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高中数学 4-2-1 直线与圆的位置关系课件 新人教A版必修2


成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第四章
圆的方程

第四章
4.2 直线、圆的位置关系

第四章
4.2.1 直线与圆的位置关系

课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

课前自主预习

温故知新 1.直线与圆的位置关系有三种:
两 (1)直线与圆相交?直线与圆有____个公共点;

(2)直线与圆相切?直线与圆有___个公共点; 一
没有 (3)直线与圆相离?直线与圆______公共点.

2.点到直线的距离公式: 点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=
|Ax0+By0+C| A2+B2 _________. 3.圆 x2+y2+4x-6y-3=0 的圆心和半径分别为(

)

A.(4,-6),r=16 C.(-2,3),r=4

B.(2,-3),r=4 D.(2,-3),r=16

[答案] C

[解析]

由圆的一般式方程可知圆心坐标为(-2,3),半径

1 2 r= 4 +?-6?2+12=4. 2

|2+2+1| d= 2 = 5 1 +22 4.点P(1,-2)到直线y=2x+1的距离为 .

新课引入

大海上初升的红日,冉冉升起中,展现着迷人的风采, 同时也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相 离,本节我们从方程的角度来探讨这三种位置关系.

自主预习 阅读教材P126~128,回答下列问题. 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及 判断 置关系 公共点个数 相交
两 ____个

相切
一 ____个

相离
0 ___个

几何法:设圆心到直线的距离d= 判 定 方 法 |Aa+Bb+C| A2+B2 代数法:由
?Ax+By+C=0? ? ? ??x-a?2+?y-b?2=r2 ?

d< r d = r

d> r

Δ> 0

Δ=0

Δ< 0

消元得到一元二次方程的判别式Δ

直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是 ( ) A.过圆心 C.相离 B.相切 D.相交

[答案] D

[解析]

圆心C(1,-1),半径r=3,C到直线3x+4y+12

|3-4+12| 11 =0的距离d= 2 2 = 5 <r=3.所以直线与圆相交. 3 +4

思路方法技巧

直线与圆的位置关系
学法指导 判断直线和圆的位置关系的方法

“用方程组解的个数”和“用圆心到直线的距离”,一 般情况下后一种方法相对简单,但如是要判断两圆相交并求 交点坐标时,必须求方程组的解,这样用第一种方法可起到 一举两得的作用.

[例1]

已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2

-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点? [分析] 直线与圆有两个公共点?直线与圆相交;直线与

圆只有一个公共点?直线与圆相切;直线与圆没有公共点? 直线与圆相离.

[解析]

方法一:将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程

化简整理得, (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. ∵Δ=4m(3m+4), 4 ∴当Δ>0,即m>0或m<- 3 时,直线与圆相交,即直线 与圆有两个公共点; 4 当Δ=0,即m=0或m=- 时,直线与圆相切,即直线与 3 圆只有一个公共点;

4 当Δ<0,即- 3 <m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没 有公共点. 方法二:已知圆的方程可化为 (x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为C(2,1),半径长r=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离 |2m-1-m-1| |m-2| d= = . 1+m2 1+m2

4 (1)当d<2,即m>0或m<- 3 时,直线与圆相交,即直线 与圆有两个公共点; 4 (2)当d=2,即m=0或m=- 3 时,直线与圆相切,即直线 与圆只有一个公共点; 4 (3)当d>2,即- <m<0时,直线与圆相离,即直线与圆 3 没有公共点.

规律总结:解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置 和直线与圆的公共点的个数间的等价关系.在处理直线与圆 的位置关系时,常用几何法,即比较圆心到直线的距离和半 径长的大小,而不用联立方程.

若直线4x-3y+a=0与圆x2+y2=100:①相交;②相切; ③相离,试分别求实数a的取值范围.

[解析]

解法一:(代数法)
?4x-3y+a=0, ? ? 2 ?x +y2=100, ?

