
( ? 错位相减法得到通项公式为 an ? n - 2)2n ? 3

设计意图
通过编题加强了学生对累加法的理 解和数列求前n项和方法的应用, 增强了学生小组合作的能力、解决 问题的能力和创新意识。

自定义练习:
1、已知数列 ?a ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 3n ? 2n ? 1 求数列的通项公式 。
n

2、已知数列
a n ?1 ? a n ?

?an ? 满足 a1 ? 1 ,

1 (2n ? 1)(2n ? 1)

求数列的通项公式 。

总结
1、总结 累加法在数列求通项公式 中的应用 。 累加法是求型如 an?1 ? an ? f (n) 的递推数列通项公式的基本方法 。 2、总结本堂课涉及到求数列前n项 和的方法 。 公 式 法、分组求和 列项相消、 倒序相加

板书设计:

复习:累加法求 数列的通项公式 第一问

累加法求数列通 项公式
第四问 第三问

第二问

总结:

出现的问题
1、学生课前准备不充分。生本教 育突出的特点是以生为本,不但 高度尊重学生,而且充分相信学 生,全面依靠学生,把学习的主 动权交给学生,把学生的学习潜 能激发出来。如果课前没有做好 深入研究,课堂上就很难对知识 点进行准确理解,更不用说拓展 延伸了。

出现的问题
2、讨论过程中少数学生参与意识差。 生本教育的课堂中“讨论”是常规, 学习的过程主要是以学生的讨论为主, 学习中的诸多问题是让学生在讨论、 合作、探究中解决的,学习的讨论是 以学习小组的形式完成的。在讨论中, 如果仔细去观察,我们就不难发现, 多数学生都显得非常活跃和积极,而 少数学生似乎是一个旁观者、听众, 他们极少发表个人见解,甚至不发表 任何意见。

出现的问题
3、交流时不发表自己独到的见解。 生本教育理念认为学生在交流、 争执、论证的基础上才能得到提 高,而我们的学生可能是不自信 吧,讨论时教师明明知道他的想 法很好,交流时就是不发言。

出现的问题
4、教师总是受教学进度的制约。 在进行生本教育教学的这几天里, 仍是放不开,心中总有一个计划, 计划着每个课时要让学生进行哪 些学习活动,完成哪些学习任务, 如何保证教学进度。


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