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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义第九章9.5


数学

北(理)

§9.5 椭 圆
第九章 解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.椭圆的概念 把平面内到两个定点 F1、F2 的距离之 和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫
(1)椭圆焦点位置与 x2,y2 系数间的关系: x2 y2 给出椭圆方程 m + n =

1 时,椭圆的焦点在 x 轴上 ?m>n>0,椭圆的焦点在 y 轴上?0<m<n.

难点正本 疑点清源

椭圆 .这两个定点叫作椭圆的 焦点 , 两焦点间的距离叫作椭圆的 焦距 .
集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2| =2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 a>c ,则集合 P 为椭圆; (2)若 a=c ,则集合 P 为线段; (3)若 a<c ,则集合 P 为空集.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理 2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 x2 y2 + =1 a2 b2 (a>b>0) y2 x2 + = a2 b2 1(a>b>0)
(2)求椭圆离心率 e 时, 只 要求出 a,b,c 的一个齐 次方程,再结合 b2=a2- c2 就可求得 e (0<e<1).

难点正本 疑点清源

图形 -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a

性 质

范围 对称性

对称轴:坐标轴 对称中心:原点
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

基础知识·自主学习
要点梳理
A1(-a,0), 顶点 A2(a,0) B2(0,b) 性 质 焦距 离心率 a,b,c 的关系 轴 A1(0,-a), A2(0,a) B2(b,0)

难点正本 疑点清源
(3)求椭圆方程时, 常用待 定系数法, 但首先要判断 是否为标准方程, 判断的 依据: ① 中心是否在原 点; ② 对称轴是否为坐 标轴.

B1(0,-b), B1(-b,0), 长轴 A1A2 的长为 2a;短轴 B1B2 的长为 2b |F1F2|=2c c e=a∈(0,1) c2=a2-b2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
4 3

解析

(0,1)
D

A
D

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求椭圆的标准方程
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦 点组成一个正三角形;且焦点到同侧 顶点的距离为 3,则椭圆的标准方程 为____________________________; (2)(2011· 课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 2 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 2 的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为 ________________.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求椭圆的标准方程
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦 点组成一个正三角形;且焦点到同侧 顶点的距离为 3,则椭圆的标准方程 为____________________________; (2)(2011· 课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 2 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 2 的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为 ________________.
基础知识 题型分类

根据椭圆的定义和几何性 质确定椭圆的基本量.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求椭圆的标准方程
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦 点组成一个正三角形;且焦点到同侧 ? ?

?a=2c, ?a=2 3, ? 解析 (1)由已知 ∴? 顶点的距离为 3,则椭圆的标准方程 ? ? ?a-c= 3, ?c= 3.

2 2 2 2 x y x y 2 从而 b =9,∴所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 为____________________________ ; 12 9 9 12 2 2 x)在平面直角坐标系 y (2)(2011· 课标全国 (2) 设椭圆方程为 + =1 (a>b>0), a2 b2 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 2 c 2 b2 1 由 e= 知a= ,故 2= . 2 2在 x 轴上,离心率为 2 a 2 .过 F1 F1,F2

由于△ABF2 的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|
2 = (| AF | + | AF |) + (| BF | + | BF |) = 4 a = 16 ,故 a = 4. ∴ b =8. 1 2 1 C 的方程为 2 的周长为 16,那么椭圆

2

的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 且△ABF2

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 ________________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求椭圆的标准方程
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦 点组成一个正三角形;且焦点到同侧 顶点的距离为 3,则椭圆的标准方程

x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1 12 9 9 12 为____________________________ ;
(2)(2011· 课标全国)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 2 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 2 的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为

x2 y2 16+ 8 =1 ________________ .
基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 求椭圆的标准方程
思维启迪 解析 答案 探究提高

【例 1】(1)若椭圆短轴的一个端点与两焦

点组成一个正三角形;且焦点到同侧 求椭圆标准方程的基本方法是 顶点的距离为 3,则椭圆的标准方程

x y x y + =1 或 + =1 12 9 9 12 为____________________________ ; 形,再定量,即首先确定焦点所 (2)(2011· 课标全国)在平面直角坐标系 在位置,然后再根据条件建立关

2

2

2

2

待定系数法,具体过程是先定

xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 于 a,b 的方程组.如果焦点位 2 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 置不确定,要考虑是否有两解, 2 的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为

有时为了解题方便,也可把椭圆 n>0,m≠n)的形式.

