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2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案


2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (5 月 5 日 8:00 至 10:00) 一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.设方程 x
2

? 2mx ? m2 ? 1 ? 0 的根大于 ?2 ,且小于 4 ,则实数 m 的范围是

(-1,3)



/>2.从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成一双的概率为

17 . 33
。 (似乎出错) .

3.设实数 x ,

y 满足 x2 ? 4x ? y ? 3 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最大值与最小值之差是
n

4.若存在正实数 a , b 满足 (a ? bi)

,则 ? (a ? bi)n ( i 是虚数单位, n ? N* ) n 的最小值是

3

5.若三角形

ABC 的三边 AB , BC , AC 成等差数列,则 ? A 的取值范围是 0 ? ?A ?

?
3



6.若数列

,则满足条件的 a1 的所有可 ?an ? 满足 a4 ? 9 , (an?1 ? an ?1)(an?1 ? 3an ) ? 0 ( n ? N* ) 0 .
60

能值之积是

7.已知

f ( x) ? x2 ? 94 x ? 2013 ,则 ? ? f (n) ? f (n) ? ?
n ?30

364 .

8.设 x ,

y ??0, 2? ? ,且满足 2sin x cos y ? sin x ? cos y ? ?

1 23? ,则 x ? y 的最大值为 2 6



9. 已知正四面体

ABCD 的棱长为 9, P 是面 ABC 上的一个动点, P 到面 DAB 、DBC 、DCA 点 满足 的距离成等差数列,则 P 到面 DCA 距离的最大值是 . (未学)
年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全平方数,小王现在的年龄是 12 .

10.将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数,这个四位数为完全平方数,再过 31

二.解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11. k 为实数,0 ? 设

k ? 6 , E1 : 椭圆

( x ? k )2 x2 ? y 2 ? 1 与椭圆 E2 : ? y 2 ? 1 交于点 A 和 C ,E1 9 9
ABCD 是正方形,求实数 k .

的左顶点为 B , E2 的右顶点为 D (如图) ,若四边形

解:BD=6-k=AC

又 AC= 得 k= 4.8

36 ? k 2 3

12.如图,梯形

ABCD 中, B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' , A 、C 关于对角线 BD 对称的点分别是 A ' 、 C ' .证明:四边形 A ' B ' C ' D ' 是梯形.

连 A’O,B’O,C’O,D’O 易证 A’,O,C’; B’,O,D’共线(角度) ,由比例线段证毕。

13.设实数 a , b 满足 0 ? a 解: 记 f(x)= cos ? x ? 2 x 则 f’(x)= ??

?

1 ? b ? 1 .证明: 2(b ? a) ? cos ? a ? cos ? b . 2

sin ? x ? 2

arcsin
令 f’(x)=0 ,则 x=

2

?

? ? 0.2196

所以 x<0.2196 时 f’(x)>0 , x>0.2196 时 f’(x)<0 所以 f(a)≥min{f(0),f(1)}=1 f(b)≤f(0.5)=1 所以 f(b)≤f(a) ,证毕。 14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点,恰为某等腰梯形的顶点. 根据抽屉原理,必定存在 34 个点同色。该 34 个点连成 34*33/2=561 条线段。 考虑这 561 条线段的垂直平分线,显然它们都是正 100 边形的对称轴。正 100 边形的对称轴有 200 条,所 以必定存在 3 条线段它们的垂直平分线重合。 所以这 3 条线段两两平行,其中必有两条不等长,于是构成等腰梯形四个顶点且同色,证毕。


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