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高中数学竞赛教材讲义 第二章 二次函数与命题


第二章

二次函数与命题

一、基础知识 2 2 1.二次函数:当 a ? 0 时,y=ax +bx+c 或 f(x)=ax +bx+c 称为关于 x 的二次函数,其对称轴为 直线 x=-

b b 2 ,另外配方可得 f(x)=a(x-x0) +f(x0),其中 x0=,下同。 2a 2a

2.二次函数的性质:当 a>0 时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量 x 增大 函数值减小(简称递减) ,在[x0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增) 。当 a<0 时, 情况相反。 2 2 2 3.当 a>0 时,方程 f(x)=0 即 ax +bx+c=0?①和不等式 ax +bx+c>0?②及 ax +bx+c<0?③与 2 函数 f(x)的关系如下(记△=b -4ac) 。 1)当△>0 时,方程①有两个不等实根,设 x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式③的解集分别是 {x|x<x1 或 x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,f(x)还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2)当△=0 时,方程①有两个相等的实根 x1=x2=x0= ? {x|x ? ?

b ,不等式②和不等式③的解集分别是 2a

3)当△<0 时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 ? .f(x)图象与 x 轴无公 共点。 当 a<0 时,请读者自己分析。 4. 二次函数的最值: a>0, x=x0 时,(x)取最小值 f(x0)= 若 当 f

b }和空集 ? ,f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 2a

b 4ac ? b 2 ,若 a<0, 则当 x=x0= ? 2a 4a

4ac ? b 2 2 时,f(x)取最大值 f(x0)= .对于给定区间[m,n]上的二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0), 4a
当 x0∈[m, n]时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0); 当 x0<m 时。f(x)在[m, n]上的最小值为 f(m);当 x0>n 时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出) 。 定义 1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题, “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结 词“或”“且”“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命 、 、 题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p,q 同为假命题时为假,否则为真命题; p 且 q”复合命题 “ 只有当 p,q 同时为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题:若 p 则 q(p 为条件,q 为结论) ;逆命题:若 q 则 p;否命题:若非 p 则 q; 逆否命题:若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真,则记为 p ? q 否则记作 p ? q.在命题“若 p 则 q”中,如 果已知 p ? q,则 p 是 q 的充分条件;如果 q ? p,则称 p 是 q 的必要条件;如果 p ? q 但 q 不 则称 p 是 q 的充分非必要条件; 如果 p 不 ? q 但 p ? q, p 称为 q 的必要非充分条件; 则 ?p, 若 p ? q 且 q ? p,则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题 1.待定系数法。 2 例 1 设方程 x -x+1=0 的两根是α , , β 求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函数 f(x). 2 【解】 设 f(x)=ax +bx+c(a ? 0), 则由已知 f(α )=β ,f(β )=α 相减并整理得(α -β )[(α +β )a+b+1]=0, 2 因为方程 x -x+1=0 中△ ? 0, 所以α ? β ,所以(α +β )a+b+1=0. 又α +β =1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1,
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所以 c-1=1,所以 c=2. 2 又 b=-(a+1),所以 f(x)=ax -(a+1)x+2. 2 再由 f(α )=β 得 aα -(a+1)α +2=β , 2 2 所以 aα -aα +2=α +β =1,所以 aα -aα +1=0. 2 即 a(α -α +1)+1-a=0,即 1-a=0, 所以 a=1, 2 所以 f(x)=x -2x+2. 2.方程的思想。 2 例 2 已知 f(x)=ax -c 满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4≤f(1)=a-c≤-1, 所以 1≤-f(1)=c-a≤4.

8 5 f(2)- f(1), 3 3 8 5 8 5 所以 ×(-1)+ ≤f(3)≤ ×5+ ×4, 3 3 3 3
又-1≤f(2)=4a-c≤5, f(3)= 所以-1≤f(3)≤20. 3.利用二次函数的性质。 2 例 3 已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R, a ? 0),若方程 f(x)=x 无实根,求证:方程 f(f(x))=x 也无实根。 【证明】若 a>0,因为 f(x)=x 无实根,所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开 口向上,所以对任意的 x∈R,f(x)-x>0 即 f(x)>x,从而 f(f(x))>f(x)。 所以 f(f(x))>x,所以方程 f(f(x))=x 无实根。 注:请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4.利用二次函数表达式解题。 例 4 设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0),方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0<x1<x2< (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1; (Ⅱ)设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称,求证:x0<
2