方程设为 mx2+ ny2=1 (m>0,

x2 y2 + =1 16 8 ________________ .
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思想方法

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题型分类·深度剖析
x2 y2 变式训练 1 已知 F1,F2 是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的左,右焦点,A,B a b 分别是此椭圆的右顶点和上顶点,P 是椭圆上一点,OP∥AB,PF1⊥x
x2 y2 10+ 5 =1 . 轴,|F1A|= 10+ 5,则此椭圆的方程是____________

b b 解析 由于直线 AB 的斜率为- , 故 OP 的斜率为- , 直线 OP a a b x2 y2 2 的方程为 y=- x.与椭圆方程 2+ 2=1 联立,解得 x=± a.因 a a b 2 2 为 PF1⊥x 轴,所以 x=- a, 2 2 从而- 2 a=-c,即 a= 2c.又|F1A|=a+c= 10+ 5,
故 2c+c= 10+ 5,解得 c= 5,从而 a= 10. x2 y2 动画展示 所以所求的椭圆方程为10+ 5 =1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 椭圆的几何性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 F1、F2 是椭圆的两个 焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2 =60° . (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证: △F1PF2 的面积只与椭圆 的短轴长有关.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 椭圆的几何性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 F1、F2 是椭圆的两个 焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2 =60° . (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证: △F1PF2 的面积只与椭圆 的短轴长有关.

(1)在△PF1F2 中,使用余弦定理 和 |PF1| + |PF2| = 2a , 可 求 |PF1|· |PF2|与 a,c 的关系,然后 利用基本不等式找出不等关系, 从而求出 e 的范围; (2)利用 S △F PF = 1 |PF |· |PF2|sin 60° 可证. 2 1
1 2

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 椭圆的几何性质
思维启迪 解析 探究提高
2 2

【例 2】 已知 F1、F2 是椭圆的两个

x y F1PF2 焦点,P 为椭圆上一点,∠ (1)解 设椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b =60° . |PF 1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a. (1) 求椭圆离心率的范围; 在 △ PF1F2 中,由余弦定理可知,
求证: △2F1PF2 的面积只与椭圆 2 4(2) c2= m2+ n -2mncos 60° =(m+n) -3mn 的短轴长有关. ?m+n? ? ?2 2 2 2 2 2 =4a -3mn≥4a -3· = 4 a - 3 a = a ? 2 ? ? ? c2 1 1 (当且仅当 m=n 时取等号).∴ 2≥ ,即 e≥ . a 4 2

又 0<e<1,∴e
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?1 ? 的取值范围是?2,1?. ? ?

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题型分类·深度剖析
题型二 椭圆的几何性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 F1、F2 是椭圆的两个 焦点,P 为椭圆上一点,∠ 4 2 F1PF2 (2)证明 由(1)知 mn= b , 3 =60° . (1)求椭圆离心率的范围; 1 3 2 ∴S△PF1F2 = mnsin 60° = b, 3 (2)求证: △2 F1PF2 的面积只与椭圆 的短轴长有关. 即△PF1F2 的面积只与短轴长有关.

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题型分类·深度剖析
题型二 椭圆的几何性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 F1、F2 是椭圆的两个

焦点, P 为椭圆上一点,∠F1PF2 (1) 椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦点三角形, =60° . 与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、 余弦定理、|PF1|

+ |PF (1) 求椭圆离心率的范围; 2|=2a,得到 a、c 的关系. ?定义式的平方 (2)求证: △F1PF2 的面积只与椭圆 ? (2)对△ F1PF2 的处理方法?余弦定理 的短轴长有关. ?面积公式 ?
2 2 ? | PF | + | PF | ? = ? 2 a ? ? 1 2 ? ?4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ ?? 1 ? S = |PF ||PF2|sin θ ? ? △ 2 1

.

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 安徽)如图,F1、F2 分别是椭圆 C: x2 y2 + =1(a>b>0)的左、 右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, a2 b2

B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ∠F1AF2=60° . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值.
解 (1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c, 1 所以 e= . 2 (2)方法一 a2=4c2,b2=3c2,直线 AB 的方程为 y=- 3(x-c),

将其代入椭圆方程 3x +4y =12c ,得

2

2

2

?8 3 3 ? ? ? B? c,- c ?, 5 ? ?5

所以|AB|=
基础知识

?8 ? 16 ? c-0?= c. 1+3· 5 ?5 ?