由方程组 900=0,

消去y,得25x2+8ax+a2-

则Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000. ①当直线和圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0,解得 -50<a<50; ②当直线和圆相切时,Δ=0,即a=50或a=-50; ③当直线和圆相离时,Δ<0,即a<-50或a>50.

解法二:(几何法) 圆x2+y2=100的圆心为(0,0),半径r=10, |a| |a| 则圆心到直线的距离d= 2 2= 5 . 3 +4 |a| ①当直线和圆相交时,d<r,即 5 <10,所以-50<a<50; |a| ②当直线和圆相切时,d=r,即 5 =10,所以a=50或a= -50; |a| ③当直线和圆相离时,d>r,即 >10,所以a<-50或 5 a>50.

规律总结:代数法和几何法都是处理直线与圆的位置关 系的通法,具有普遍性,都要熟练掌握.代数法用圆的一般 方程比较方便,而几何法用圆的标准方程比较方便. 由这两种解法可看到,几何法确实比代数法运算量小, 也比较简单、直观.

弦长问题
学法指导 设直线l的方程为ax+by+c=0,圆O的方程 为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,求弦长的方法有以下三种:

①几何法:由圆的性质知,过圆心O作l的垂线,垂足C为 线段AB的中点.如图所示,在Rt△OCB中,|BC|2=r2-d2,则 弦长|AB|=2|BC|,即|AB|=2 r2-d2. ②代数法:解方程组
?ax+by+c=0, ? ? ??x-x0?2+?y-y0?2=r2, ?

消元后可

得关于x2+x2,x1·2或y1+y2,y1·2的关系式,则 x y |AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 1 ?1+k2?[?y1+y2?2-4y1y2].

注:上述公式通常称为弦长公式.

③联立直线与圆方程,求出两交点坐标,再由两点间的 距离公式求弦长. 三种方法各有特点,解题时可以根据题目特点选用不同 的方法,但前两种方法比较常用. (2)已知弦长,求其他问题时,也需利用以上思想方法.

[例2]

已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点P(-1,2),

AB为过点P且倾斜角为α的弦. (1)当α=135° 时,求AB的长; (2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程. [分析] 几何法:半弦长、弦心距、半径三者构成直角三

角形,利用勾股定理求解;代数法:联立方程组求解.

[解析]

(1)解法一:(几何法)如图所示,过点O作OC⊥AB.

由已知条件得直线的斜率为k=tan135° =-1,

∴直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0. |-1| 2 ∵圆心为(0,0),∴|OC|= = , 2 2 ∵r=2 2,∴|BC|= ∴|AB|=2|BC|= 30. 22 30 8-? 2 ? = 2 ,

解法二:(代数法)当α=135° 时,直线AB的方程为y-2= -(x+1), 即y=-x+1,代入x2+y2=8, 得2x2-2x-7=0. 7 ∴x1+x2=1,x1x2=-2, ∴|AB|= 1+k2|x1-x2| = ?1+1?[?x1+x2?2-4x1x2] = 30.

(2)如图,当弦AB被点P平分时,OP⊥AB, 1 ∵kOP=-2,∴kAB= , 2 1 ∴直线AB的方程为y-2=2(x+1),即x-2y+5=0.

规律总结:本题求弦长问题时,利用了代数法和几何 法,其中解法一(几何法)较直观,求解过程要构造直角三角 弦长 2 形,利用勾股定理得到(半径) =( 2 ) +(弦心距)2这一关系
2

是求出弦长的关键.

直线l经过点P(5,5)并且与圆C:x2+y2=25相交截得的弦 长为4 5,求l的方程.

[解析]

根据题意知直线l的斜率存在,

设直线l的方程为y-5=k(x-5)与圆C相交于A(x1,y1), B(x2,y2), 方法一:联立方程组
?y-5=k?x-5?, ? ? 2 ?x +y2=25, ?

消去y,得(k2+

1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0. ∴Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)· 25k(k-2)>0, 解得k>0.

10k?1-k? 25k?k-2? 又x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 . k +1 k +1 由斜率公式,得y1-y2=k(x1-x2). ∴|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = ?1+k2??x1-x2?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] = 100k2?1-k?2 25k?k-2? 2 ?1+k ?[ -4· 2 ] ?k2+1?2 k +1

=4 5.

