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西藏拉萨中学2014-2015学年高二上学期第四次月考数学试卷(文科)(


西藏拉萨中学 2014-2015 学年高二上学期第四次月考数学试卷 (文科)
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)在等差数列{an}中,a1=3,a3=9 则 a5 的值为() A.15 B. 6 C.81 D.9

2. (4 分)双曲线 A.
2 2

的渐近线方程是() B. C. D.

3. (4 分)椭圆 x +4y =1 的离心率为() A. B. C. D.

4. (4 分)若不等式 ax +bx+2>0 的解集 A.﹣10 B.﹣14
2

2

,则 a﹣b 值是() C.10 D.14

5. (4 分)在△ ABC 中,B=60°,b =ac,则△ ABC 一定是() A.锐角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 6. (4 分)已知等差数列的前 13 的和为 39,则 a6+a7+a8=() A.6 B.12 C.18 7. (4 分)若 A.4 ,则 f′(2)=() B. C.﹣4

D.钝角三角形

D.9

D.

8. (4 分)下列有关命题的说法错误的是() 2 2 A.命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C. 若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 2 2 D.对于命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0.则¬p:?x∈R,均有 x +x+1≥0 9. (4 分)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直 角坐标系中,不可能正确的是()

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A.

B.

C.

D.

10. (4 分)已知抛物线 y =4px(p>0)与双曲线 点 F,点 A 是两曲线的交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.

2

有相同的焦

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1=. 12. (5 分)函数 f(x)= +lnx 的极小值点为 x=.
2

13. (5 分)已知变量 x,y 满足

,则目标函数是 z=2x+y 的最大值是.

14. (5 分)抛物线 y=﹣x 上的点到直线 4x+3y﹣8=0 的距离的最小值是.

2

三、解答题(每小题 10 分,共 40 分) 15. (10 分)在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 ,求△ ABC 的面积. ,

16. (10 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=6,S5=40 (1)求数列{an}的通项公式;

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(2)求数列

的前 n 项和 Tn.

17. (10 分)已知椭圆

+

=1 的两个焦点为 F1,F2,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=θ

(1)求椭圆的长轴长,短轴长,顶点,离心率. (2)求证: =9tan .

18. (10 分)已知曲线 f(x)=ax+blnx﹣1 在点(1,f(1) )处的切线为直线 y=0. (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)设函数 g(x)= ﹣mx+mf(x) ,其中 m 为常数,求 g(x)的单调区间.

西藏拉萨中学 2014-2015 学年高二上学期第四次月考数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)在等差数列{an}中,a1=3,a3=9 则 a5 的值为() A.15 B. 6 C.81 D.9

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的等差数列的两项, 做出数列的公差, 根据等差数列的通项表示出第五项, 代入数据得到结果. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a1=3,a3=9 ∴d= =3,

∴a5=a3+2d=9+6=15, 故选 A. 点评: 本题考查等差数列的性质或通项, 本题解题的关键是做出公差, 或者是利用等差中 项来求出结果.

2. (4 分)双曲线 A. B.

的渐近线方程是() C. D.

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考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 令双曲线方程的右边为 0,整理后就得到双曲线的渐近线方程. 解答: 解:∵双曲线标准方程为 ,

其渐近线方程是 整理得 y=± x.

=0,

故选:B. 点评: 本题考查双曲线的简单性质的应用,令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方 程.属于基础题. 3. (4 分)椭圆 x +4y =1 的离心率为() A. B. C. D.
2 2

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题. 分析: 把椭圆的方程化为标准方程后,找出 a 与 b 的值,然后根据 a =b +c 求出 c 的值, 利用离心率公式 e= ,把 a 与 c 的值代入即可求出值. 解答: 解:把椭圆方程化为标准方程得:x +
2 2 2 2

=1,得到 a=1,b= ,

则 c=

=

,所以椭圆的离心率 e= =



故选 A 点评: 此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法, 灵活运用椭圆的简单性质化简求值, 是一 道综合题.
2