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思想方法

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 安徽)如图,F1、F2 分别是椭圆 C: x2 y2 + =1(a>b>0)的左、 右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, a2 b2

B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ∠F1AF2=60° . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值. 1 1 16 3 2 3 2 由 S △AF1B = |AF1|· |AB|· sin∠F1AB= a· c· = a =40 3, 解 2 2 5 2 5
得 a=10,b=5 3.

方法二 设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.
由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t, 8 2 2 2 再由余弦定理(3a-t) =a +t -2atcos 60° 可得,t= a. 5 1 8 3 2 3 2 由 S △AF1B = a·a· = a =40 3知,a=10,b=5 3. 2 5 2 5
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题型分类·深度剖析
题型三 直线与椭圆的位置关系
思维启迪 解析

【例 3】 (2011· 北京)已知椭圆 G: x2 2 + y = 1.过点(m,0)作圆 x2+ y2 4

探究提高

=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数, 并求 |AB|的最大值.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 直线与椭圆的位置关系
思维启迪 解析

【例 3】 (2011· 北京)已知椭圆 G: x2 2 + y = 1.过点(m,0)作圆 x2+ y2 4

探究提高

对于直线和椭圆的交点问题,一般 要转化为方程组解的问题,充分体 现数形结合思想.

=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数, 并求 |AB|的最大值.

基础知识

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 直线与椭圆的位置关系
探究提高
思维启迪 解析 【例 3】 (2011· 北京)已知椭圆 G: x2 2 2 2 2,所以 2 解+ (1) 由已知得 a = 2 , b = 1 c = a - b = 3. y = 1.过点(m,0)作圆 x + y 4 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0). =1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B c 3 离心率为 两点. e=a= 2 .

3 当 m = 1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为(1, ), (2) 将 |AB |表示为 m 的函数, 并求 2 3 |AB|的最大值. (1,- ).此时|AB|= 3. 2

(2) 由题意知, |m|≥1. (1) 求椭圆 G 的焦点坐标和离心率;

当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3.

当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m).
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题型分类·深度剖析
题型三 直线与椭圆的位置关系
探究提高
思维启迪 解析 【例 3】 (2011· 北京)已知椭圆 G: x2 2 2 2 y= k ?x1. - m?, ? + y = 过点 ( m, 0) 作圆 x + y 4? 2 2 2 2 2 2 由?x 得 (1 + 4 k ) x - 8 k mx + 4 k m -4=0. 2 + y = 1 , ? = 4 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B ?1

两点. 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 (2)将|AB|表示为 m 的函数, 并求 |km| 2 2 | AB | 的最大值. 又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 2 =1, k +1
x1+x2= ,x1x2= . 1+4k2 1+4k2
2 的焦点坐标和离心率; (1)求椭圆 G 4k2m2-4 8k m

即 m2k2=k2+1.
所以|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2
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题型分类·深度剖析
题型三 直线与椭圆的位置关系
思维启迪 解析

【例 3】 (2011· 北京)已知椭圆 G: x2 2 2 2 2 2 + y = 1. 过点 ( m, 0) 作圆 x + y = ? 1 + k ? [ ? x + x ? - 4 x x ] 1 2 1 2 4

探究提高

=1 = 两点.

2 2 ? 64k4m2 4 ? 4 k mB -4?? 的切线 l 交椭圆 G 于 A, ? 4 3|m| 2 ? ?1+k ?? 2 2- 2 ?= m2+3 . ? 1 + 4 k ? 1 + 4 k ? ?

(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; 4 3|m| (2) 将 | AB | 表示为 mm 的函数, 并求 所以|AB|= 2 , ∈(-∞ ,-1]∪[1,+∞). m +3 |AB|的最大值. 4 3|m| 4 3 因为|AB|= 2 = ≤2, 3 m +3 |m|+ |m|
且当 m=± 3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.
基础知识 题型分类 思想方法

由于当 m=± 1 时,|AB|= 3,

动画展示
练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线与椭圆的位置关系
探究提高 思维启迪 解析 【例 3】 (2011· 北京)已知椭圆 G: x2 2 + y = 1.过点(m,0)作圆 x2+ y2 (1)解答直线与椭圆的题目时, 时常把 4

=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两个曲线的方程联立,消去 x(或 y) 两点.

建立一元二次方程, 然后借助根与系

并结合题设条件建立有关 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; 数的关系,
(2)将|AB|表示为 m 的函数, 并求 参变量的等量关系. |AB|的最大值.

