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高中数学人教版必修二:1.1.1柱、锥、台、球的结构特征


1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

观察图片
中的物体

各有什么
几何特征? 并对它们

进行分类.

解决问题
上面提到的物体的几何结构特征大致有以 下几类:

1、多面体
若干个平面多边形围成的几何体,叫多面体. ?围成多面体

的各个多边形叫多面体的面; ?相邻两个面的公共边叫多面体的棱; ?棱和棱的公共点叫多面体的顶点;

2.旋转体 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条 定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面。 封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。

1.棱柱的结构特征
D1
A1 B1

C1
A1

C1 B1

A1

E1

D1

B1
E

C1

D A B

C A

C B

A B

C

D

棱柱的结构特征
1.棱柱的概念:
一般地,有两个面 互相平行,其余各面都 是四边形,并且每相邻 两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱.
F' A' E' D' C' B'

F A

E

D B C

棱柱的结构特征
1.棱柱的概念:
棱柱的底面: 两个互相平行的面. 底面 E' D' 简称底. F' 棱柱的侧面: 其余各面. 棱柱的侧棱: 侧 棱
F A' B'

C'

侧 面

E

D

相邻侧面的公共边. C A B 顶 棱柱的顶点: 点 底面 侧面与底面的公共顶点.

底面

侧面 侧棱 顶点

2.棱柱的分类
1. 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。 2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。 3. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们 把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

补充:几种四棱柱(六面体)的关系:
底面是 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是
矩形

底面为 正方形

侧棱与底面 边长相等

长方体

正四棱柱

正方体

?长方体的性质:设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,对 角线长为l ,则l 2 = a 2 + b 2 + c 2

3、棱柱的表示法(下图)

用平行的两底面多边形的字母表示棱 柱,如:棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 。

理解棱柱的定义

①过BC的截面截去长方体的一角, 截去的几何体是不是棱柱,余下的几 何体是不是棱柱?

答:都是棱柱.
②观察长方体,共有多少对平行 平面?能作为棱柱的底面的有几对? 答:三对平行平面;这三对都可 以作为棱柱的底面.

理解棱柱的定义

③观察右边的棱柱,共有多少对 平行平面?能作为棱柱的底面的有几 对? 答:四对平行平面;只有一对可以作为棱柱的底面. ④棱柱的任何两个平行平面都可以作为棱柱的底 面吗? 答:不是.

理解棱柱的定义
⑤棱柱两个互相平行的面以外的面 都是平行四边形吗? 答:是.

E′ F′ A′ B′

D′

C′

⑥为什么定义中要说“其余各面都 是四边形,并且相邻两个四边形的公共 边都互相平行,”而不简单的只说“其 余各面是平行四边形呢”?
答:满足“有两个面互相平行,其 余各面都是平行四边形的几何体”这样 说法的还有右图情况,如图所示.所以 定义中不能简单描述成“其余各面都是 平行四边形”.

E
F A

D
C B

斜棱柱

思考:倾斜 后的几何体还是 棱柱吗?
D′ B′ C′

F′

E′ A′

E

D

F
A B

C

课堂练习:
1. 下面的几何体中,哪些是棱柱?

P 10第1题 2.如图,长方体
D
H

C
G

ABCD ? A?B?C?D?

A

E
D?

B
F

中被截去一部分,其中 截去的几何体是什么? 剩下的几何体是什么?

C?

EH // A?D?

A?

B?

D
H

C
G

A

E
D?
F

G

E

B
F

C?

A?

B?

理解棱柱的定义
⑤棱柱两个互相平行的面以外的面 都是平行四边形吗?
答:是.

E′

D′

F′ A′

B′

C′

E F A

D C B

⑥为什么定义中要说“其余各面都 是四边形,并且相邻两个四边形的公共 边都互相平行,”而不简单的只说“其 余各面是平行四边形呢”?
答:满足“有两个面互相平行,其 余各面都是平行四边形的几何体”这样 说法的还有右图情况,如图所示.所以 定义中不能简单描述成“其余各面都是 平行四边形”.

2.棱锥的结构特征
观察下列几何体,有什么相同点?

1、棱锥的概念
有一个面是多边形,其余各面是有 一个公共顶点的三角形, 由这些面所围 成的几何体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。 有公共顶点的各个三角形叫 做棱锥的侧面。 各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点。

相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。

S

棱锥的顶点 棱锥的侧棱 D 棱锥的侧面

E A B

C 棱锥的底面

S A

B

D C

2、棱锥的分类: 按底面多边形的边数,可以分为三 棱锥、四棱锥、五棱锥、……
3、棱锥的表示方法:用表示顶点和底面 的字母表示,如四棱锥S-ABCD。

训练:如图,四边形ABCD是一个正方形,E?F分别是AB和BC的

中点,沿折痕DE?EF?FD折起得到一个空间几何体,请你动手
折一折,看看这个空间几何体是什么几何体.