4. (4 分)若不等式 ax +bx+2>0 的解集 A.﹣10 B.﹣14 C.10

,则 a﹣b 值是() D.14

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 先根据不等式的解集得到方程的解为 答案.
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, 进而求出 a 与 b 的数值, 即可得到

解答: 解:由题意可得:不等式 ax +bx+2>0 的解集 所以方程 ax +bx+2=0 的解为
2

2





所以 a﹣2b+8=0 且 a+3b+18=0, 所以 a=﹣12,b=﹣2, 所以 a﹣b 值是﹣10. 故选 A. 点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系, 并且结合正 确的运算. 5. (4 分)在△ ABC 中,B=60°,b =ac,则△ ABC 一定是() A.锐角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 利用余弦定理可得 b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣ac,又 b =ac,可得 (a﹣c) =0, 从而得到 △ ABC 一定是等边三角形.
2 2 2 2 2 2 2 2

D.钝角三角形

题干错误:b=ac,应是:b =ac,纠错的题. 2 2 2 2 2 2 解答: 解:∵b =ac,B=60°,由余弦定理可得 b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣ac, 2 2 2 ∴ac=a +c ﹣ac,∴(a﹣c) =0,故 a=c,故△ ABC 一定是等边三角形, 故选 B. 点评: 本题考查余弦定理的应用,得到 (a﹣c) =0,是解题的关键. 6. (4 分)已知等差数列的前 13 的和为 39,则 a6+a7+a8=() A.6 B.12 C.18 考点: 专题: 分析: 解答: S13=
2

2

D.9

等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 由求和公式和性质可得 a7 的值,而所求等于 3a7,代入计算可得. 解:由题意可得等差数列的前 13 的和 = =39

解之可得 a7=3,又 a6+a8=2a7 故 a6+a7+a8=3a7=9 故选 D 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,划归为 a7 是解决问题的关键,属基础题. 7. (4 分)若 ,则 f′(2)=()

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A.4

B.

C.﹣4

D.

考点: 导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 由已知中 ,结合幂函数导函数的求解法则,我们易求出 f′(x)的解析

式,将 x=2 代入,即可得到答案. 解答: 解:∵ ∴f′(x)=﹣x =﹣ 则 f′(2)= 故选 D 点评: 本题考查的知识点是导数的运算, 其中根据已知函数的解析式, 求出导函数的解析 式是解答本题的关键. 8. (4 分)下列有关命题的说法错误的是() 2 2 A.命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C. 若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0.则¬p:?x∈R,均有 x +x+1≥0 考点: 命题的真假判断与应用;四种命题间的逆否关系;必要条件、充分条件与充要条件 的判断. 专题: 综合题. 分析: 根据四种命题的定义,我们可以判断 A 的真假;根据充要条件的定义,我们可以 判断 B 的真假;根据复合命题的真值表,我们可以判断 C 的真假;根据特称命题的否定方 法,我们可以判断 D 的真假,进而得到答案. 解答: 解:命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”故 A 为 真命题; 2 “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件.故 B 为真命题; 若 p∧q 为假命题,则 p、q 存在至少一个假命题,但 p、q 不一定均为假命题,故 C 为假命 题; 命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0.则非 p:?x∈R,均有 x +x+1≥0,故 D 为真命题; 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,四种命题间的逆否关系,充要条件, 是对简单逻辑综合的考查,属于简单题型. 9. (4 分)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,将 y=f(x)和 y=f′(x)的图象画在同一个直 角坐标系中,不可能正确的是()
2 2 2 2 2 2
﹣2

=x ,

﹣1

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A.

B.

C.

D.

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的几何意义. 专题: 压轴题. 分析: 本题可以考虑排除法,容易看出选项 D 不正确,因为 D 的图象,在整个定义域内, 不具有单调性,但 y=f(x)和 y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势,不具有这样 的函数. 解答: 解析:检验易知 A、B、C 均适合,不存在选项 D 的图象所对应的函数,在整个定 义域内,不具有单调性,但 y=f(x)和 y=f′(x)在整个定义域内具有完全相同的走势,不 具有这样的函数,故选 D. 点评: 考查函数的单调性问题.

10. (4 分)已知抛物线 y =4px(p>0)与双曲线 点 F,点 A 是两曲线的交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.