(2)涉及到直线方程的设法时, 务必考 虑全面, 不要忽略直线斜率为 0 或不 存在等特殊情形.

基础知识

题型分类

思想方法

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y2 变式训练 3 设 F1、F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦 b
2

点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成 等差数列. (1)求|AB|;(2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

解 (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4. 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=3. (2)设直线 l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点的坐标满足方程组
y=x+c, ? ? ? 2 y2 化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0, x +b2=1. ? ?
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题型分类·深度剖析
y2 变式训练 3 设 F1、F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左、右焦 b
2

点,过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成 等差数列. (1)求|AB|;(2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.

-2c 1-2b2 则 x1+x2= ,x1x2= . 1+b2 1+b2

因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|,

4 即3= 2|x2-x1|, 2 2 4 4 ? 1 - b ? 4 ? 1 - 2 b ? 8 8 b 则9=(x1+x2)2-4x1x2= - = , ?1+b2?2 1+b2 ?1+b2?2 ? 2? 2 ? 解得 b= ?b=- 不合题意,故舍去? ?. 2? 2 ?
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答题规范 3.步骤表述要规范
x2 y 2 典例:(12 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.点 P(a, a b b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e.(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 5 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点,且|MN|= |AB|, 8 求椭圆的方程. 审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

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答题规范 3.步骤表述要规范
x2 y 2 典例:(12 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.点 P(a, a b b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e.(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 5 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点,且|MN|= |AB|, 8 求椭圆的方程. 审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

第(1)问由|PF2|=|F1F2|建立关于 a、c 的方程;第(2)问可以求出点 A、B 的 坐标或利用根与系数的关系求|AB|均可,再利用圆的知识求解.

基础知识

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思想方法

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答题规范 3.步骤表述要规范
x2 y 2 典例:(12 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.点 P(a, a b b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e.(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 5 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点,且|MN|= |AB|, 8 求椭圆的方程. 审 题 视 角


规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),因为|PF2|=|F1F2|,所以 ?a-c?2+b2=

c2 c c c 1 1 4分 2c.整理得 2(a) +a-1=0,得a=-1(舍),或a= .所以 e= . 2 2 (2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2,直线 PF2 的

方程为 y= 3(x-c).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题规范 3.步骤表述要规范
x2 y2 典例:(12 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.点 P(a, a b b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e.(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 5 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点,且|MN|= |AB|, 8 求椭圆的方程. 审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

2 2 2 ? ?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? ? ?y= 3?x-c?.

消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0.
6分

8 解得 x1=0,x2= c. 5 ? ?x1=0, 得方程组的解? ? ?y1=- 3c,
基础知识

8 ? x = ? 2 5c, ? ?y2=3 3c. 5 ?

题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
答题规范 3.步骤表述要规范
x2 y 2 典例:(12 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.点 P(a, a b b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e.(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 5 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点,且|MN|= |AB|, 8 求椭圆的方程. 规 范 解 答 审 题 视 角 温 馨 提 醒 8 3 3 不妨设 A( c, c),B(0,- 3c), 5 5 8 2 3 3 16 2 所以|AB|= ?5c? +? 5 c+ 3c? = 5 c. 8分 5 于是|MN|= |AB|=2c. 8 |- 3- 3- 3c| 3|2+c| 10分 圆心(-1, 3)到直线 PF2 的距离 d= = . 2 2 思想方法 题型分类 练出高分 基础知识

题型分类·深度剖析
答题规范 3.步骤表述要规范
x2 y 2 典例:(12 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.点 P(a, a b b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e.(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 5 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点,且|MN|= |AB|, 8 求椭圆的方程. 审 题 视 角 |MN| 2 2 因为 d +( ) =42, 2 3 所以4(2+c)2+c2=16.
2

规 范 解 答

温 馨 提 醒

26 整理得 7c +12c-52=0,得 c=- (舍),或 c=2. 7 2 2 x y 所以椭圆方程为16+12=1.
基础知识 题型分类 思想方法

12分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题规范 3.步骤表述要规范
x2 y 2 典例:(12 分)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.点 P(a, a b b)满足|PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e.(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点.若直线 5 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 M,N 两点,且|MN|= |AB|, 8 求椭圆的方程. 审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)解决与弦长有关的椭圆方程问题,首先根据题设条件设出所求的椭圆方 程,再由直线与椭圆联立,结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数. (2)用待定系数法求椭圆方程时, 可尽量减少方程中的待定系数 (本题只有一 个 c),这样可避免繁琐的运算.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1. 求椭圆的标准方程时, 应从“定形”“定式”“定量” 三个方面去思考. “定形”就是指椭圆的对称中心在原 点, 以坐标轴为对称轴的情况下, 能否确定椭圆的焦点 在哪个坐标轴上. “定式”就是根据“形”设出椭圆方 程的具体形式, “定量”就是指利用定义和已知条件确 定方程中的系数 a,b 或 m,n.

