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淮阴中学高三数学一轮复习学案:利用空间向量求空间角


第 83 课时

利用空间向量求空间角

考点解说 掌握利用直线的方向向量和平面的法向量之间的夹角,求线线角、线面角、面面角. 一、基础自测
0 1.在长方形 AC1 中, ?BAB 1 与 B1C 所成的角为 1 ? ?B1 A 1C1 ? 30 ,则直线 AA

.

2.在正三棱柱 A

BC ? A1B1C1 中,若 AB ?
0

. 2BB1 ,则 AB1 与 C1 B 所成角的大小为 3.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60 , m, n 为异面直线,且 m ? ? , n ? ? ,则 m, n 所成的角 为 . 4.已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6 ,则侧面与底面 所成的二面角等于____________. 5.如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等,D 是 A1C1 的中点, 则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 . 6.在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA 、OB 、OC 两两垂直,且 OA = OB = OC , M 是 AB 边的中点,则 OM 与平面 ABC 所成的角的正切值为 . 7. 已 知 三 棱 柱 ABC ? A 1B 1C1 的 侧 棱 与 底 面 边 长 都 相 等 , A 1 在 底 面 ABC 内 的 射 影 为

△ ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 . 8. 等边三角形 ABC 与正方形 A B D E 有一公共边 AB , 二面角 C ? AB? D的余弦值为

3 , M , N 分别是 AC , BC 的中点,则 EM , AN 所成角的余弦值等于 3
二、例题讲解 例 1.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E1、F1 分别在 A1B1、C1D1 上,且 E1B1=

.

1 1 A1B1,D1F1= D1C1,求 BE1 与 DF1 所成角的大小. 4 4

例 2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,F 是 BC 的中点,点 E1 在 D1C1 上,且 D1E1= 与平面 D1AC 所成角的大小.

1 D1C1,试求直线 E1F 4

例 3.在三棱锥 S ? ABC 中, ?ABC 是边长为 4 的正三角形,面 SAC ? 面 ABC ,

SA ? SC ? 2 3 , M , N 分别是 AB, SB 的中点. (1)证明 AC ? SB ; (2)求二面角 N ? CM ? B 的大小.

1

例 4.已知 E、F 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC 和 CD 的中点,求: (1)A1D 与 EF 所成角的大小; (2)A1F 与平面 B1FB 所成角的大小; (3)二面角 C-D1B1-B 的大小.

板书设计

教后感

三、课后作业 1. 已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各条棱长都相等 , M 是侧棱 CC1 的中点 , 则异面直线 . AB1和BM 所成的角的大小是 2.过正方形 ABCD 的顶点 A 引 PA ⊥平面 ABCD ,若 PA ? AB ,则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角的大小是 . 3.设棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 AA1 和 BB1 的中点,则直线 CM 和 D1N 所成 角的正弦值为 . 4.正四面体 A-BCD 中,侧面与底面所成二面角 A-BC-D 余弦值为_____________. ο 5.从 P 出发三条射线 PA, PB,PC 每两条夹角成 60 ,则二面角 B-PA-C 的余弦值为 . 6.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,BC=4,BB1=5 则平面 AB1C 与底面 ABCD 所成二面角(锐角)的
2

正切值为_________________. 7.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 中点,F 在 AA1 上,且 A1F∶FA=1∶2,平面 B1EF 与底面 A1B1C1D1 所成的二面角的余弦值为_______________. 8.在正四棱锥 P-ABCD 中,若侧面与底面所成二面角的大小为 60°,则异面直线 PA 与 BC 所成 角的大小等于 . 9.点 P 为棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的对角线 BD 1 上的一个动点,记

当 ?APC 为钝角时, ? 的范围是 . AB ? 1 , D 在 BB1 上 , 且 BD ? 1 , 若 AD 与平 面 10. 在正 三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 , 已知 . 11.如图,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均相等,点 D 是 BC 上一点,AD⊥C1D. (1)求证:平面 ADC1⊥平面 BCC1B1; (2)求二面角 C-AC1-D 的大小.

D1 P ??, D1 B

AAC 1 1C 所成的角为 ? ,则 ? ?

12.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M,N 分别是 AA1 和 BB1 的中点,求直线 CM 与 D1N 所成的角.

13.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是 CD 的中点. (1)求证:EB1⊥AD1; (2)求 D1E 与 AC1 所成的角; (3)求 EB1 与平面 AD1E 所成的角.

3

14. (选做题) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, ?ABC ? ?BCD ? 90 , AB ? BC ? PB ? PC ? 2CD ,侧面 PBC ? 底面 ABCD . (1) PA 与 BD 是否相互垂直,请证明你的结论; (2)求二面角 P ? BD ? C 的大小; (3)求证:平面 PAD ⊥平面 PAB .

4


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