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2015创新设计(高中理科数学)选修4-5-1


第 1讲

不等式、含有绝对值的不等式

诊断· 基础知识

突破· 高频考点

培养· 解题能力

[最新考纲]

1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义,能利用绝对
值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式. 2.掌握|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法.

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知识梳理

1.绝对值三角不等式
(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b| ≤ 当 ab≥0 时,等号成立; |a|+|b| ,当且仅

(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|; (3)定理2:如果a,b,c是实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c| ,当 且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.

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2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法 a>0 不等式 |x|<a {x|-a<x<a} |x|>a {x|x>a,或x<-a} a=0 ? {x|x∈R,且x≠0} a<0 ? R

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(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c? -c≤ax+b≤c ; ②|ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的

思想;
法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方 程的思想.

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诊断自测

1.不等式1<|x+1|<3的解集为________.
解析 数轴上的点到-1的距离大于1且小于3的全体实数为

所求解集. 答案 (-4,-2)∪(0,2) 2.设ab>0,下面四个不等式中,正确命题的序号是_____.

①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|
-|b|. 解析 正确. 答案 ①④
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∵ab>0,∴a,b同号,∴|a+b|=|a|+|b|,∴①和④

3.不等式|x-8|-|x-4|>2的解集为________.
?4,x≤4, ? 解析 令:f(x)=|x-8|-|x-4|=?-2x+12,4<x≤8, ?-4,x>8, ? 当 x≤4 时,f(x)=4>2; 当 4<x≤8 时,f(x)=-2x+12>2,得 x<5, ∴4<x<5; 当 x>8 时,f(x)=-4>2 不成立. 故原不等式的解集为:{x|x<5}.

答案 {x|x<5}
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4 . (2012·山东卷 ) 若不等式 |kx - 4|≤2 的解集为 {x|1≤x≤3} ,则 实数k=________. 解析 ∵|kx-2|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2.
答案 2

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5 .已知关于 x 的不等式|x- 1|+|x|≤k 无解,则实数k的取值范围 是________.

解析

∵|x-1|+|x|≥|x-1-x|=1,∴当k<1时,不等式|x-

1|+|x|≤k无解,故k<1. 答案 (-∞,1)

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考点一 含绝对值不等式的解法

【例1】 解不等式|x-1|+|x+2|≥5.
解 法一 如图,设数轴上与- 2,1 对应的点分别是 A , B ,

则不等式的解就是数轴上到 A、B两点的距离之和不小于5的 点所对应的实数.显然,区间[-2,1]不是不等式的解集.把 A向左移动一个单位到点A1,此时A1A+A1B=1+4=5.把点B

向右移动一个单位到点 B1 ,此时B1A+B1B=5,故原不等式
的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).

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法二 原不等式|x-1|+|x+2|≥5?
? ?x≤-2, ? ? ?-?x-1?-?x+2?≥5 ? ?x≥1, 或? ? ?x-1+x+2≥5, ? ?-2<x<1, 或? ? ?-?x-1?+x+2≥5

解得 x≥2 或 x≤-3,

∴原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).

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法三

将原不等式转化为|x-1|+|x+2|-5≥0.

令 f(x)=|x-1|+|x+2|-5,则 ?-2x-6,x≤-2, ? f(x)=?-2,-2<x<1, ?2x-4,x≥1. ?

作出函数的图象,如图所示.

由图象可知,当 x∈(-∞,-3]∪[2,+∞)时,y≥0, ∴原不等式的解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).
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规律方法 形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解
法:(1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数 轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部分,在 每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解,然后取 各个不等式解集的并集. (2) 几何法:利用 |x -a| + |x - b|> c(c > 0) 的几何意义:数轴上到 点 x1 = a 和 x2 = b 的距离之和大于 c 的全体, |x - a| + |x - b|≥|x - a

-(x-b)|=|a-b|.
(3) 图象法:作出函数 y1 = |x - a| + |x - b| 和y2 = c 的图象,结合图 象求解.
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x 【训练 1】 解不等式|x+3|-|2x-1|<2+1. x 解 ①当 x<-3 时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<2+1,
解得 x<10,∴x<-3. 1 x ②当-3≤x< 时,原不等式化为(x+3)-(1-2x)< +1,解 2 2 2 2 得 x<-5,∴-3≤x<-5. 1 x ③当 x≥ 时,原不等式化为(x+3)-(2x-1)< +1,解得 x> 2 2 2,∴x>2.
? ? ? 2 综上可知,原不等式的解集为?x?x<-5,或x>2 ? ? ?
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? ? ?. ? ?
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考点二 含参数的绝对值不等式问题
【例2】 已知不等式|x+1|-|x-3|>a.分别求出下列情形中a的取 值范围. (1)不等式有解; (2)不等式的解集为R; (3)不等式的解集为?. 解 法一 因为|x+1|-|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定点

A(-1),B(3)距离的差,
即|x+1|-|x-3|=PA-PB.