方 法 与 技 巧

2.讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点,求离心 率的常用方法有以下两种: c (1)求得 a,c 的值,直接代入公式 e=a求得; (2)列出关于 a,b,c 的齐次方程(或不等式),然后根据 b2 =a2-c2,消去 b,转化成关于 e 的方程(或不等式)求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2 的分母大小.

失 误 与 防 范

x2 y2 2.注意椭圆的范围,在设椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上点的 a b 坐标为 P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在求与点 P 有关 的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求 最值错误的原因.

3.注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某一点 坐标视为某一函数问题,求函数的单调区间、最值 时有重要意义.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 y2 1.(2012· 江西)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、 a b 右焦点分别是 F1、F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此 椭圆的离心率为 1 5 A. B. 4 5 ( 1 C. 2 D. 5-2 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 y2 1.(2012· 江西)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、 a b 右焦点分别是 F1、F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此 椭圆的离心率为 1 5 A. B. 4 5 ( B ) 1 C. 2 D. 5-2

解 析
由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c, 且三者成等比数列,则|F1F2|2=|AF1|· |F1B|, 即 4c2=a2-c2,a2=5c2,

1 5 所以 e =5,所以 e= 5 .
2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4 2.已知椭圆 C 的短轴长为 6,离心率为 ,则椭圆 C 的焦点 F 到长 5 轴的一个端点的距离为 A.9 B. 1 C.1 或 9 ( D.以上都不对 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4 2.已知椭圆 C 的短轴长为 6,离心率为 ,则椭圆 C 的焦点 F 到长 5 轴的一个端点的距离为 A.9 B. 1 C.1 或 9 ( C ) D.以上都不对

解 析
? ?b=3 ?c 4 ? = ?a 5 2 2 2 ? ? a =b +c

,解得 a=5,b=3,c=4.

∴椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为 a+c=9 或 a-c=1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 3. 已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 , 且它的长轴长等于圆 C: 2 x2+y2-2x-15=0 的半径,则椭圆的标准方程是 x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 4 3 16 12 x2 2 x2 y2 C. +y =1 D. + =1 4 16 4 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 3. 已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 , 且它的长轴长等于圆 C: 2 x2+y2-2x-15=0 的半径,则椭圆的标准方程是 x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 4 3 16 12 x2 2 x2 y2 C. +y =1 D. + =1 4 16 4 ( A )

解 析
由 x2+y2-2x-15=0,知 r=4=2a?a=2.
c 1 又 e=a=2,c=1,则 b2=a2-c2=3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练

7 9 2 3 4 6 8 5 x2 2 4.已知椭圆 +y =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭 4 → → 圆上,且MF1· MF2=0,则点 M 到 y 轴的距离为 ( ) 2 3 2 6 3 A. B. C. D. 3 3 3 3

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练

7 9 2 3 4 6 8 5 x2 2 4.已知椭圆 +y =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭 4 → → 圆上,且MF1· MF2=0,则点 M 到 y 轴的距离为 ( ) 2 3 2 6 3 A. B. C. D. 3 3 3 3

解 析
由题意,得 F1(- 3,0),F2( 3,0). → → 设 M(x,y),则MF1· MF2=(- 3-x,-y)· ( 3-x,-y)=0,
整理得 x2+y2=3. ①

x2 2 又因为点 M 在椭圆上,故 4 +y =1, x2 2 即 y =1- 4 .
基础知识 题型分类 思想方法


练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练

7 9 2 3 4 6 8 5 x2 2 4.已知椭圆 +y =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭 4 → → 圆上,且MF1· MF2=0,则点 M 到 y 轴的距离为 ( B ) 2 3 2 6 3 A. B. C. D. 3 3 3 3

解 析
3 2 2 6 将②代入①,得 x =2,解得 x=± . 4 3 2 6 故点 M 到 y 轴的距离为 3 .

