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正弦定理、余弦定理及解三角形--复习课


? 河口一中
? DONGYINGSHIHEKOUQUDIYIZHONGXUE

1.正弦定理 b c a = sinB = sinC =2R sinA 其中 2R 为△ABC 外接圆直径. 变式:a= a∶b∶c=
2RsinA

,b=
sinB

2RsinB

,c= .

2RsinC

.

sinA





sinC

2.余弦定理 a= c2=
2

b2+c2-2bccosA a2+b2-2abcosC

; .

b=

2

a2+c2-2accosB



变式:cosA=

b2+c2-a2 2bc

;cosB=

a2+c2-b2 ; 2ac

cosC=

a2+b2-c2 2ab .

sin2A=sin2B+sin2C-2sinB sinCcosA.

3.解三角形 (1)已知三边 a、b、c. 运用余弦定理可求三角 A、B、C. (2)已知两边 a、b 及夹角 C. 运用余弦定理可求第三边 c.

(3)已知两边 a、b 及一边对角 A. bsinA 先用正弦定理,求 sinB:sinB= . a ①A 为锐角时,若 a<bsinA, 无解 ;若 a=b sinA , 一解 ; 若 bsinA<a<b, 两解 ;若 a≥b,
一解 无解

②A 为直角或钝角时,若 a≤b,

;若 a>b,一解

4.已知一边 a 及两角 A,B(或 B,C)用正弦定理,先求出 一边,后求另一边.

4.三角形常用面积公式 1 (1)S=2a· ha(ha 表示 a 边上的高). 1 1 1 abc (2)S=2absinC=2acsinB=2bcsinA= 4R . 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为内切圆半径). (4) S ?

a?b?c p( p ? a)( p ? b)( p ? c), ( p ? )(海伦公式) 2

1.(教材习题改编)在△ABC 中,若 a=2b· sinA,则 B 等于( ) A.30° 或 60° C.60° 或 120° B.45° 或 60° D.30° 或 150°

π 2.(2012· 北京文)在△ABC 中,若 a=3,b= 3,∠A=3, 则∠C 的大小为________.
3.(2012· 湖北)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C=________.

4.已知△ABC,a= 5,b= 15,∠A=30° ,则 c=( A.2 5 C.2 5或 5 B. 5 D.均不正确

)

例 1

已知 sinA∶sinB∶sinC=( 3+1)∶( 3-1)∶ 10,

求最大角.

思考题 1 (2012· 新课标全国)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acosC+ 3asinC-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.

例题 【解析】 由正弦定理, 可得 a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. ∴a∶b∶c=( 3+1)∶( 3-1)∶ 10. 由此可知 c 最大,∴角 C 最大. 设 a=( 3+1)k,b=( 3-1)k,c= 10k,(k>0), a2+b2-c2 ∵cosC= 2ab [? 3+1?k]2+[? 3-1?k]2-? 10k?2 1 = =-2, 2? 3+1?? 3-1?k2 2π ∴C∈(0,π),∴C= 3 .

思考题【解析】

(1)由 acosC+ 3asinC-b-c=0 及正弦

定理,得 sinAcosC+ 3sinAsinC-sinB-sinC=0. 因为 B=π-A-C,所以 3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0. π 1 由于 sinC≠0,所以 sin(A-6)=2. π 又 0<A<π,故 A=3. 1 (2)△ABC 的面积 S=2bcsinA= 3,故 bc=4.

而 a2=b2+c2-2bccosA,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.

例 2 (2012· 江西理)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 π π π 为 a,b,c.已知 A=4,bsin( 4+C)-csin(4+B)=a. π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积.

【解析】

π π (1)由 bsin(4+C)-csin( 4+B)=a.

π π 应用正弦定理,得 sinB sin( +C)- sinCsin( +B)=sinA. 4 4 2 2 2 2 2 sinB( 2 sinC+ 2 cosC)- sinC( 2 sinB+ 2 cosB)= 2 , 整理得 sinBcosC-cosB sinC=1,即 sin(B-C)=1. 3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= . 4 2

3π 5π π (2)B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 4 8 8 π asinB 5π asinC π 由 a= 2,A=4,得 b= =2sin 8 ,c= =2sin8 . sinA sinA 1 5π π 所以△ABC 的面积 S=2bcsinA= 2sin 8 sin8 π π 1 = 2cos sin = . 8 8 2

思考题 2 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, π 4 c,B=3,cosA=5,b= 3. (1)求 sinC 的值; (2)求△ABC 的面积.

