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湖南省衡阳八中、永州四中2016-2017学年新高二数学暑期第一次联考试题(理科实验班)


衡阳八中永州四中 2016 年下期高二年级理科实验班第一次联考 (试题卷)
注意事项: 1.本卷为衡阳八中永州四中高二年级理科实验班第一次联考试卷,分两卷。其中共 22 题, 满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立 即向监考老师通报。开考 15 分钟后,考生禁止入场,监考老师处理余卷

。 3.请考生将答案填写在答题卡上,选择题部分请用 2B 铅笔填涂,非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后,试题卷与答题卡一并交回。 ★预祝考生考试顺利★ 第 I 卷 选择题(每题 5 分,共 60 分) 本卷共 12 题,每题 5 分,共 60 分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的。 1.下列说法错误的是( )
2

A.若命题“p∧q”为真命题,则“p∨q”为真命题 B.命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实根”的逆命题为真命题 C.命题“若 a>b,则 ac >bc ”的否命题为真命题 D.若命题“¬p∨q”为假命题,则“p∧¬q”为真命题 2.如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1O⊥平面 ABCD, AB=AA1= .平面 OCB1 的法向量 =(x,y,z)为( )
2 2

A.(0,1,1) C.(0,1,﹣1) 3.与椭圆 A. C.

B.(1,﹣1,1) D.(﹣1,﹣1,1) 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( B. D. )

4.已知抛物线 y =4px(p>0)与双曲线 是两曲线的交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( A. B. C. D. )

2

有相同的焦点 F,点 A

1

5.椭圆:

(a>b>0) , 左右焦点分别是 F1, F2, 焦距为 2c, 若直线 )

与椭圆交于 M 点,满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则离心率是( A. 夹角是( A. 所成的角为( ) B. ) C. D. B. , C. , D. ,

6.空间中有四点

,则两直线



7.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,

,则 AA1 与平面 AB1C1

A. 8.方程 能是( )

B. 与

C.

D. 的曲线在同一坐标系中的示意图可

9.如图, ( )



是双曲线 、 .若

的左、右焦点,过

的直线 与双

曲线的左右两支分别交于点

为等边三角形,则双曲线的离心率为

4 10.如图所示的几何体中,四边形 是矩形,平面 ⊥平面 ,已知

, 且当规定主(正)视图方向垂直平面

时, 该几何体的左(侧)

视图的面积为 值为( )

.若

分别是线段

上的动点, 则

的最小

2

A.1

B.2

C.3

D.4

11.椭圆

+

=1(a>b>0)与直线 x+y=1 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ,其中 O 为坐标原 ≤e≤ , 交于 ,则椭圆长轴的取值范围是( ] D.[ , ] 是 的中点, 是抛物线上的点, ) )

点.椭圆的离心率 e 满足 A.[ ,1] B.[

,2] C.[

12.已知直线 且使得 A. C.

与抛物线

两点,

取最小值,抛物线在点 B. D.

处的切线为 ,则(

第 II 卷 非选择题(共 90 分) 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.给出下列命题: ①已知ξ 服从正态分布 N(0,σ ),且 P(﹣2≤ξ ≤2)=0.4,则 P(ξ >2)=0.3; ②f(x﹣1)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则
2

; ③已知直线 l1:ax+3y﹣1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 ④已知 a>0,b>0,函数 y=2ae +b 的图象过点(0,1),则 其中正确命题的序号是 14.已知命题 的解集为 R.若命题 “ 所成的角的大小是 . (把你认为正确的序号都填上). 在区间 ” 为真, 命题 “ 上是减函数;命题 ” 为假, 则实数 不等式
x

; .

的最小值是

的取值范围是________.

