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四川省雅安市2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年四川省雅安市高一(上)期末数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.若 A={x|﹣1<x<2},B={x|1<x<3},则 A∩B=( ) A.{x|1<x<2} B.{x|﹣1<x<3} C.{x|1<x<3} D.{x|﹣1<x<2} 2.下列函数为奇函数的是( ) x 2 A.y=x+1 B.y=e C.

y=x +x D.y=x3 3.2log510+log50.25=( ) A.0 B.1 C.2 D.4 4.sin(π﹣α)cos(﹣α)=( ) A. B. C.sin2α D.cos2α

5.已知函数

,那么 f[f( )]的值为(



A.9

B.

C.﹣9 D.﹣ 的值为( )

6.若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan A.0 B. C.1 D.

7.设 a=( )0.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b 8.要得到函数 y=sin2x 的图象,只要将函数 y=sin(2x﹣ A.向左平移 C.向左平移 单位 B.向右平移 单位 D.向右平移 单位 单位 )的图象(





9.已知函数 y=f(x+3)是偶函数,则函数 y=f(x)图象的对称轴为直线( ) A.x=﹣3 B.x=0 C.x=3 D.x=6 10. B, C, △ABC 的三个内角分别记为 A, 若 tanAtanB=tanA+tanB+1, 则 cosC 的值是 ( A.﹣ B. C. D.﹣



11.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=

,且 f(x)在[﹣3,﹣2]上是减函数,

若 α,β 是锐角三角形的两个内角,则( ) A.f(sinα)>f(sinβ) B.f(cosα)>f(cosβ) C.f(sinα)>f(cosβ) D.f (sinα)<f(cosβ) 12.已知 x1,x2 是函数 f(x)=e﹣x﹣|lnx|的两个不同零点,则 x1x2 的取值范围是( ) A. (0, ) B. ( ,1] C. (1,e) D. ( ,1)
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二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设 A={(x,y)|y=2x+3},B={(x,y)|y=x+1},则 A∩B= 14.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ| y=f(x)对应的解析式为 .



)的部分图象如图所示,则函数

15.函数 y=



的定义域是

(用区间表示) )= .

16.若 f(sin2x)=5sinx﹣5cosx﹣6(0<x<π) ,则 f(﹣

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知 tanα=3,计算: (Ⅰ) (Ⅱ)sinα?cosα. 18.已知函数 f(x)= . ;

(Ⅰ)求函数 f(x)的定义域和值域; (Ⅱ)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明. 19.已知函数 f(x)= cosx(sinx+cosx) . (Ⅰ)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值;

(Ⅱ)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 20.设函数 f(x)=

(Ⅰ)当

时,求函数 f(x)的值域;

(Ⅱ)若函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的减函数,求实数 a 的取值范围. 21.如图所示,已知点 A(1,0) ,D(﹣1,0) ,点 B,C 在单位圆 O 上,且∠BOC= (Ⅰ)若点 B( , ) ,求 cos∠AOC 的值; (Ⅱ)设∠AOB=x(0<x< 出 y 的最大值.
第 2 页(共 15 页)



) ,四边形 ABCD 的周长为 y,将 y 表示成 x 的函数,并求

22.已知函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 x,y∈[﹣1,1],x+y ≠0 有(x+y)?[f(x)+f(y)]>0. (1)判断 f(x)的单调性,并加以证明; (2)解不等式 ;

(3)若 f(x)≤m2﹣2am+1 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立.求实数 m 的取值 范围.