1 , a

x1 . 2

【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根,所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2), 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以 f(x)>x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+

1 ]<0,所以 f(x)<x1. a

综上,x<f(x)<x1. (Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,

a( x1 ? x 2 ) ? 1 x1 ? x 2 1 ? ? , 2a 2 2a x x 1 1? 1? 所以 x0 ? 1 ? 2 ? ? ? x2 ? ? ? 0 , 2 2 2a 2 ? a? x 所以 x 0 ? 1 . 2
所以 x0= 5.构造二次函数解题。 2 2 2 例 5 已知关于 x 的方程(ax+1) =a (a-x ), a>1,求证:方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 2 2 2 【证明】 方程化为 2a x +2ax+1-a =0. 2 2 2 构造 f(x)=2a x +2ax+1-a , f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0, 所以 f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。
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即方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 6.定义在区间上的二次函数的最值。

x4 ? x2 ? 5 例 6 当 x 取何值时,函数 y= 取最小值?求出这个最小值。 ( x 2 ? 1) 2 1 1 5 ? u,则 0<u≤1。 【解】 y=1- 2 ,令 2 ? 2 2 x ?1 x ? 1 ( x ? 1)

1 ? 19 19 ? y=5u -u+1=5 ? u ? ? ? , ? 10 ? 20 20 ? 1 19 且当 u ? 即 x= ? 3 时,ymin= . 10 20
2

2

例 7 设变量 x 满足 x +bx≤-x(b<-1),并且 x +bx 的最小值是 ?
2 2

1 ,求 b 的值。 2

【解】 由 x +bx≤-x(b<-1),得 0≤x≤-(b+1). ⅰ)-

2

b b2 b2 1 2 ,? ?? , ≤-(b+1), b≤-2 时, +bx 的最小值为即 x2 所以 b =2, 所以 b ? ? 2 2 4 4 2

(舍去) 。

b 2 >-(b+1),即 b>-2 时,x +bx 在[0,-(b+1)]上是减函数, 2 1 3 2 所以 x +bx 的最小值为 b+1,b+1=- ,b=- . 2 2 3 综上,b=- . 2
ⅱ) 7.一元二次不等式问题的解法。

?x 2 ? x ? a ? a 2 ? 0 例 8 已知不等式组 ? ? x ? 2a ? 1
2 2

①②的整数解恰好有两个,求 a 的取值范围。

【解】 因为方程 x -x+a-a =0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a≤0,则 x1<x2.①的解集为 a<x<1-a,由②得 x>1-2a. 因为 1-2a≥1-a,所以 a≤0,所以不等式组无解。 若 a>0,ⅰ)当 0<a<

1 时,x1<x2,①的解集为 a<x<1-a. 2

因为 0<a<x<1-a<1,所以不等式组无整数解。

1 时,a=1-a,①无解。 2 1 ⅲ)当 a> 时,a>1-a,由②得 x>1-2a, 2
ⅱ)当 a= 所以不等式组的解集为 1-a<x<a. 又不等式组的整数解恰有 2 个, 所以 a-(1-a)>1 且 a-(1-a)≤3, 所以 1<a≤2,并且当 1<a≤2 时,不等式组恰有两个整数解 0,1。 综上,a 的取值范围是 1<a≤2. 8.充分性与必要性。 例 9 设定数 A,B,C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0 ① 对一切实数 x,y,z 都成立,问 A,B,C 应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件,而且 限定用只涉及 A,B,C 的等式或不等式表示条件)