π 【解析】 (1)因为角 A,B,C 为△ABC 的内角,且 B=3, 4 cosA= , 5 2π 3 所以 C= 3 -A,sinA=5. 3+4 3 2π 3 1 于是 sinC=sin( 3 -A)= 2 cosA+2sinA= 10 .

3+4 3 3 (2)由(1)知 sinA= ,sinC= . 5 10 π 又因为 B= ,b= 3,所以在△ABC 中,由正弦定理,得 3 bsinA 6 a= = . sinB 5 3+4 3 1 1 6 于是△ABC 的面积 S= absinC= × × 3× 2 2 5 10 36+9 3 = 50 .

例 3 在△ABC 中,a,b,c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试判断该 三角形的形状.

【解析】

方法一

已知得 a2[sin(A - B) - sin( A + B)] =

b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]. ∴2a2cosA sinB=2b2cosB sinA. 由正弦定理,得 sin2AcosA sinB= sin2BcosB sinA. ∴sinA sinB(sinAcosA- sinBcosB)=0. ∴sin2A= sin2B,由 0<2A,2B<2π, 得 2A=2B 或 2A=π-2B. 即△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

方法二 同方法一可得 2a2cosA sinB=2b2cosB sinA. 由正、余弦定理,得
2 2 2 2 2 2 b + c - a a + c - b a2b =b2a . 2bc 2ac

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2). 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0. ∴a=b 或 c2=a2+b2. ∴三角形为等腰三角形或直角三角形.
【答案】 三角形为等腰三角形或直角三角形

思考题 3:在△ABC 中,A、B、C 是三角形的三个内角,a、 b、c 是三个内角对应的三边,已知 b2+c2=a2+bc. ①求角 A 的大小; 3 ②若 sinBsinC=4,试判断△ABC 的形状,并说明理由.

【解析】

①在△ ABC 中,由余弦定理,可得 cosA =

b2+c2-a2 1 2 2 2 ,由已知,得 b +c -a =bc,∴cosA= . 2 2bc π ∵0<A<π,故 A=3.

π 2π ②∵A+B+C=π,A= ,∴C= -B. 3 3 3 2π 3 由 sinB sinC=4,得 sinB sin( 3 -B)=4. 2π 2π 3 即 sinB(sin cosB-cos sinB)= . 3 3 4 3 1 2 3 2 sinBcosB+2sin B=4, 3 1 3 sin2B+ (1-cos2B)= , 4 4 4 3 1 π sin2B- cos2B=1,∴ sin(2B- )=1. 2 2 6

π π 7π π π π 又∵- <2B- < ,∴2B- = ,即 B= . 6 6 6 6 2 3 π ∴C= ,也就是△ABC 为等边三角形. 3

π 【答案】 ①3 ②等边三角形

例 4 (2012· 山东文)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边 分别为 a,b,c,已知 sinB(tanA+tanC)=tanAtanC. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S.

【解析】 tanAtanC,

(1) 在 △ ABC 中 , 由 于 sinB(tanA + tanC) =

sinA sinC sinA sinC 所以 sinB( + )= · . cosA cosC cosA cosC 因此 sinB(sinAcosC+cosA sinC)= sinA sinC. 所以 sinB sin(A+C)= sinA sinC. 又 A + B + C = π ,所以 sin(A + C) = sinB ,因此 sin2B = sinA sinC. 由正弦定理,得 b2=ac,即 a,b,c 成等比数列.

(2)因为 a=1,c=2,所以 b= 2. a2+c2-b2 12+22-2 3 由余弦定理,得 cosB= = = . 2ac 2×1×2 4 7 因为 0<B<π,所以 sinB= 1-cos B= 4 .
2

1 1 7 7 故△ABC 的面积 S=2acsinB=2×1×2× 4 = 4 .

思考题 4 (2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cosB 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sinA sinC 的值.