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2015-2016 学年四川省雅安市高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.若 A={x|﹣1<x<2},B={x|1<x<3},则 A∩B=( ) A.{x|1<x<2} B.{x|﹣1<x<3} C.{x|1<x<3} D.{x|﹣1<x<2} 【考点】交集及其运算. 【分析】利用交集性质和不等式性质求解. 【解答】解:∵A={x|﹣1<x<2},B={x|1<x<3}, ∴A∩B={x|1<x<2}. 故选:A. 2.下列函数为奇函数的是(
x

) A.y=x+1 B.y=e C.y=x +x D.y=x3 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据各基本初等函数的图象和性质,逐一分析给定函数的奇偶性,可得答案. 【解答】解:函数 y=x+1 是非奇非偶函数,故 A 错误; 函数 y=ex 是非奇非偶函数,故 B 错误; 函数 y=x2+x 是非奇非偶函数,故 C 错误; 函数 y=x3 是奇函数,故正确, 故选:D.
2

3.2log510+log50.25=( A.0 B.1 C.2

) D.4

【考点】对数的运算性质. 【分析】根据对数运算法则可直接得到答案. 【解答】解:∵2log510+log50.25 =log5100+log50.25 =log525 =2 故选 C. 4.sin(π﹣α)cos(﹣α)=( A. B. ) C.sin2α D.cos2α

【考点】运用诱导公式化简求值;二倍角的正弦. 【分析】利用诱导公式化简原式,再通过二倍角公式得出答案. 【解答】解:sin(π﹣α)cos(﹣α) =sinαcosα = ?2sinαcosα

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= sin2α 故答案选 A

5.已知函数

,那么 f[f( )]的值为(



A.9

B.

C.﹣9 D.﹣

【考点】函数的值. 【分析】首先判断自变量是属于哪个区间,再代入相应的解析式,进而求出答案. 【解答】解:∵ ,∴ = =﹣2,

而﹣2<0,∴f(﹣2)=3﹣2= . ∴ 故选 B. 6.若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan A.0 B. C.1 D. = .

的值为(



【考点】指数函数的图象与性质. 【分析】先将点代入到解析式中,解出 a 的值,再根据特殊三角函数值进行解答. 【解答】解:将(a,9)代入到 y=3x 中,得 3a=9, 解得 a=2. ∴ 故选 D. 7.设 a=( )0.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】a,b 的比较可由幂函数 y=x0.5 来判断,易知两数都小于 1,c 的判断可由对数函数 y=log0.3x 在(0,+∞)上为减函数,得到 c 大于 1,从而得到三个数的大小. 【解答】解:∵幂函数 y=x0.5 来判断,在(0,+∞)上为增函数, ∴1> >0.30.5>0 = .



∴0<b<a<1 又∵对数函数 y=log0.3x 在(0,+∞)上为减函数 ∴log0.30.2>log0.30.3>1 ∴c>a>b
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故选 C.

8.要得到函数 y=sin2x 的图象,只要将函数 y=sin(2x﹣ A.向左平移 C.向左平移 单位 B.向右平移 单位 D.向右平移 单位 单位

)的图象(



【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】根据函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律得出结论. 【解答】 解: 将函数 y=sin (2x﹣ ﹣ ]=sin2x 的图象, ) 的图象向左平移 个单位, 可得函数 y=sin[2 (x+ )

故选 C. 9.已知函数 y=f(x+3)是偶函数,则函数 y=f(x)图象的对称轴为直线( A.x=﹣3 B.x=0 C.x=3 D.x=6 )

【考点】函数的图象;函数奇偶性的性质. 【分析】根据函数图象平移法则,确定函数 y=f(x)图象与函数 y=f(x+3)的图象的关系, 进而结合偶函数的性质可得答案. 【解答】解:函数 y=f(x+3)是偶函数,其图象关于 y 轴,即直线 x=0 对称, 函数 y=f(x)图象由函数 y=f(x+3)的图象向右平移 3 个单位得到, 故函数 y=f(x)图象关于直线 x=3 对称, 故选:C. 10. B, C, △ABC 的三个内角分别记为 A, 若 tanAtanB=tanA+tanB+1, 则 cosC 的值是 ( A.﹣ B. C. D.﹣ )