基础知识

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思想方法

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5. 已知 F1、 F2 是椭圆 C 的左、 右焦点, 点 P 在椭圆上, 且满足|PF1| =2|PF2|,∠PF1F2=30° ,则椭圆的离心率为________.

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5. 已知 F1、 F2 是椭圆 C 的左、 右焦点, 点 P 在椭圆上, 且满足|PF1| 3 3 =2|PF2|,∠PF1F2=30° ,则椭圆的离心率为________ .

解 析
在三角形 PF1F2 中,由正弦定理得 sin∠PF2F1=1, π 即∠PF2F1= ,设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|= 3, 2 2c 3 所以离心率 e= = . 2a 3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 y2 6.已知椭圆 + =1 的焦点分别是 F1,F2,P 是椭圆上一点,若 16 25 连接 F1,F2,P 三点恰好能构成直角三角形,则点 P 到 y 轴的 距离是________.

解 析

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思想方法

练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

x2 y2 6.已知椭圆 + =1 的焦点分别是 F1,F2,P 是椭圆上一点,若 16 25 连接 F1,F2,P 三点恰好能构成直角三角形,则点 P 到 y 轴的 16 距离是________ . 5

解 析
F1(0,-3),F2(0,3),∵3<4,
∴∠F1F2P=90° 或∠F2F1P=90° .

16 设 P(x,3),代入椭圆方程得 x=±5 . 16 即点 P 到 y 轴的距离是 5 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练
7 8 9

3 4 6 5 7. 如图所示,A,B 是椭圆的两个顶点,C 是

AB 的中点,F 为椭圆的右焦点,OC 的延长 线交椭圆于点 M,且|OF|= 2,若 MF⊥OA, 则椭圆的方程为_________________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练
7 8 9

3 4 6 5 7. 如图所示,A,B 是椭圆的两个顶点,C 是

AB 的中点,F 为椭圆的右焦点,OC 的延长 线交椭圆于点 M,且|OF|= 2,若 MF⊥OA, 则椭圆的方程为_________________.

解 析
x2 y2 设所求的椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b ?a b? 则 A(a,0),B(0,b),C?2,2?,F( a2-b2,0). ? ?
依题意,得 a2-b2= 2,FM 的直线方程是 x= 2, ? ? b 2 所以 M? 2,a a -2?. ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

A组

专项基础训练
7 8 9

3 4 6 5 7. 如图所示,A,B 是椭圆的两个顶点,C 是

AB 的中点,F 为椭圆的右焦点,OC 的延长 线交椭圆于点 M,且|OF|= 2,若 MF⊥OA,
x2 y2 + 2 =1 4 则椭圆的方程为_________________.

b a2-2 b a 2 由于 O,C,M 三点共线,所以 =a, 2 2 2 2 2 即 a -2=2,所以 a =4,b =2.
x2 y2 所求方程是 4 + 2 =1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知椭圆的两焦点为 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点, 且 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|. (1)求此椭圆的方程; (2)若点 P 在第二象限,∠F2F1P=120° ,求△PF1F2 的面积.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知椭圆的两焦点为 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点, 且 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|. (1)求此椭圆的方程; (2)若点 P 在第二象限,∠F2F1P=120° ,求△PF1F2 的面积.

解 析



(1)依题意得|F1F2|=2,

又 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=4=2a.∴a=2,c=1,b2=3. x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 4 + 3 =1. (2)设 P 点坐标为(x,y),∵∠F2F1P=120° ,

∴PF1 所在直线的方程为 y=(x+1)· tan 120° ,
即 y=- 3(x+1).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)已知椭圆的两焦点为 F1(-1,0)、F2(1,0),P 为椭圆上一点, 且 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|. (1)求此椭圆的方程; (2)若点 P 在第二象限,∠F2F1P=120° ,求△PF1F2 的面积.
?y=- 3?x+1?, ? 2 2 解方程组?x y + =1, ? ?4 3 8 ? ?x=-5, 并注意到 x<0,y>0,可得? ?y=3 3. 5 ?

