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立体几何的证明


直线、平面垂直的判定及其性质
平行:线线平行------线面平行-------面面平行 垂直:线线垂直------线面垂直-------面面垂直 线面平行的判定定理: 线面垂直的判定定理: 面面平行的判定定理; 面面垂直的判定定理:

基础题型
1.下列条件中,能判定直线 l⊥平面 α 的是( A.l 与平面 α 内的两条直线垂直 C.l 与平面 α 内的某一条直线垂直 2.在空间中,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合 C.垂直于同一平面的两个平面平行 ). B.l 与平面 α 内无数条直线垂直 D.l 与平面 α 内任意一条直线垂直 ). B.平行于同一直线的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行

3.用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; 其中真命题的序号是( ). ②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b.

A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 5. 设 l 是直线,a,β 是两个不同的平面 A. 若 l ∥a, l ∥β ,则 a∥β B. 若 l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β l l C. 若 a⊥β , ⊥a,则 ⊥β D. 若 a⊥β , l ∥a,则 l ⊥β 6.下列命题正确的是( ) A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 平行的证明 1 如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形, 点 E、 F 分 别为棱 AB、 PD 的中点. 求 证:AF∥平面 PCE;
P

F

E B

A C

D

2、如图,已知直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+ 3 , 过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,G、F 分别为 AD、CE 的中点,现将△ADE 沿 AE 折叠,使得 DE⊥EC. (1)求证:求证:FG∥面 BCD;
D D E F C G G E F

C

A

B

A

B

3、已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D, E, F 分别为 AA1, CC1, AB 的中点,M 为 BE 的中点, AC⊥BE. 求证: C1D∥平面 B1FM. C1
B1 E M C B F A A1

D

4 、 如 图 所 示 ,

四 棱 锥

P ? ABCD

底 面 是 直 角 梯 形 ,

BA ? AD, CD ? AD, CD=2AB, E 为 PC 的中点, 证明: EB // 平面PAD ;

5、如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,E 是 PC 的中点。求证: PA ∥平面 BDE

6、在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ ACB= 90 ? , EA⊥平面ABCD, EF∥AB, FG∥BC, EG∥AC.AB=2EF. M是线段AD的中点, 求证:GM∥平面ABFE;

\

垂直的证明
1 如 图 , 在 四 棱 锥 P? A B C D 中 , 底 面 A B C D 是 矩 形 , 已 知

AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? .证明: AD ? PB ;

2 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O 为底面 ABCD 的中心, E 为 CC1 ,求证: AO ? 平面BDE 1

3

如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将
'
'

△ AED,△ DCF 分别沿 DE , DF 折起,使 A, C 两点重于 A 。求证: A D ? EF ;

A'

E G B
4:如图:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC=BC=AA1=2,∠ACB=90?.E 为 BB1 的中 点,D 点在 AB 上且 DE= 3 .求证:CD⊥平面 A1ABB1;

D F

5 : 如 图 , 在 四 面 体 ABCD 中 , O 、 E 分 别 是 BD 、 BC 的 中 点 ,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2.
求证: AO ? 平面 BCD;

A

D O B 6 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中, E C

AD ∥ BC , ?ABC ? 90° , PA ? 平面 ABCD . PA ? 3 , AD ? 2 , AB ? 2 3 , BC ? 6

?1? 求证: BD ? 平面 PAC

P A B E
B A

D
C
E

7 如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形,

AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点.
(1) 求证: AF // 平面 BCE ;(2) 求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; C

F

D

8 如, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 底面 ABCD ,AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° ,

PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (1)证明 CD ? AE ; (2)证明
PD ? 平面 ABE ;

P
E A B
C

D

?ABC ? 60? , 9 已知直四棱柱 ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形, E、 F 分别是棱 CC′ 与 BB′上的点,且 EC=BC=2FB=2. (1)求证:平面 AEF⊥平面 AA′C′C;

10、如图 3,在圆锥

中,已知

的直径 的中点. (I) 证明

课后练习 立体几何 1. 如 图 : 梯 形 ABCD 和 正 △ PAB 所 在 平 面 互 相 垂 直 , 其 中 AB // DC ,

AD ? CD ?

1 AB ,且 O 为 AB 中点. 2

P

( I ) 求证: BC // 平面 POD ;( II ) 求证: AC ? PD .
O
D

A

B

C

2.如图,菱形 ABCD 的边长为 6 , ?BAD ? 60 , AC ? BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角线
?

AC 折起,得到三棱锥 B ? ACD ,点 M 是棱 BC 的中点, DM ? 3 2 .
(Ⅰ)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (Ⅱ)求 证 : 平 面 ABC ? 平 面 M D O; B A A O D B M C

O D

C

3. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90° ,

1 BC= AD,PA=PD,Q 为 AD 的中点. 2
(Ⅰ)求证:AD⊥平面 PBQ; (Ⅱ)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA//平面 BMQ. Q A D

P

M C B

4. 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形. PB ? PD , E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDE .
E D

P

C

A

B

5. 已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都相等, 且 D, E , F 分别为 BC, BB1 , AA 1 的中点.
A1

C1

(I) 求证:平面 B1FC // 平面 EAD ; (II)求证: BC1 ? 平面 EAD .
F

B1

E

A D B

C

? 6. 如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直, ?ADE ? 90 ,

AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ;(Ⅱ)求证: AC // 平面 BEF ; E

F 7. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF//平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. A

D B

C

(第 16题图)


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