2

有相同的焦

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设双曲线的左焦点为 F',连接 AF',由抛物线方程求得 A(p,2p) ,结合双曲线的 焦距,得到△ AFF'是以 AF'为斜边的等腰直角三角形.再根据双曲线定义,得实轴 2a=2p ( ) ,而焦距 2c=2p,由离心率公式可算出该双曲线的离心率. 解答: 解:设双曲线的左焦点为 F',连接 AF' 2 ∵F 是抛物线 y =4px 的焦点,且 AF⊥x 轴, 2 ∴设 A(p,y0) ,得 y0 =4p×p,得 y0=2p,A(p,2p) , 因此,Rt△ AFF'中,|AF|=|FF'|=2p,得|AF'|=2 p ∴双曲线 的焦距 2c=|FF'|=2p,实轴 2a=|AF'|﹣|AF|=2p( = = )

由此可得离心率为:e= =

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故选:B

点评: 本题给出双曲线与抛物线有共同的焦点,求双曲线的离心率,着重考查了双曲线、 抛物线的定义与简单几何性质等知识,属于中档题. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1=
2



考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据题意和等比数列的通项公式,列出关于 q 的方程,先求出 q,再求出 a1 的值. 解答: 解:由题意设等比数列{an}的公比为 q,且 q>0, 2 7 3 2 因为且 a3?a9=2a5 ,a2=1,所以 q?q =2(q ) , 2 化简得 q =2,即 q= , 由 a2=a1q=1 得,a1= 故答案为: . = ,

点评: 本题考查等比数列的通项公式,以及方程思想,属于基础题.

12. (5 分)函数 f(x)= +lnx 的极小值点为 x=2.

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求 f′(x) ,判断 f′(x)的符号,根据极小值的定义即可求得函数 f(x)的极小值. 解答: 解:f′(x)= ;

∴x∈(0,2)时,f′(x)<0,x∈(2,+∞)时,f′(x)>0; ∴x=2 是 f(x)的极小值点. 故答案为:2. 点评: 考查极小值的定义及其求法,注意正确求导.

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13. (5 分)已知变量 x,y 满足

,则目标函数是 z=2x+y 的最大值是 5.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义, 利用数形结合即可得到 结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(2,1)

代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×2+1=5. 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 5. 故答案为:5

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用目标函数的几何意义, 结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.
2

14. (5 分)抛物线 y=﹣x 上的点到直线 4x+3y﹣8=0 的距离的最小值是 .

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 2 分析: 先对 y=﹣x 求导得到与直线 4x+3y﹣8=0 平行的切线的切点坐标, 再由点到线的距 离公式可得答案. 2 解答: 解:先对 y=﹣x 求导得 y′=﹣2x

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令 y′=﹣2x=﹣ 易得 x0= 即切点 P( ,﹣ ) 利用点到直线的距离公式得 d= 故答案为: 点评: 本题主要考查抛物线的基本性质和点到线的距离公式.考查综合运用能力. 三、解答题(每小题 10 分,共 40 分) 15. (10 分)在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 ,求△ ABC 的面积. , =

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: (1)根据正弦定理表示出 a,b 及 c,代入已知的等式,利用两角和的正弦函数公 式及诱导公式变形后,根据 sinA 不为 0,得到 cosB 的值,由 B 的范围,利用特殊角的三角 函数值即可求出角 B 的度数; (2)由(1)中得到角 B 的度数求出 sinB 和 cosB 的值,根据余弦定理表示出 b2,利用完 全平方公式变形后,将 b,a+c 及 cosB 的值代入求出 ac 的值,然后利用三角形的面积公式 表示出△ ABC 的面积,把 ac 与 sinB 的值代入即可求出值. 解答: 解: (1)由正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 将上式代入已知 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0, 即 2sinAcosB+sin(B+C)=0, ∵A+B+C=π, ∴sin(B+C)=sinA, ∴2sinAcosB+sinA=0,即 sinA(2cosB+1)=0, ∵sinA≠0,∴ , ; 代入余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 得:
2 2 2

得:



∵B 为三角形的内角,∴ (II)将

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b =(a+c) ﹣2ac﹣2accosB,即 ∴ac=3, ∴ .