解 析

1 3 3 3 3 ∴S △PF1F2=2|F1F2|· 5 = 5 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练
8 9

7 2 3 4 6 5 9.(12 分)(2012· 安徽)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0) x2 y2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, a b

过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 a2 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= c 于点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练
8 9

7 2 3 4 6 5 9.(12 分)(2012· 安徽)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0) x2 y2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, a b

过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 a2 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= c 于点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

解 析

(1)解

方法一

? b2? 由条件知,P?-c, a ?,故直线 ? ?

b2 a -0 b2 PF2 的斜率为 k PF2 = =- . 2ac -c-c
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练
8 9

7 2 3 4 6 5 9.(12 分)(2012· 安徽)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0) x2 y2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, a b

过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 a2 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= c 于点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 因为 PF2⊥F2Q, 解 析 ?a2 ? 2ac 2ac2 所以直线 F2Q 的方程为 y= b2 x- b2 ,故 Q? c ,2a?. ? ? 2 a 由题设知, =4,2a=4,解得 a=2,c=1. c x2 y2 故椭圆方程为 4 + 3 =1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练
8 9

7 2 3 4 6 5 9.(12 分)(2012· 安徽)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0) x2 y2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, a b

过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 a2 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= c 于点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

解 析

方法二

a2 设直线 x= c 与 x 轴交于点 M.

? b2? 由条件知,P?-c, a ?. ? ?

|PF1| |F1F2| 因为△PF1F2∽△F2MQ,所以|F M|= |MQ| , 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练
8 9

7 2 3 4 6 5 9.(12 分)(2012· 安徽)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0) x2 y2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, a b

过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 a2 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= c 于点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 2 b 解 析 a 2c 即 2 = ,解得|MQ|=2a. a |MQ| -c 2 c a ? ? ? =4, ?a=2, c 所以? 解得? ? ?c=1. ? 2 a = 4 , ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练
8 9

7 2 3 4 6 5 9.(12 分)(2012· 安徽)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0) x2 y2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, a b

过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 a2 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= c 于点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 2 2 x y 解 析 故椭圆方程为 + =1. a2 4 3 x- c y-2a (2)证明 直线 PQ 的方程为b2 = a2, -2a -c- c a c 即 y= x+a. a
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

A组

专项基础训练
8 9

7 2 3 4 6 5 9.(12 分)(2012· 安徽)如图,点 F1(-c,0),F2(c,0) x2 y2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, a b

过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 a2 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= c 于点 Q. (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

x2 y2 将上式代入 2+ 2=1 得 x2+2cx+c2=0, a b b2 解得 x=-c,y= . a

解 析

所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4

7 6 5 x2 y2 1.(2012· 课标全国)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右 a b 3a 焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三 2

角形,则 E 的离心率为 1 2 3 A. B. C. 2 3 4

( 4 D. 5

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4

7 6 5 x2 y2 1.(2012· 课标全国)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右 a b 3a 焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三 2

角形,则 E 的离心率为 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 5 由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30° , 解 析
∴∠PF2x=60° . ?3 ? ∴|PF2|=2×?2a-c?=3a-2c. ? ? ∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a-2c=2c,

( C )

c 3 ∴e=a=4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

x2 y2 2.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭 4 3 → → 圆上的任意一点,则OP· FP的最大值为 ( ) A.2 B. 3 C.6 D.8

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

x2 y2 2.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭 4 3 → → 圆上的任意一点,则OP· FP的最大值为 ( C ) A.2 B. 3 C.6 D.8

解 析

由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0),

→ → 2 则OP· FP=(x0,y0)· (x0+1,y0)=x2 + x + y 0 0 0. 2 x2 y 0 0 ∵P 为椭圆上一点,∴ 4 + 3 =1. 2 2 x x 1 → → 0 0 2 ∴OP· FP=x0+x0+3(1- 4 )= 4 +x0+3=4(x0+2)2+2. ∵-2≤x0≤2, → → ∴OP· FP的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于 6.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升

7 2 3 4 6 5 x2 y2 3.在椭圆 + =1 内,通过点 M(1,1),且被这点平分的弦所在 16 4

的直线方程为 A.x+4y-5=0 C.4x+y-5=0 B.x-4y-5=0 D.4x-y-5=0

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升

5 7 2 3 4 6 x2 y2 3.在椭圆 + =1 内,通过点 M(1,1),且被这点平分的弦所在 16 4

的直线方程为 A.x+4y-5=0 C.4x+y-5=0 B.x-4y-5=0 D.4x-y-5=0

(

)

解 析

设直线与椭圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),

2 2 ? x1 y1 ?16+ 4 =1, 则? 2 2 x y ? 2 + 2=1, ?16 4

① ②

?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? 由①-②,得 + =0, 16 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组

专项能力提升

5 7 2 3 4 6 x2 y2 3.在椭圆 + =1 内,通过点 M(1,1),且被这点平分的弦所在 16 4

的直线方程为 A.x+4y-5=0 C.4x+y-5=0 B.x-4y-5=0 D.4x-y-5=0

( A )

解 析
? ?x1+x2=2, 因? ? ?y1+y2=2,

y1-y2 4?x1+x2? 1 所以 =- =- , 4 x1-x2 16?y1+y2?