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由绝对值的几何意义知,

PA-PB的最大值为AB=4,
最小值为-AB=-4, 即-4≤|x+1|-|x-3|≤4. (1) 若不等式有解, a只要比 |x +1| - |x - 3|的最大值小即可,故 a <4.

(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,
只要a比|x+1|-|x-3|的最小值还小,即a<-4. (3) 若不等式的解集为 ? , a 只要不小于 |x + 1| - |x - 3| 的最大值即 可,即a≥4.
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法二 由|x+1|-|x-3|≤|x+1-(x-3)|=4.
|x-3|-|x+1|≤|(x-3)-(x+1)|=4. 可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4. (1)若不等式有解,则a<4; (2)若不等式的解集为R,则a<-4;

(3)若不等式解集为?,则a≥4.
规律方法 本题中(1)是含参数的不等式存在性问题,只要求存在 满足条件的 x 即可;不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问 题,而不等式的解集 ? 的对立面 ( 如 f(x) > m 的解集是空集,则 f(x)≤m恒成立 ) 也是不等式的恒成立问题,此两类问题都可转化 为最值问题,即f(x)<a恒成立?a>f(x)max,f(x)>a恒成立?a< f(x)min.
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【训练2】 设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值. 解 (1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2. 由此可得x≥3或x≤-1. 故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3,或x≤-1}.

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(2)由 f(x)≤0 得|x-a|+3x≤0.
? ?x≥a, 此不等式化为不等式组? ? ?x-a+3x≤0 ? ?x<a, 或? ? ?a-x+3x≤0,

x≥a, x<a, ? ? ? ? 即? a 或? a x≤ x≤- . ? ? 2 ? 4 ? 因为
? ? ? a a>0,所以不等式组的解集为?x?x≤-2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

a 由题设可得- =-1,故 a=2. 2

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考点三

含绝对值的不等式的应用

【例 3】 (2013· 新课标全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|, g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 围.
? a 1? x∈?-2,2?时,f(x)≤g(x),求 ? ?

a 的取值范

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解 (1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3
<0. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

1 ? ?-5x,x<2, ? 1 则 y=? ?-x-2,2≤x≤1, ? ?3x-6,x>1,

其图象如图所示,由图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.
所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.

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(2)当

? a 1? x∈?-2,2?时,f(x)=1+a, ? ?

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3, 所以 x≥a-2 对
? a 1? x∈?-2,2?都成立, ? ?

a 4 应有-2≥a-2,则 a≤3,

从而实数 a

? 4? 的取值范围是?-1,3?. ? ?

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规律方法 含有多个绝对值的不等式,可以分别令各绝对值里的
式子为零,并求出相应的根.把这些根从小到大排序,以这些 根为分界点,将实数分成若干小区间.按每个小区间来去掉绝 对值符号,解不等式,最后取每个小区间上相应解的并集.

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【训练3】 (2012·新课标全国卷)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集; (2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

?-2x+5,x≤2, ? 解 (1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3. ? 当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1,或 x≥4}.
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(2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|?4-x-(2-x)≥|x+a|?- 2 -a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1且2-a≥2, 即-3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围是[-3,0].

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绝对值三角不等式的应用 3 【典例】 (2013· 福建卷)设不等式|x-2|<a(a∈N )的解集为 A, 且2
*

1 ∈A,2?A. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.
[审题视点]

3 1 (1)利用条件 ∈A, ?A,建立不等式,求 a 的值; 2 2

(2)利用绝对值三角不等式进行放缩求解.
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3 1 解 (1)∵ ∈A, ?A. 2 2
?3 ? ?1 ? 1 3 ∴?2-2?<a,且?2-2?≥a,因此 <a≤ , 2 2 ? ? ? ?

又 a∈N*,从而 a=1. (2)由(1)知,f(x)=|x+1|+|x-2|, 又|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2 时等号成立. 故 f(x)的最小值为 3.

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[反思感悟] 本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失
分的主要原因;对于需求最值的情况,可利用绝对值三角不等 式性质定理:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项来 放缩求解.

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【自主体验】 4 1.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+a对任意的实数 x 恒成立,则 实数 a 的取值范围是________.
解析 当 a<0 时,显然成立;

当 a>0 时,∵|x+1|+|x-3|的最小值为 4, 4 ∴a+ ≤4.∴a=2. a 综上可知 a 的取值范围是(-∞,0)∪{2}.

答案 (-∞,0)∪{2}
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2.(2012·陕西卷)若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数
a的取值范围是________. 解析 ∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|, 要使|x-a|+|x-1|≤3有解, 可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3, ∴-2≤a≤4. 答案 [-2,4]

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