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【解】 充要条件为 A,B,C≥0 且 A +B +C ≤2(AB+BC+CA). 2 2 先证必要性,①可改写为 A(x-y) -(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z) ≥0 ② 若 A=0,则由②对一切 x,y,z∈R 成立,则只有 B=C,再由①知 B=C=0,若 A ? 0,则因为②恒 2 2 2 2 2 2 2 成立,所以 A>0,△=(B-A-C) (y-z) -4AC(y-z) ≤0 恒成立,所以(B-A-C) -4AC≤0,即 A +B +C ≤2(AB+BC+CA) 同理有 B≥0,C≥0,所以必要性成立。 2 2 2 再证充分性,若 A≥0,B≥0,C≥0 且 A +B +C ≤2(AB+BC+CA), 2 2 2 1)若 A=0,则由 B +C ≤2BC 得(B-C) ≤0,所以 B=C,所以△=0,所以②成立,①成立。 2)若 A>0,则由③知△≤0,所以②成立,所以①成立。 综上,充分性得证。 9.常用结论。 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|, 所以|a+b|≤|a|+|b|(注:若 m>0,则-m≤x≤m 等价于|x|≤m). 又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,b∈R, 则 a +b ≥2ab;若 x,y∈R ,则 x+y≥ 2 xy. (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。 三、基础训练题 1.下列四个命题中属于真命题的是________,①“若 x+y=0,则 x、y 互为相反数”的逆命题; 2 ②“两个全等三角形的面积相等”的否命题;③“若 q≤1,则 x +x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。 2.由上列各组命题构成“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的复合命题中,p 或 q 为真,p 且 q , , 为假,非 p 为真的是_________.①p;3 是偶数,q:4 是奇数;②p:3+2=6,q:③ p:a∈(a,b),q:{a} ? {a,b}; ④ p: Q ? R, q: N=Z. 2 3. 当|x-2|<a 时,不等式|x -4|<1 成立,则正数 a 的取值范围是________. 2 4. 不等式 ax +(ab+1)x+b>0 的解是 1<x<2,则 a, b 的值是____________. 5. x ? 1 且 x ? 2 是 x-1 ? x ? 1 的__________条件,而-2<m<0 且 0<n<1 是关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根的__________条件. 6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________. 2 7.若 S={x|mx +5x+2=0}的子集至多有 2 个,则 m 的取值范围是_________. 8. R 为全集,A={x|3-x≥4}, B= ? x
2 2 +

2

2

2

?

9. 设 a, b 是整数,集合 A={(x,y)|(x-a) +3b≤6y},点(2,1)∈A,但点(1,0)? A, (3, 2) ? A 则 a,b 的值是_________. 2 10.设集合 A={x||x|<4}, B={x|x -4x+3>0},则集合{x|x∈A 且 x ? A∩B}=_________. 2 2 11. 求使不等式 ax +4x-1≥-2x -a 对任意实数 x 恒成立的 a 的取值范围。
2

? 5 ? 1? , 则(CRA)∩B=_________. ? x?2 ?

? x 2 ? 2kx ? k ? 4 ? 0 ? 12.对任意 x∈[0,1],有 ? 2 ①②成立,求 k 的取值范围。 ? x ? kx ? k ? 3 ? 0 ?
四、高考水平训练题 1.若不等式|x-a|<x 的解集不空,则实数 a 的取值范围是_________. 2 2.使不等式 x +(x-6)x+9>0 当|a|≤1 时恒成立的 x 的取值范围是_________. 2 3.若不等式-x +kx-4<0 的解集为 R,则实数 k 的取值范围是_________. 4.若集合 A={x||x+7|>10}, B={x||x-5|<k},且 A∩B=B,则 k 的取值范围是_________. 2 2 5.设 a1、a2, b1、b2, c1、c2 均为非零实数,不等式 a1x +b1x+c1>0 和 a2x +b2x+c2>0 解集分别为 M 和 N,那么“

a1 b1 c1 ? ? ”是“M=N”的_________条件。 a 2 b2 c2
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6.若下列三个方程 x +4ax-4a+3=0, x +(a-1)x+a =0, x +2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根, 则实数 a 的取值范围是_________. 7. 已知 p, q 都是 r 的必要条件, 是 r 的充分条件, 是 s 的充分条件, r 是 q 的_________ s q 则 条件。 8.已知 p: |1-

2

2

2

2

x ?1 2 2 |≤2, q: x -2x+1-m ≤0(m>0),若非 p 是非 q 的必要不充分条件,则实 3

数 m 的取值范围是_________. 2 2 2 9.已知 a>0,f(x)=ax +bx+c,对任意 x∈R 有 f(x+2)=f(2-x),若 f(1-2x )<f(1+2x-x ),求 x 的取值范围。 2 10.已知 a, b, c∈R, f(x)=ax +bx+c, g(x)=ax+b, 当|x|≤1 时,|f(x)|≤1, (1)求证:|c|≤1; (2)求证:当|x|≤1 时,|g(x)|≤2; (3)当 a>0 且|x|≤1 时,g(x)最大值为 2,求 f(x). 11.设实数 a,b,c,m 满足条件:

a b c ? ? =0,且 a≥0,m>0,求证:方程 ax2+bx+c=0 m ? 2 m ?1 m

有一根 x0 满足 0<x0<1. 五、联赛一试水平训练题 3 2 1.不等式|x| -2x -4|x|+3<0 的解集是_________.