1 所以所求直线方程为 y-1=-4(x-1),
即 x+4y-5=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

x2 y2 4.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任 25 16 一点, 点 M 的坐标为(6,4), 则|PM|+|PF1|的最大值为________.

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

x2 y2 4.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任 25 16

15 一点, 点 M 的坐标为(6,4), 则|PM|+|PF1|的最大值为________ . 解 析
|PF1| + |PF2| = 10 , |PF1| = 10 - |PF2| , |PM| + |PF1| = 10 + |PM|-|PF2|,易知 M 点在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭 圆于 P 点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1| 的最大值为 10+|MF2|=10+ ?6-3?2+42=15.

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 6 7

5 x2 5. 如图,已知点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 2 a y2 + 2=1 (a>b>0)上一点,若 PF1⊥PF2, b 1 tan∠PF1F2= , 则此椭圆的离心率是________. 2

解 析

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 6 7

5 x2 5. 如图,已知点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 2 a y2 + 2=1 (a>b>0)上一点,若 PF1⊥PF2, b 5 1 3 tan∠PF1F2= , 则此椭圆的离心率是________ . 2

解 析
由题得△PF1F2 为直角三角形,设|PF1|=m,

1 m 5 ∵tan∠PF1F2=2,∴|PF2|= 2 ,|F1F2|= 2 m,
c |F1F2| 5 ∴e=a= =3. |PF1|+|PF2|
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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

x2 y2 1 6.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率等于 ,其焦点分别为 A、 a b 3 B,C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC 中, sin A+sin B 的值等于________. sin C

解 析

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

x2 y2 1 6.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率等于 ,其焦点分别为 A、 a b 3 B,C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC 中, sin A+sin B 3 的值等于________ . sin C

解 析
sin A+sin B |CB|+|CA| 在△ABC 中,由正弦定理得 = ,因 sin C |AB| 为点 C 在椭圆上, 所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a, 而|AB| sin A+sin B 2a 1 =2c,所以 = =e =3. sin C 2c

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1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

x2 y2 1 7.(13 分)已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的长轴长为 4,离心率为 , a b 2 点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点,过点 P 作椭圆的切线 l, 交 y 轴于点 A,直线 l′过点 P 且垂直于 l,交 y 轴于点 B. (1)求椭圆的方程; (2)试判断以 AB 为直径的圆能否经过定点?若能, 求出定点坐 标;若不能,请说明理由.

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1 2

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3

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4 5 6 7

解 析


c 1 (1)∵2a=4,a= ,∴a=2,c=1,b= 3. 2

x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 4 3

(2)能.设点 P(x0,y0) (x0≠0,y0≠0), 由题意知直线 l 的斜率存在.

设直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0), x2 y2 代入 + =1, 4 3 整理得(3+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-12=0. ∵x=x0 是方程的两个相等实根, 8k?y0-kx0? 3x0 ∴2x0=- ,解得 k=-4y . 3+4k2 0
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1 2

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3

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4 5 6 7

3x0 ∴直线 l 的方程为 y-y0=- (x-x0). 4y0
令 x=0,得点 A x2 y2 0 0 2 又∵ + =1,∴4y2 0+3x0=12. 4 3 ? 3? ∴点 A 的坐标为?0,y ?. ? 0? 4y0 又直线 l′的方程为 y-y0= (x-x0), 3x0 ? y0? 令 x=0,得点 B 的坐标为?0,- 3 ?. ? ?
2 2? ? 4 y + 3 x 0 0? 的坐标为? ?0, ?. 4 y ? ? 0

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解 析
∴以 AB 为直径的圆的方程为
? 3 ? ? y0? ?y+ ?=0. x· x+?y-y ?· 3? ? 0? ?

整理,得 x +y

2

2

?y0 3? +? 3 -y ?y-1=0.令 ? 0?

y=0,得 x=± 1,

∴以 AB 为直径的圆恒过定点(1,0)和(-1,0).

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