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2015-2016学年高二人教版数学选修1-1练习:2.3.1抛物线及其标准方程 Word版含答案


?基础梳理 1.抛物线的定义及标准方程. (1)平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F?l)的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物 线的准线. (2) 抛物 线 的 标 准方程 ( 请 同 学们 自己 填写 下面表格中的 内 容): 2.关于抛物线的定义. 要注意点 F 不在直线 l 上,否则轨迹不是抛物线,而是一条 直线. 3.关于抛物线的标准方程. 在建立抛物线的标准方程时,以抛物线的顶点为坐标原点, 对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样使标准方程不仅具有对称 性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应 用. 由于选取坐标系时,坐标轴有四种不同的方向,因此抛物线 的标准方程有四种不同的形式,这四种标准方程的共性与区别在 于: (1)p 的几何意义相同,焦参数 p 是焦点到准线的距离,所以 p 恒为正数; (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同,一 次项系数的符号决定抛物线的开口方向; 1 (3)焦点的非零坐标是一次项系数的 . 4 ,?自测自评 1 1. 已知抛物线的焦点是(0, - ), 则抛物线的标准方程是(A) 4 A.x2=-y B.x2=y C.y2=x D.y2=-x 2.抛物线 x2=-16y 的焦点坐标是(0,-4). 3. 若动点 P 到定点 F(-4,0)的距离与到直线 x=4 的距离相 等,则 P 点的轨迹是抛物线. 解析:由抛物线的定义:到定点 F 的距离与到定直线距离相 等的点的轨迹为抛物线. 1.(2013·惠州一模)设抛物线的顶点为原点,准线方程为 x =-2,则抛物线的方程是(B) A.y2=-8xB.y2=8x C.y2=-4xD.y2=4x 2.从抛物线 y2=4x 上一点 P 引其到准线的垂线,垂足为 M, 设抛物线的焦点为 F,且|PF|=5,则△MPF 的面积为(D) 25 3 A.5 6B. 4 C.20D.10 ?y2 ? 0 ? , y 解析:依题意设 P? 0?, ?4 ? ? 2 y0 则|PF|=|PM|= +1=5, 4 ∵y0=±4, 1 SΔMPF= |PM|·|y0|=10. 2 3.若动点 M(x,y)到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 M 点的轨迹方程是________. 解析:依题意,得点 M(x,y)到点 F(4,0)的距离等于它到直 线 x+4=0 的距离. p ∵根据抛物线的定义,知 =4, 2 ∴p=8,故所求的方程为 y2=16x. 答案:y2=16x 4.若抛物线 y2=-2px(p>0)上有一点 M,其横坐标为-9, 它到焦点的距离为 10,求抛物线方程和点 M 的坐标. p 解析:由抛物线定义,设焦点为 F(- ,0). 2 p 则准线为 x= ,过 M 作 MN⊥l,垂足为 N, 2 p 则|MN|=|MF|=10.即 -(-9)=10, 2 ∴p=2.故抛物线方程为 y2=-4x. 将 M(-9,y)代入抛物线方程得 y=±6. ∴M(-9,6),或 M(-9,-6). 5.抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 y=-3 与抛物线相交于 点 A,|AF|=5,求抛物线的标准方程. 解析: 设所求焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程为: y2=2px(p ≠0),A(m,-3). ? p? ? ? m + 则由抛物线的定义得 5=|AF|=? , 2? ? ? 又(-3)2=2pm. 所以,p=±1 或 p=±9. 故所求抛物线的方程为 y2=±2

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