?x ? 2 y ? 0 ? 2.如果实数 x, y 满足: ? x ? 2 y ? 0 ,那么|x|-|y|的最小值是_________. ?x 2 ? 4 y 2 ? 4 ?
3.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象经过点(1,1)(3,5) f(0)>0,当函数的最小值取 , , 2 3 最大值时,a+b +c =_________. 4. 已知 f(x)=|1-2x|, x∈[0,1],方程 f(f(f)(x)))=
2 2

1 x 有_________个实根。 2
a?b?c 的最小值为_________. b?a
2

5.若关于 x 的方程 4x -4x+m=0 在[-1,1]上至少有一个实根,则 m 取值范围是_________. 4 3 2 2 6.若 f(x)=x +px +qx +x 对一切 x∈R 都有 f(x)≥x 且 f(1)=1,则 p+q =_________. 7. 对一切 x∈R,f(x)=ax +bx+c(a<b)的值恒为非负实数,则
2 2

8.函数 f(x)=ax +bx+c 的图象如图,且 b 2 ? 4ac =b-2ac. 那么 b -4ac_________4. (填>、 =、<) 9.若 a<b<c<d,求证:对任意实数 t ? -1, 关于 x 的方程(x-a)(x-c)+t(x-b)(x-d)=0 都有两 个不等的实根。 10.某人解二次方程时作如下练习:他每解完一个方程,如果方程有两个实根,他就给出下 一个二次方程:它的常数项等于前一个方程较大的根,x 的系数等于较小的根,二次项系数都 是 1。证明:这种练习不可能无限次继续下去,并求最多能延续的次数。 2 11.已知 f(x)=ax +bx+c 在[0,1]上满足|f(x)|≤1,试求|a|+|b|+|c|的最大值。 六、联赛二试水平训练题 2 1.设 f(x)=ax +bx+c,a,b,c∈R, a>100,试问满足|f(x)|≤50 的整数 x 最多有几个? 2 2.设函数 f(x)=ax +8x+3(a<0),对于给定的负数 a,有一个最大的正数 l(a),使得在整个区 间[0,l(a)]上,不等式|f(x)|≤5 都成立。求 l(a)的最大值及相应 a 的值。 3.设 x1,x2,?,xn∈[a, a+1],且设 x=
2

1 n 1 n xi , y= ? x 2 , 求 f=y-x2 的最大值。 ? j n i ?1 n j ?1

4. (x)=ax +bx+c, ,b,c∈R, 且|F(0)|≤1,|F(1)|≤1,|F(-1)|≤1,则对于|x|≤1, F(x)| F a 求| 的最大值。

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5.已知 f(x)=x +ax+b,若存在实数 m,使得|f(m)|≤

2

1 1 2 ,|f(m+1)|≤ ,求△=a -4b 的最大值 4 4

和最小值。 2 6.设二次函数 f(x)=ax +bx+c (a,b,c∈R, a ? 0)满足下列条件: 1)当 x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且 f(x)≥x; 2)当 x∈(0, 2)时,f(x)≤ ?

? x ?1? ? ; ? 2 ?

2

3)f(x)在 R 上最小值为 0。 求最大的 m(m>1),使得存在 t∈R,只要 x∈[1, m]就有 f(x+t)≤x. 2 7.求证:方程 3ax +2bx-(a+b)=0(b ? 0)在(0,1)内至少有一个实根。 + 8.设 a,b,A,B∈R , a<A, b<B,若 n 个正数 a1, a2,?,an 位于 a 与 A 之间,n 个正数 b1, b2,?,bn 位于 b 与 B 之间,求证:

? AB ? (a ? a ? ? ? a )(b ? b ? ? ? b ) ? ab ?? 2 (a1 b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn ) 2 ? ? ?
2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n
2

ab ? ? AB ? . ? ? ?2

9.设 a,b,c 为实数,g(x)=ax +bx+c, |x|≤1,求使下列条件同时满足的 a, b, c 的值: (ⅰ) g ? ? =381; (ⅱ)g(x)max=444; (ⅲ)g(x)min=364.

?1? ?2?

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