15.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 CD、CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN

15.以下五个关于圆锥曲线的命题中: ①双曲线 相切的. ③设 A、B 为两个定点,k 为常数,若|PA|﹣|PB|=k,则动点 P 的轨迹为双曲线; ④过抛物线 y =4x 的焦点作直线与抛物线相交于 A、B 两点,则使它们的横坐标之和等于 5 的直线有且只有两条.
3
2

与椭圆

有相同的焦点;

②以抛物线的焦点弦(过焦点的直线截抛物线所得的线段)为直径的圆与抛物线的准线是

⑤过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为原点,若 为椭圆;其中真命题的序号为 三.解答题(共 6 题,共 70 分) (写出所有真命题的序号)

,则动点 P 的轨迹

17.(本题满分 10 分)已知 p:2x ﹣3x+1≤0,q:x ﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0 (1)若 a= ,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

2

2

18.(本题满分 12 分)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,EF ∥AD, 平面 ADEF⊥平面 ABCD,且 BC=2EF,AE=AF,点 G 是 EF 的中点. (Ⅰ)证明:AG⊥平面 ABCD; (Ⅱ)若直线 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为 ,求 AG 的长.

19.(本题满分 12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0),其中 F1、F2 为左右焦点,O

为坐标原点,直线 l 与椭圆交于 P(x1、y1),Q(x2,y2)两个不同点,当直线 l 过椭圆 C
4

右焦点 F2 且倾斜角为 距离为 ﹣1

时,原点 O 到直线 l 的距离为

,又椭圆上的点到焦点 F2 的最近

(1)求椭圆 C 的方程; (2)以 OP、OQ 为邻边做平行四边形 OQNP,当平行四边形 OQNP 面积为 形 OQNP 的对角线之积|ON|?|PQ|的最大值. 时,求平行四边

20.(本题满分 12 分)如图,已知在直四棱柱(侧棱垂直底面的棱柱) 中, (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求 , 平面 与平面 , . 所成的角的的正弦值; 的正弦值. .

(Ⅲ)求二面角

21.(本题满分 12 分)已知动点 M 到点 F(1,0)的距离,等于它到直线 x=﹣1 的距离. (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 任意作互相垂直的两条直线 l1,l2,分别交曲线 C 于点 A,B 和 M,N.设线段 AB,MN 的中点分别为 P,Q,求证:直线 PQ 恒过一个定点;

5

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求△FPQ 面积的最小值.

22.(本题满分 12 分)已知圆 E:x +(y﹣ ) = 经过椭圆 C:

2

2

+

=1(a>b>0)的

左右焦点 F1,F2,且与椭圆 C 在第一象限的交点为 A,且 F1,E,A 三点共线,直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,且 =λ (λ ≠0)

(1)求椭圆 C 的方程; (2)当三角形 AMN 的面积取得最大值时,求直线 l 的方程.

6

7

衡阳八中永州四中 2016 年下期高二年级理科实验班第一次联考数学答案 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 B 5 B 6 A 7 A 8 A 9 B 10 C 11 D 12 D

13.①②

14. 15.90° 16.①②④ 17.p: a+1; ∴(1)若 a= ,则 q: ; ∵p∧q 为真,∴p,q 都为真; ,q:a≤x≤

∴ ;

,∴

∴实数 x 的取值范围为 ; (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,即由 p 能得到 q,而由 q 得不到 p;



,∴

; .

∴实数 a 的取值范围为 所以 AG⊥EF.

18.(Ⅰ)证明:因为 AE=AF,点 G 是 EF 的中点, 又因为 EF∥AD,所以 AG⊥AD.? 因为平面 ADEF⊥平面 ABCD,平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, AG? 平面 ADEF, 所以 AG⊥平面 ABCD.
8

(Ⅱ)解:因为 AG⊥平面 ABCD,AB⊥AD,所以 AG、AD、AB 两两垂直. 以 A 为原点,以 AB,AD,AG 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴,如图建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0), 设 AG=t(t>0),则 E(0,1,t),F(0,﹣1,t), 所以 =(﹣4,﹣1,t), =(4,4,0), =(0,1,t).

设平面 ACE 的法向量为 =(x,y,z),



=0,

=0,得



令 z=1,得 =(t,﹣t,1).

因为 BF 与平面 ACE 所成角的正弦值为



所以|cos<

>|=

=



即 所以 AG=1 或 AG=

= .