2

2



点评: 此题考查了正弦定理, 余弦定理及三角函数的恒等变形. 熟练掌握定理及公式是解 本题的关键.利用正弦定理表示出 a,b 及 c 是第一问的突破点. 16. (10 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=6,S5=40 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设等差数列{an}的公差为 d,由 a2=6,S5=40,利用等差数列的通项公式及其 前 n 项和公式即可得出. (2) = = ,利用“裂项求和”即可得出.

解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a2=6,S5=40, ∴ ,解得 ,

∴an=4+2(n﹣1)=2n+2. (2) ∴数列 = = . = 的前 n 项和 Tn= = , +…+

点评: 本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “裂项求和”, 考查了计算能力, 属于基础题.

17. ( 10 分)已知椭圆

+

=1 的两个焦点为 F1,F2,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=θ

(1)求椭圆的长轴长,短轴长,顶点,离心率. (2)求证: =9tan .

考点: 椭圆的简单性质.
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专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由椭圆的标准方程可以求出椭圆的长轴长,短轴长,顶点,离心率 (2)由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,再由余弦定理可得|PF1| +|PF2| ﹣ |F1F2| =2|PF1||PF2|cosθ,从而可得|PF1||PF2|=
2 2 2 2 2

,从而求△ F1PF2 的面积.
2 2 2

解答: 解: (1)由椭圆

+

=1,可得 a =25,b =9,c =a ﹣b =25﹣9=16,即 a=5,b=3,

c=4, 则长轴长为 2a=10,短轴长 2b=6,顶点分别为(5,0) , (﹣5,0) , (0,3) , (0,﹣3) , e= = (2)由题意,|PF1|+|PF2|=2a=10, 2 2 2 又∵|PF1| +|PF2| ﹣|F1F2| =2|PF1||PF2|cosθ, 2 2 ∴(|PF1|+|PF2|) ﹣|F1F2| =2|PF1||PF2|+2|PF1||PF2|cosθ, 2 2 2 ∴4a ﹣4c =2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4b =36, ∴|PF1||PF2|= , =9tan .

∴S△ F1PF2= |PF1||PF2|?sinθ=9?

点评: 本题考查了椭圆的定义及余弦定理的应用,属于中档题 18. (10 分)已知曲线 f(x)=ax+blnx﹣1 在点(1,f(1) )处的切线为直线 y=0. (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)设函数 g(x)= ﹣mx+mf(x) ,其中 m 为常数,求 g(x)的单调区间.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出原函数的导函数,由曲线 f(x)=ax+blnx﹣1 在点(1,f(1) )处的切 线为直线 y=0,可得 f(1)=0 及 f′(1)=0,由此求出 a,b 的值; (Ⅱ)把 a,b 的值代入 f(x) ,再把 f(x)代入 g(x)= ﹣mx+mf(x) ,根据 m 的范围

可得导函数在不同区间段内的符号,由导函数的符号可得原函数的单调期间. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=ax+blnx﹣1,定义域为(0,+∞) , , 由曲线 f(x)=ax+blnx﹣1 在点(1,f(1) )处的切线为直线 y=0, 可得 ,解得 ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,f(x)=x﹣lnx﹣1, 故 g(x)= ﹣mx+mf(x)= ,

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g(x)的定义域为(0,+∞) ,



当 m≤0 时,g′(x)>0 在 x∈(0,+∞)上恒成立, 即 g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 m>0 时,令 g′(x)=0,解得 x= 或 x=﹣ (舍) , ①当 x∈(0, )时,g′(x)<0,即 g(x)在(0, )上单调递减; ②当 x∈( )时,g′(x)>0,即 g(x)在( )上单调递增. 综上所述,当 m≤0 时,g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 m>0 时,g(x)的单调递增区间为( ,+∞) ,g(x)的单调递减区间为(0, ) . 点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程, 考查了利用导数研究函数 的单调性,考查了数学转化及分类讨论的数学思想方法,是中档题.

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