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1.3.1单调性与最大(小)值


1.3

函数的基本性质

函数是描述事物运动变化规律的数学模型。 如果了解了函数的变化规律,那么也就基本把握了 相应事物的变化规律。因此研究函数的性质,如函数在 什么时候递增或递减,有没有最大值或最小值,函数图 象有什么特征等,是非常重要的。 观察下图中各个函数的图象,它们分别反映了相应 函数的哪些变化规律?
y y y

/>
O O

x

O O

x
O

O
y

x

y

y

O

x

O

x O x
y

y y

O

x

O

x

-1 O 1

x

1.3.1 单调性与最大(小)值 一、引入: 阅读教材 P27-28 思考题之前内容 我们将图象 “上升” 、 “下降” 、 “ f ( x ) 随 x 的增大而增大 (减小) ” , 称之为“单调性” 二、单调性的概念 一般的,设函数 f ( x ) 的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个自变量的值 x1 , x2 , 当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 那么就说函数 f ( x ) 在区间 D 上是 增函数;

一般的,设函数 f ( x ) 的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个自变量的值 x1 , x2 , 当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 那么就说函数 f ( x ) 在区间 D 上是 减函数; 如果函数 y ? f ( x) 在区间 D 上是增函数或减函数, 那么就说函数 y ? f ( x) 在这一区间上具有(严格的) 单调性,区间 D 叫做 y ? f ( x) 的单调区间。

x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 )

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? 增函数 x1 ? x2

x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) 自变量 x 与对应的函数值 f ( x ) 同大同小; 不等号方向不变。 x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 )

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? 减函数 x1 ? x2

x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) 自变量 x 与对应的函数值 f ( x ) 大小相反; 不等号方向改变。
注意: 1、单调性是在一定范围的整体性质,故: 凡提到单调性(增、减函数)都必须指出 单调区间 D 2、单调区间 D 必须在定义域 I 内,故: 找单调区间,必须先求定义域。 例 1、下图是定义在区间[-5,5]上的函数 y ? f ( x) , 根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上, 它是增函数还是减函数?

注意:单调区间不能用“并集”连接。 只能说:它在两个区间上,都分别是增(减)函数。 x?0 ? x ? 3, ? 补例:试说明函数 f ( x ) ? ? x 2 ? 2 x ? 3, 0 ? x ? 3 ? ?3 x ? 9, x?3 ? 的单调区间,以及在每一单调区间上的单调性。 k 例 2、物理学中的玻意耳定律 p ? ( k 为正常数) V 告诉我们,对于一定量的气体,当其体积 V 减小时, 压强 p 将增大。试用函数的单调性证明之。 探究

1 的图象。 x (1)这个函数的定义域 I 是什么? (2)它在定义域 I 上的单调性是怎样的? 证明你的结论。
P80 画出反比例函数 y ? 补充例题: 1、判断函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 3 的单调性,并用定义证明。 2、证明:函数 f ( x ) ? x 在定义域 [0, ??) 内单调递增。 3、试研究: “对勾函数” (Nike 函数) : 1 f ( x ) ? x ? 的单调性。 x 4、 (1)已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 4ax ? b 的单调 递增区间是 (2, ??) ,则 a ? (2)已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 4ax ? b 在 (2, ??) 上 单调递增,则 a 的取值范围是

证明函数单调性的方法、步骤: 1、取值; 2、作差、变形; 3、定号;

4、下结论。

变形的方法:配方,因式分解,通分,分子有理化

单调性的应用:

思考: 常数函数 y ? 1 的值域为 它有无最大值、最小值?



一、最值 1、最大值: 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I, 如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x ) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M 那么,我们称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值。 2、最小值: 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I, 如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x ) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M 那么,我们称 M 是函数 y ? f ( x) 的最小值。 3、最值:最大值与最小值统称最值。

二、单调性与最值的关系 若函数 f ( x ) 在定义域 [a,b] 内单调递增, 则 f (a ) 是它的最小值, f (b) 是它的最大值。 若函数 f ( x ) 在定义域 [a,b] 内单调递减, 则 f (a ) 是它的最大值, f (b) 是它的最小值。 试从单调性的定义、图象两方面解释上面的结论。 三、应用: 例 3、 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距 地面的高度 h (m)与时间 t (s)之间的关系为 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 14.7t ? 18 ,那么烟花冲出后什么时 候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少? (精确到 1m)

例 4、已知函数 f ( x ) ?

2 ( x ? [2,6] ) , x ?1 求函数的最大值和最小值。 2 2 思考: y ? 与 y ? 的图象有何关系? x x ?1 能否从图象直接判定单调性,从而解决本题?

补充例题: 1、设 f ( x ) 是定义在区间 [?6,11] 上的函数, 且 f ( x ) 在区间 [?6, ?2]上递减,在区间 [?2,11] 上递增,则 f (?2) 是函数 f ( x ) 的 试用图象解释,并概括结论。 2、函数 y ? x ? 3 ? 2 x ? 4 在 x ? [4,6] 时, 有最大值为 ,最小值为 例 1、 (1)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且

f ( x ? 1) ? f ( x 2 ? 1) ,求 x 的取值范围。 (2)已知 f ( x ) 是定义在[-1,1]上的增函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x 2 ? 1) ,求 x 的取值范围。
? x 2 ? 4 x, x ? 0 例 2、已知函数 f ( x ) ? ? , 2 4 x ? x , x ? 0 ?

若 f (2 ? a 2 ) ? f (a ) ,则实数 a 的取值范围是

例 3、设 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的函数,满足条件: (1) f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ; (2) f (2) ? 1 ; (3)在 (0, ??) 上是增函数; 如果 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 ,求 x 的取值范围。 变式:将条件(3)变为 “若对于任意的 x ? (1, ??) ,都有 f ( x ) ? 0 ”

其他
?(a ? 3) x ? 5 x ? 1 ? 例 4、已知函数 f ( x ) ? ? 2a x?1 ? x ? 在 (0, ??) 上的单调递减,那么 a 的取值范围是

专题、二次函数在指定区间上的最值(值域) : 1、求下列函数的最值: (1) y ? 3 x 2 ? 2 x ? 5 , x ? [?1,4] ; (2) y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 , x ?[?3,1) ; (3) y ? 2 x 2 ? 6 x ? 3 , x ? [2,5] ; (4) y ? x 2 ? 3 x ? 5 , x ? [?1,1] ; (5) y ?

1 2 x ? x ? 1 , x ? [?1,1] ; 2

2、已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 3 x ? 1 在区间 x ?[a, a ? 3] 上的最小值是 – 1,求 a 的值的集合; 3、求函数 f ( x ) ? x 2 ? (k ? 1) x ? k ? 2 , x ? [?1,1] 的最小值; 专题一、复合函数的单调性 一、复合函数 形如“ y ? f ( g( x)) ”的函数,称为复合函数。 一般方法:换元法 例 1、判断下列函数是否为复合函数: 3 y ? x2 ? x3 , y ? x2 ? 2 x , y ? 2x ? 6 二、复合函数的单调性 g(x) f(g(x)) ↑ ↓ ↓ ↑ 法则:同增异减 例 2、求下列函数的单调区间:

f(x) ↑ ↓ ↑ ↓

(1) y ? x 2 ? 2 x ? 3 5 (2) y ? ? 2 x ?4


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