解:折起后是一个三棱锥,如下图所示.

3.棱台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分叫作棱台。
1.棱台的概念

上底面 侧棱 侧面 高 顶点 下底面

2.棱台的分类:
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的 棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 用顶点各底面各顶点的字母表示 3.棱台的表示:

棱台ABCD-A‘B’C‘D’

三棱台

四棱台

五棱台

辨析
判断:下列几何体是不是棱台,为什么?

(1)

(2)

棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较
结构特征
定义

棱柱

棱锥

棱台

底面
侧面 侧棱

两底面是全 等的多边形 平行四边形 平行且相等

多边形 三角形

两底面是相 似的多边形 梯形

相交于顶点 延长线交于一点 与底面是相 似的多边形 与两底面是相 似的多边形 梯形

平行于底面 与两底面是全 等的多边形 的截面 过不相邻两 侧棱的截面

平行四边形

三角形

4.圆柱的结构特征
O1

矩 形
O

1、定义:以矩形的一边所在直 线为旋转轴,其余三边旋转形成的 曲面所围成的几何体叫做圆柱。 (1)旋转轴叫做圆柱的轴。 (2) 垂直于轴的边旋转而成 的曲面叫做圆柱的底面。 (3)平行于轴的旋转而成的 曲面叫做圆柱的侧面。

(4)无论旋转到什么位置不 垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。

2、表示:用表示它的轴的字母表示,如 注:圆柱与棱柱统称为柱体。 圆柱OO1。 O

O1
侧面 轴 底面 母线

2、圆锥的表示
用表示它 的轴的字母表 示,如圆锥SO。 S


侧面 母线
O

3、圆锥与 棱锥统称为 锥体。

B

A 底面

5.圆锥的结构特征
S

1、定义:以直角三角形的直角边所在直 线为旋转轴,其余两边旋转而成的曲面所 围成的几何体叫做圆锥。

直角三角形 (1)旋转轴叫做圆锥的轴。
O A

(2) 垂直于轴的边旋转而成 的曲面叫做圆锥的底面。

(3)不垂直于轴的边旋转而 成的曲面叫做圆锥的侧面。 (4)无论旋转到什么位置不 垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。

6.圆台的结构特征
1、定义:用一个平行于圆锥底面的平面去 截圆锥,底面与截面之间的部分,这样的 几何体叫做圆台。

2、圆台的表示:用表示它的轴的字母表 示,如圆台OO′

3、圆台与棱台统称为台体。

O'

底面 轴 侧面 母线

O

底面

判断题:
(1)在圆柱的上下底面上各取一点,这两点的连

线是圆柱的母线.





(2)圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形.( )

(3)与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形.( )

圆柱与棱柱统 称为柱体。

圆台与棱台统 称为台体。

圆锥与棱锥统 称为锥体。

柱、锥、台体的关系 棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系?圆柱、圆锥、 圆台之间呢?柱、锥、台体之间有什么关系?
上底扩大 上底缩小









上底扩大



上底缩小



7.球的结构特征
1、球的定义:以半圆的直径所在直线为旋转 轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体, 简称球。 (1)半圆的半径叫做球的半径。 (2)半圆的圆心叫做球心。

A O

(3)半圆的直径叫做球的直径。

半径
2、球的表示: 用表示球心的字 球心 母表示,如球O

B

圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较
结构特征
定义 底面 侧面展开 图 母线 平行于底 面的截面 轴截面 两底面是平行且 半径相等的圆 矩形 平行且相等 圆 扇形 两底面平行但 半径不相等 扇环 无
不可 展开

圆柱

圆锥

圆台



相交于顶点 延长线交于一点



与两底面是平行 平行于底面且半 与两底面是平行但 全体截面 且半径相等的圆 径不相等的圆 半径不相等的圆 都是圆

矩形

等腰三角形

等腰梯形



几何体的分类

柱体

锥体

台体



多面体

旋转体

球、圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别是什么图形?

练习一 1、一个等腰梯形绕着两底边中点的 连线所在的直线旋转180度形成的封闭 圆台 曲面所围成的几何体是______ 2.一个矩形绕着一边的中垂线旋转 180度形成的封闭曲面所围成的几何体 圆柱 是____
3、一个等腰三角形绕着底边上的 高所在的直线旋转180度形成的封闭曲 圆锥 面所围成的几何体是__

知识小结

简单几何体的结构特征

柱体
棱柱 圆柱

锥体 棱锥 圆锥

台体 棱台 圆台



简单几何体

简单旋转体

简单多面体



圆 柱

圆 锥

圆 台

棱 柱

棱 锥

棱 台


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