【解析】 (1)由已知 2B=A+C,A+B+C=180° ,解得 B 1 =60° ,所以 cosB=2.

1 (2)方法一 由题意知 b =ac,由(1)知 cosB= . 2
2

根据正弦定理,得 sin2B=sinA sinC. 3 所以 sinA sinC=1-cos B= . 4
2

1 方法二 由已知 b =ac,及 cosB=2,
2

a2+c2-ac 根据余弦定理,得 cosB= ,解得 a=c, 2ac 3 所以 A=C=B=60° ,故 sinA sinC=4.

1.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:① 化边为角, ②化角为边; 并常用正弦(余弦)定理实施边、 角转换. 2.用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量 积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等.

3.在判断三角形形状或解斜三角形中,一定要注意解是否 唯一,并注重挖掘隐含条件.如: (1)A+B+C=π. (2)在三角形中大边对大角,反之亦然. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)△ABC 中,A,B,C 成等差数列的充要条件是 B=60° .

1.(2013· 潍坊质检)已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对 边分别为 a,b,c 若 a=c= 6+ 2且∠A=75° ,则 b= ( A.2 C.4-2 3
答案 A

)

B.4+2 3 D. 6- 2

解析

sinA = sin75°= sin(30°+ 45° ) = sin30° cos45°+

2+ 6 sin45° cos30° = , 4 由 a=c= 6+ 2,可知∠C=75° . 1 所以∠B=30° , sinB=2. 2+ 6 1 a 由正弦定理,得 b= · sinB= × =2,故选 A. sinA 2+ 6 2 4

2.△ABC 中,若 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角 C 的度数 是 A.60° C.120°
答案 B

( B.45° 或 135° D.30°

)

解析 由 a4+b4+c4=2c2a2+2b2c2,
2 2 2 2 ? a + b - c ? 2 得 cos C= ?2ab?2

a4+b4+c4+2a2b2-2c2a2-2b2c2 1 = =2. 4a2b2 2 ∴cosC=± 2 . ∴角 C 为 45° 或 135° .

3.在△ABC 中,若 sinA· sinB<cosA· cosB,则此三角形的外 心位于它的 A.内部 C.一边上
答案 B

( B.外部 D.以上都有可能

)

解析 ∴sinA sinB<cosAcosB, 即 cosAcosB-sinA sinB>0,∴cos(A+B)>0. ∴A+B 为锐角,∴C 为钝角. ∴△ABC 为钝角三角形,外心位于它的外部.

4.(2013· 湖北八校联考)△ABC 中,a,b,c 分别为∠A、 ∠B、∠C 的对边,如果 a,b,c 成等差数列,∠B=30° ,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为 A.1+ 3 3+ 3 C. 3
答案 C

( B.3+ 3 D.2+ 3

)

1 1 1 解析 2b=a+c, ac·= ?ac=2,a2+c2=4b2-4. 2 2 2 4+2 3 3+ 3 3 2 b =a +c -2ac· ?b = ?b= . 2 3 3
2 2 2

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 tanA 2c 1+ = ,则角 A 的大小为________. tanB b

π 答案 3

2c 2sinC tanA sinAcosB 解析 ∵ = ,1+ =1+ b sinB tanB cosA sinB sinAcosB+cosA sinB sin?A+B? sinC = = = , cosA sinB cosA sinB cosA sinB 2sinC sinC ∴ = . sinB cosA sinB 在△ABC 中,sinB≠0,sinC≠0, 1 π π ∴cosA= ,A= ,故填 . 2 3 3

6.(2012· 江西文)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2,求 b,c.

解析 (1)由 3cos(B-C)-1=6cosBcosC, 得 3(cosBcosC-sinB sinC)=-1. 1 即 cos(B+C)=-3. 1 从而 cosA=-cos(B+C)=3.

1 2 2 (2)由于 0<A<π,cosA= ,所以 sinA= . 3 3 1 又 S△ABC=2 2,即2bcsinA=2 2,解得 bc=6. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2=13.
? ?bc=6, 解方程组? 2 2 ? ?b +c =13, ? ?b=2, 得? ? ?c=3 ? ?b=3, 或? ? ?c=2.


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