,解得 t =1 或

2



19.(1)∵直线 l 的倾斜角为

,设 F2(C,0),则直线 l 的方程为 y=x﹣c,



,得 c=1. , 得 a= .

由椭圆的几何性质可得椭圆上的点到焦点 F2 的最近距离为 a﹣c=

∴椭圆 C 的方程为



(2)当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称,则 x1=x2,y1=﹣y2,

9

由 P(x1,y1)在椭圆上,则 知|ON|?|PQ|= ;

,而

,则



当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 为 y=kx+m,代入 2x +3(kx+m) =6,即(2+3k )x +6kmx+3m ﹣6=0.
2 2 2 2 2

可得,

△>0,即 3k +2>m , |PQ|=

2

2



= 设 O 到 l 的距离为 d,



则 d=
4 2


2 2 2 2 4 2 2 2 2



化为 9k +12k +4﹣12m k ﹣8m +4m =0. 得到(3k +2﹣2m ) =0,则 3k +2=2m ,满足△>0.

由前知, 设 M 是 ON 与 PQ 的交点,则







, 当且仅当 号成立.

, 即 m=

时等

综上可知,|OM|?|PQ|的最大值为 ,|ON|?|PQ|=2|OM|?|PQ|的最大值为 5.

20.(Ⅰ)以

为原点,

所在直线分别为 轴,

轴, 轴

建立如图所示的空间直角坐标系,

10

则 ,

, .







,

又因为 所以, (Ⅱ)设 由 , 平面 . 为平面 , 的一个法向量.

得 又 设 与平面



,则



所成的角为









与平面

所成的角的的正弦值



(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 设 由 , 为平面 ,

的一个法向量为 的一个法向量, ,





,则





与 所成角为 ,则



11

所以二面角

的正弦值为



21.(Ⅰ)设动点 M 的坐标为(x,y), 由题意得, 化简得 y =4x, 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y =4x. (Ⅱ)设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2 2



则点 P 的坐标为



由题意可设直线 l1 的方程为 y=k(x﹣1)(k≠0),


2 2

得 k x2﹣(2k +4)x+k =0.
4 2

2

2

2

△=(2k +4) ﹣4k =16k +16>0. 因为直线 l1 与曲线 C 于 A,B 两点,

所以 x1+x2=2+



y1+y2=k(x1+x2﹣2)= .

所以点 P 的坐标为 由题知,直线 l2 的斜率为

. ,同理可得点的坐标为(1+2k ,﹣2k).
2

当 k≠±1 时,有



此时直线 PQ 的斜率 kPQ=



12

所以,直线 PQ 的方程为 整理得 yk +(x﹣3)k﹣y=0. 于是,直线 PQ 恒过定点 E(3,0);
2



当 k=±1 时,直线 PQ 的方程为 x=3,也过点 E(3,0). 综上所述,直线 PQ 恒过定点 E(3,0). (Ⅲ)可求得|EF|=2, 所以△FPQ 面积 22.(1)如图圆 E 经过椭圆 C 的左右焦点 F1,F2, ∴c +(0﹣ ) = ,解得 c=
2 2



当且仅当 k=±1 时,“=”成立,所以△FPQ 面积的最小值为 4.



∵F1,E,A 三点共线,∴F1A 为圆 E 的直径,则|AF1|=3, ∴AF2⊥F1F2,∴ = ﹣ =9﹣8=1,

∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4,∴a=2 由 a =b +c 得,b=
2 2 2



∴椭圆 C 的方程是

; ,1),

(2)由(1)得点 A 的坐标(



(λ ≠0),∴直线 l 的斜率为 kOA=



则设直线 l 的方程为 y=

x+m,设 M(x1,y1),N(x2,y2),

由 ∴x1+x2=
2 2

得, ,x1x2=m ﹣2,
2



且△=2m ﹣4m +8>0,解得﹣2<m<2, ∴|MN|= = |x2﹣x1|= = ,

13

∵点 A 到直线 l 的距离 d= ∴△AMN 的面积 S= =

=



=
2 2



=



当且仅当 4﹣m =m ,即 m=

,直线 l 的方程为



14


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