两边平方,整理得2k2-5k+2=0, 1 解得k= 或k=2符合题意, 2 故直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.

方法二:如下图所示,|OH|是圆心到直线l的距离,|OA|是 圆的半径,|AH|是弦长|AB|的一半,

1 1 在Rt△AHO中,|OA|=5,|AH|=2|AB|=2×4 5=2 5. ∴|OH|= |OA|2-|AH|2= 5. |5?1-k?| 1 ∴ 2 = 5,解得k=2或k=2. k +1 ∴直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.

圆的切线问题
学法指导 的求法. ①先假设切线斜率存在,有下列两种求切线斜率k的方 法: 方法一:设切线方程为y-y0=k(x-x0),化成一般式kx -y+y0-kx0=0,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距 离等于半径,由此解出k; (1)过圆外一点(x0,y0)与圆相切的切线方程

方法二:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程联 立,化为关于x的一元二次方程,利用判别式为0,求出k. ②若通过上述方法只求出一个斜率k,则另一条切线斜率 一定不存在,此时另一切线方程为x=x0. 注:过圆外一点与圆相切的直线有且只有两条.

(2)过圆上一点的圆的切线方程的求法. 利用斜率公式求出圆心和切点连线的斜率,进而求出切 线的斜率,利用点斜式求出切线方程. (3)斜率为k且与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切的切线方程的 求法. 方法一:先设切线方程为y=kx+b,然后变成一般式kx- y+b=0,利用圆心到切线的距离等于半径,列出方程求b;

方法二:设切线方程为y=kx+b,与圆的方程(x-a)2+(y -b)2=r2联立,化为关于x的一元二次方程,再利用判别式为 0,求出b.

[例3]

过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切

线,求此切线的方程. [分析] 分斜率存在与不存在两种情况讨论.

[解析]

∵(4-3)2+(-3-1)2=17>1,∴点A在圆外.

(1)若所求直线的斜率存在,设切线斜率为k,则切线方程 为y+3=k(x-4). 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1, |3k-1-3-4k| 15 所以 =1,解得k=- 8 . 2 k +1 15 所以切线方程为y+3=- 8 (x-4),即15x+8y-36=0.

(2)若切线斜率不存在,圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为 1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4. 综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.

规律总结:(1)过一点求圆的切线方程,应先判断这一 点与已知圆的位置关系,然后再选择适当的方法求解.一般 情况下,常利用几何法求解. (2)已知一点求圆的切线方程时,切勿漏掉斜率不存在的 情况.

求满足下列条件的圆x2+y2=4的切线方程: (1)经过点P( 3,1);(2)斜率为-1, (3)过点Q(3,0)

[解析]

(1)∵点P( 3,1)在圆上.

∴所求切线方程为 3x+y-4=0. (2)设圆的切线方程为y=-x+b, 代入圆的方程,整理得 2x2-2bx+b2-4=0,∵直线与圆相切, ∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0. 解得b=± 2. 2 ∴所求切线方程为x+y± 2=0. 2 也可用几何法d=r求解.

(3)解法1:∵32+02>4,∴点Q在圆外. 设切线方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0. ∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径, |-3k| 2 ∴ =2,∴k=± 5, 5 1+k2 ∴所求切线方程为2x± 5y-6=0.

解法2:设切点为M(x0,y0),则过点M的切线方程为 4 x0x+y0y=4,∵点Q(3,0)在切线上,∴x0= ① 3 又M(x0,y0)在圆x2+y2=4上,∴x2+y2=4② 0 0 由①②构成的方程组可解得 4 ? ?x0=3, ? ?y0=2 5 3 ? 4 ? ?x0=3, ,或? ?y0=-2 5. 3 ?

∴所求切线方程为 4 2 5 4 2 5 x+ y=4或 x- y=4, 3 3 3 3 即2x+ 5y-6=0或2x- 5y-6=0.