【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】利用两角和与差的正切函数公式表示出 tan(A+B) ,将已知等式变形后代入并利用 诱导公式求出 tanC 的值,由 C 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度 数. 【解答】解:∵tanAtanB=tanA+tanB+1, ∴tanA+tanB=﹣1+tanAtanB, ∵tan(A+B)= ∴tanC=1, ∵C 为三角形的内角 ∴C= ∴cosC= 故选:B.
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=﹣1=tan(π﹣C)=tanC,

, ,

11.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=

,且 f(x)在[﹣3,﹣2]上是减函数,

若 α,β 是锐角三角形的两个内角,则( ) A.f(sinα)>f(sinβ) B.f(cosα)>f(cosβ) C.f(sinα)>f(cosβ) (sinα)<f(cosβ) 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】由条件 f(x+1)=

D .f

得到 f(x)是周期为 2 的周期函数,由 f(x)是定义在 R

上的偶函数,在[﹣3,﹣2]上是减函数,得到 f(x)在[2,3]上是增函数,在[0,1]上是 增函数,再由 α,β 是锐角三角形的两个内角,得到 α>90°﹣β,且 sinα、cosβ 都在区间[0, 1]上,从而得到 f(sinα)>f(cosβ) . 【解答】解:∵f(x+1)= ,∴f(x+2)=f(x) ,f(x)是周期为 2 的周期函数.

∵y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,∴f(﹣x)=f(x) ,∵f(x)在[﹣3,﹣2]上是减函数, ∴在[2,3]上是增函数,∴在[0,1]上是增函数,∵α,β 是锐角三角形的两个内角. ∴α+β>90°,α>90°﹣β,两边同取正弦得:sinα>sin(90°﹣β)=cosβ, 且 sinα、cosβ 都在区间[0,1]上, ∴f(sinα)>f(cosβ) , C 故选: . 12.已知 x1,x2 是函数 f(x)=e﹣x﹣|lnx|的两个不同零点,则 x1x2 的取值范围是( A. (0, ) B. ( ,1] C. (1,e) D. ( ,1) 【考点】函数零点的判定定理. x2 的关系, 【分析】 作出 y=e﹣x 和 y=|lnx|的函数图象, 根据函数图象及函数的性质判断 x1, 利用不等式的性质或函数性质得出答案. 【解答】解:令 f(x)=0 得 e﹣x=|lnx|,作出 y=e﹣x 和 y=|lnx|的函数图象如图所示: )

由图象可知

,1<x2<e,∴x1x2> ,

又|lnx1|>|lnx2|,即﹣lnx1>lnx2,∴lnx1+lnx2<0, ∴lnx1x2<0,∴x1x2<1.
第 7 页(共 15 页)

故选 D. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.设 A={(x,y)|y=2x+3},B={(x,y)|y=x+1},则 A∩B= . 【考点】交集及其运算. 【分析】联立 A 与 B 中两方程组成方程组,求出方程组的解即可得到两集合的交集. 【解答】解:联立得: ,

解得:



则 A∩B={(﹣2,﹣1)}, 故答案为:{(﹣2,﹣1)}

14.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ| y=f(x)对应的解析式为 .

)的部分图象如图所示,则函数

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象可求得 A=1,T=π,从而可得 ω,再由 f( (2× +φ)=1,|φ| 可求得 φ,从而可得答案. = ﹣ = , )=sin

【解答】解:∵ T= ? ∴ω=2; 又 A=1,f( ∴ +φ=kπ+ )=sin(2× ,k∈Z.

+φ)=1,

∴φ=kπ+ ∴φ= ,

(k∈Z) ,又|φ|



∴f(x)=sin(2x+

) . ) .

故答案为:f(x)=sin(2x+

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15.函数 y=



的定义域是

(用区间表示)

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】由函数 y 的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可. 【解答】解:∵函数 y= ﹣ ,









解得



即 0<x<



<x≤3; )∪( . ,3].

