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《基本不等式》


2 基本不等式

我们已 经 学 过 重 要 不等式 a ? b ? 2ab
2 2

?a, b ? R ? , 为了方便同学们学习 , 下面将它
以定理的形式给出 , 并给出证明 .

定理 1 如果 a, b ? R, 那么 a ? b ? 2ab, 当
2 2

且仅当a ? b时, 等号成立.
证明 因为a ? b ? 2ab ? ?a ? b ? ? 0,当且仅 a ? b时等号成立 , 所以,当且仅当a ? b时, 等号 成立.
2 2 2

探 究 你 能从 几何 的角 度解 释 定 理1 吗 ?

A

I
K

b

D

如果把实数a, b作为线段 a 长度那么可以这样来解 释定理1 : B
H

G

F

b
J

a

C

b

E

图1.1 ? 2

以 a ? b 为例, 如图1.1 ? 2, 在正方形 ABCD中, AB ? a ; 在正方形CEFG中, EF ? b.那么 S正方形ABCD ? S正方形CEFG ? a ? b . 矩形BCGH和矩形JCDI 的长
2 2

均为 a, 宽为b,它们的面积和是 S矩形BCGH ? S矩形JCDI ? 2ab. 矩形BCGH和和矩形JCDI的公共部分是正

I 方形JCGK,它的边长 D F 等于b, 其面积与正方 H K G a 形CEFG相等. 所以 , b 上述两个矩形的面积 J C E B b a 和 2ab就 等 于 图中阴 图1.1 ? 2 影部分的面积,它不大 于正方形 ABCD 与正方形 CEFG 的面积的和,

A

b

即a ? b ? 2ab.当且仅当a ? b时, 两个矩形成为
2 2

两个正方形 ,阴影部分面积 等于正方形 ABCD 与正方形 CEFG 面积和, 即 a 2 ? b2 ? 2ab.

将定理1作简单的恒等变形 , 就可以得到 以下的 基本不等式 (basic inequality ).
定理 2 ?基本不等式? 如果 a, b ? 0 , 那么 a?b ? ab . 当且仅当a ? b时, 等号成立. 2

证明 因为 a ? b ?

? a? ? ? b?
2

2

?2 a? b

a?b ? 2 ab , 所以 ? ab . 2 当且仅当 a ? b , 即 a ? b 时, 等号成立.

a?b 如果 a, b 都是正数 , 我们就称 为a , b 2 的算 术 平 均 ?arithm eticm ean? , ab 为 a, b 不等式可以表述为:

的几 何 平 均 ? geom etricm ean? , 于是 , 基本

两个正数的算术平均不 小于 ( 即大于或 等于 ) 它们的几何平均 .

下面我们讨论一下基本 不等式的几何意义 .

在图1.1 ? 3中, CD是 Rt?ABC 中斜边 AB 上的高 , OC 是斜边

C

AB上的中线, AD ? A D O B a, BD ? b. 于是, 图1.1 ? 3 1 1 0 OC ? AB ? ?a ? b ? . 因为?DCA ? ?A ? 90 , 2 2 ?B ? ?A ? 900 , 所以 ?DCA ? ?B.
AD CD 于是 , Rt ?DCA ~ Rt ?DBC , 从而 ? , CD BD

a CD 即 ? .所以 CD ? ab . CD b

C

当a ? b时, 在Rt?OCD中,

斜边OC大于直角边CD, A D O B a?b 图1.1 ? 3 所以 ? ab . 2 当a ? b时, Rt?ABC斜边AB上的中线OC和高CD a?b 重合, 所以 ? ab . 2 综上所述可知 , 基本不等式的几何意义 是 : 直角 三角形斜边上的中线不 小于斜边上的高 .
探究 你能给出基本不等式的 其 他 几 何 解 释 吗?

的面积最大; ?2 ? 在所有面相同的矩形中 , 正方形 的周长最短 .
分析 设矩形的长为x, 宽为y , 那么该矩形的周长 为2? x ? y ?, 面积为xy.这样,问题就转化为:

例 3 求证 : ?1 ? 在所有周长相同的矩形 中, 正方形

?1 ? 如果 2? x ? y ? ?从而x ? y ? 为定值, 那么正数 x,

y 有什么关系时xy 最大 ? ?2 ? 如果 xy 为定值, 那么正数 x, y 有什么关系时 2? x ? y ? ?从而x ? y ? 最小 ? 由于基本不等式恰好涉 及两个正数的和与积之 间的数量关系 , 所以可以利用基本不等 式证明 .

解 设矩形的长为 x , 宽为 y .
x? y 根据基本不等式 ? xy , 2 l 可得 ? xy . 4 l2 于是, 矩形的面积 xy ? , 当且仅当 x ? y时, 16 等号成立, 即当且仅当矩形是正方 形时 , 面

?1?设矩形周长为定值 l , 即2 x ? 2 y ? l为定值.

l2 积 xy 取得最大值 . 16

?2?设矩形面积为定值S , 即 xy ? S 为定值.
x? y 根据基本不等式 ? xy , 2 矩形的周长2?x ? y ? ? 4 xy ? 4 S ,

当且仅当x ? y 时, 等号成立, 即当且仅当 矩形是正方形时 , 周长 2? x ? y ? 取得最小 值4 S.

一般地 , 从基本不等式可以得到 下面结论 : 对两个正实数 x, y, 如果它们的和 S 是定值, 则当且仅当x ? y时, 它们的积P取得最大值;
如果它们的积P是定值, 则当且仅当x ? y时, 它们的和S取得最小值.

利用基本不等式可以解 决一些最大?小? 值 问题 .

某居民小区要建一座八 角形的休闲

H G
D A
Q

?图1.1 ? 4 ? 场所, 它的主体造型平面图
是由两个相同的矩形 ABCD和EFGH 构成的面积为 200平方米的十字型地 域.计划在正方形 MNPQ上建一座花

P
N F

C B

M E

坛, 造价为每平方米 4200元, 在四个相

图1.1 ? 4

同的矩形上(图中阴影部分 )铺花岗岩地坪 , 造价为每 平方米210元, 再在四个空角 (图中四个三角形 )上铺草 坪, 造价每平方米 80元.

?1?设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;

?2?当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .


2

?1?设DQ ? y米, 则
D
2

H G
Q

x ? 4 xy ? 200,
200? x 从而 y ? . 于是 4x S ? 4200x2 ? 210? 4 xy ? 80? 2 y 2
2 2

P
N F

C B

A

M E

图1.1 ? 4
2

? 200 ? x 200 ? x ? 4200x ? 210? 4 x ? 80 ? 2? ? 4x 4x ?
400000 ? 38000 ? 4200 x ? 2 x
2

? ? ? ?

2

?2?由基本不等式可知
400000 2 4000x ? 2 x
2

H G
D A
Q

P
N

C B

M

400000 E F ? 2 4000x ? ? 80000 , x2 图1.1 ? 4 所以 S ? 38 000? 80 000 ? 118 000. 400 000 2 当且仅当 4 000 x ? , 即x ? 3.16时, 等号成立 . 2 x 由此可知,当AD约为3.16米时, 休闲场所总造价 S取

最小值118 000元.


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