规律总结:求过定点的圆的切线方程,一定要先判断点 是在圆上还是在圆外. (1)可以利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.也 可利用判别式的值等于0求切线方程.若设出切线斜率,用点 斜式写出切线方程,应注意斜率不存在的情况. (2)也可以先求出以Q和圆x2+y2=4的圆心(原点)O为端点 的线段OQ为直径的圆的方程,进而求出两圆交点即切点的坐 标,由两点式求得切线方程.

探索延拓创新

圆的最值问题
学法指导 解决圆内的最值问题,要充分利用数形结合

及转化与化归思想,将问题转化为直线与圆的位置关系和圆 心到直线的距离及半径解决问题.

[例4] ( ) 1 A. 2
[答案]

y 若实数x、y满足(x-2) +y =3,那么 x 的最大值为
2 2

3 B. 3
D

3 C. 2

D. 3

[分析]
2

这类问题可看作是实数x,y满足关系式(x-2)2+

y y =3(*)时,求代数式(称目标函数) 的最值问题,关系式(*)称 x 为约束条件.这里因为(*)表示一个圆,因此把目标函数“几 何化”往往能从图形的整体结构上把握问题.这里使目标函 数几何化的方法是设其值为参数k.

[解析] 心,以

解法1:方程(x-2)2+y2=3的曲线是以A(2,0)为圆

3 为半径的圆,实数x,y是圆上的点P(x,y)的坐标,

y 而 是直线OP的斜率,由图可知当点P在第一象限且OP为圆的 x 切线时,k的值最大.

??x-2?2+y2=3, ? 由?y 可得(1+k2)x2-4x+1=0. ?x=k, ? 令Δ=12-4k2=0得k=± 3. y ∴k最大值为 3,即x最大为 3,故选D.

y 解法2:设 x =k,则y=kx,它可看作过原点的直线,由图 可知,当直线与圆相切,且切点P在第一象限即k>0时,k的值 最大.要使直线与圆相切,应使圆心O′(2,0)到直线y=kx的 |2k| y 距离d= 2 = 3,解得k=± 3,∴k= x 的最大值为 3, 1+k 故选D.

y y-0 解法3: = 表示圆上一点与原点连线的斜率,过O作 x x-0 圆的切线OP、OP′,P、P′为切点,显然OP、OP′的斜率 y 分别为x的最大值、最小值. 由条件知,OP⊥O′P,OO′=2,O′P= 3, y ∴O′P=1,∴kOP=tan∠O′OP= 3,即x= 3. 故选D.

求圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x+2y+2=0的最短 距离、最长距离. [分析] 先求出圆心到直线的距离,判断直线与圆的位置

关系,如果相离,则加减半径即为所求.

[解析]

由已知可得:圆心坐标为(1,1),半径r为1,则圆

|1×1+2×1+2| 5 心到直线的距离为d= = = 5. 2 2 5 1 +2 ∵ 5>1,∴d>r. ∴直线与圆相离. 故可知,最长距离为d+r= 5+1, 最短距离为d-r= 5-1.

规律总结:本题判断直线与圆的位置关系是必要的,如 果直线与圆相离(或相切),则最长距离等于圆心到直线的距离 加半径,最短距离等于圆心到直线的距离减半径,如果直线 与圆相交,则最长距离仍然等于圆心到直线的距离加半径, 但是最短距离就是零,而不是圆心到直线的距离减半径了.

名师辨误做答

易错点 忽视隐含条件 [例5] 已知圆x2+y2+2x+2y+k=0和定点P(1,-1),若 )

过点P的圆的切线有两条,则k的取值范围是( A.(-2,+∞) B.(-∞,2) C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)

[错解]

由题意知点P(1,-1)必须在圆的外部,则12+

(-1)2+2×1+2×(-1)+k>0,解得k>-2.答:A [错因分析] 产生错解的原因是忽视了一个隐含条件:必 须保证方程x2+y2+2x+2y+k=0表示一个圆.

[正解]

因为方程x2+y2+2x+2y+k=0表示一个圆,所

以4+4-4k>0,解得k<2.又由错解知,要使P在圆外,则k>- 2,故-2<k<2. [答案] C.

基础巩固训练

1.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是( A.相交 C.相离
[答案] B

)

B.相切 D.无法判断

|-5| [解析] d= 2 2=1=r, 3 +4 ∴选B.

2.直线 3 x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实 数m等于( ) B.- 3或3 3 D.-3 3或3 3

A. 3或- 3 C.-3 3或 3
[答案] C

[解析]

| 3+m| = 3解得m= 3或-3 3. 2 ? 3? +1

3.圆心坐标为(2,-1)的圆在直线x-y-1=0上截得的 弦长为2 2,那么这个圆的方程为( A.(x-2)2+(y+1)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=2 C.(x-2)2+(y+1)2=8 D.(x-2)2+(y+1)2=16
[答案] A

)

[解析]

|2+1-1| d= = 2,r= 2+2=2, 1+1

∴圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.

4.(2012~2013· 山东济南一模)若圆C的半径为1,圆心在 第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方 程是( )

A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1
[答案] A

[解析]

设圆心C(a,b),半径r=1,由于圆心在第一象

限,且与x轴相切,则b=r=1,则C(a,1),圆心C到直线4x- |4a-3| |4a-3| 1 3y=0的距离d= 2 2 = 5 =r=1,解得a=2或a=- 2 4 +3 (舍去),则该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.

5.直线l:3x-4y-5=0被圆x2+y2=5所截得的弦长为 ________.
[答案]
[解析] 2 r2-d2=4.

4
由题意得弦心距d=1,半径r= 5 ,所以弦长为

6.(2012~2013· 北京丰台高三期末)过点(-3,4)且与圆(x -1)2+(y-1)2=25相切的直线方程为________.

[答案] 4x-3y+24=0

[解析]

由题意知点在圆上,设切线方程是y-4=k(x+

3),即kx-y+3k+4=0,则圆心(1,1)到直线kx-y+3k+4=0 |k-1+3k+4| |4k+3| 的距离d= = 2 ,圆的半径r=5, 2 k +1 k +1 |4k+3| 4 4 4 则 2 =5,解得k= ,则切线方程为 x-y+3× +4 3 3 3 k +1 =0,即4x-3y+24=0.

7.已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值 时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点,没有公共 点?

[解析]

解法1:将y=x+b代入x2+y2=2中消去y得2x2+

2bx+b2-2=0※ 其判别式Δ=(2b)2-8(b2-2)=-4(b+2)(b-2), 当-2<b<2时,Δ>0,方程※有两个不等实根,直线与圆 有两个公共点. 当b=± 2时,Δ=0,方程※有两个相等实根,直线与圆有 一个公共点. 当b<-2或b>2时,Δ<0,方程※无实数根,直线与圆无公 共点.

|b| 解法2:圆心O(0,0)到直线y=x+b距离d= ,圆半径r= 2 2. 当d<r,即-2<b<2时,直线与圆相交,有两个公共点. 当d=r,即b=± 2时,直线与圆相切,有一个公共点. 当d>r,即b<-2或b>2时,直线与圆相离,无公共点.

规律总结:讨论直线与圆的位置关系,可以用代数法, 即将直线与圆的方程联立,消元后用判别式Δ作判断;也可以 用几何法,求圆心到直线的距离d和圆的半径r,用d与r大小判 断.一般地,说几何法更简便.

8.已知一个圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x-3y=0 上,且在直线l2:x-y=0上截得的弦长为2 程. [分析] 设出圆心坐标,利用几何性质列方程求出圆心坐 7 ,求圆C的方

标,再求出半径即可.

[解析]

∵圆心C在直线l1:x-3y=0上,

∴可设圆心为C(3t,t). 又∵圆C与y轴相切,∴圆的半径为r=|3t|. 再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得 |3t-t| 2 ( ) +( 7)2=|3t|2. 2 解得t=± 1. ∴圆心为(3,1)或(-3,-1),半径为3. 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2 =9.


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