∴f(x)的定义域是(0, 故答案为:

16.若 f(sin2x)=5sinx﹣5cosx﹣6(0<x<π) ,则 f(﹣ 【考点】三角函数的化简求值;函数的值. 【分析】令 sin2x= 则答案可求. 【解答】解:令 sin2x= ∵0<x<π, ∴ ∴sinx﹣cosx= ∴f(﹣ )=f(sin2x)=5(sinx﹣cosx)﹣6=5× ,则 sinx﹣cosx>0, ,得 , ,得

)=



,进一步得到 x 的范围,求得 sinx﹣cosx,

= .



故答案为:1. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知 tanα=3,计算: (Ⅰ) ;
第 9 页(共 15 页)

(Ⅱ)sinα?cosα. 【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】 (Ⅰ)分子、分母同除以 cosα,利用同角三角函数基本关系式即可计算得解. (Ⅱ)将分母看成 1,即两弦值的平方和,由已知,利用同角三角函数基本关系式即可计算 得解. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (Ⅰ)∵tanα=3, ∴ (Ⅱ)∵tanα=3, ∴sinα?cosα= = = = .… = = = .…

18.已知函数 f(x)=



(Ⅰ)求函数 f(x)的定义域和值域; (Ⅱ)判断函数 f(x)的奇偶性,并证明. 【考点】函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法;函数的值域. 【分析】 (Ⅰ)由 1﹣3x≠0 得 x≠0,求得函数 f(x)的定义域,由 3x= >0,求得

f(x)的范围,可得 f(x)的值域. (Ⅱ)因为函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足 f(﹣x)=﹣f(x) ,可得 f(x)为 奇函数. 【解答】解: (Ⅰ)由 1﹣3x≠0 得 x≠0, 故函数 f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) . 由 f(x)= ,可得 3x= >0,

求得 f(x)>1,或 f(x)<﹣1, f(x)的值域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) . (Ⅱ)f(x)为奇函数,理由如下: 因为函数 f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) , 且 所以,f(x)为奇函数. 19.已知函数 f(x)= (Ⅰ)若 0<α< cosx(sinx+cosx) . ,求 f(α)的值; ,

,且 sinα=

(Ⅱ)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】 (Ⅰ)根据同角的三角函数关系,求出 sinα、cosα 的值,再计算 f(α)的值;
第 10 页(共 15 页)

(Ⅱ)化函数 f(x)为正弦型函数,即可求出 f(x)的最小正周期和单调减区间. 【解答】解: (Ⅰ)∵0<α< ∴cosα= ∴f(α)= = = × , cosα(sinα+cosα) ×( + ) ,且 sinα= ,

;… (Ⅱ)函数 f(x)= cosx(sinx+cosx) = (cosxsinx+cos2x) = sin2x+ cos2x+ )+ ,…

=sin(2x+

∴f(x)的最小正周期为 π; 令﹣ 解得﹣ +2kπ≤2x+ +kπ≤x≤ ≤ +2kπ,k∈Z, +kπ,k∈Z, +kπ, +kπ],k∈Z.…

∴函数 f(x)的单调减区间为[﹣

20.设函数 f(x)=

(Ⅰ)当

时,求函数 f(x)的值域;

(Ⅱ)若函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的减函数,求实数 a 的取值范围. 【考点】二次函数的性质;函数单调性的性质;函数的值. ,当 x<1 时,f(x)=x2﹣3x 是减函数,

【分析】 (Ⅰ)a= 时,f(x)=

可求此时函数 f(x)的值域;同理可求得当 x≥1 时,减函数 f(x)= (Ⅱ)函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的减函数,三个条件需同时成立,① <a<1,③12﹣(4a+1)?1﹣8a+4≥0,从而可解得实数 a 的取值范围.

的值域; ≥1,②0

【解答】解: (Ⅰ)a= 时,f(x)=



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当 x<1 时,f(x)=x2﹣3x 是减函数,所以 f(x)>f(1)=﹣2,即 x<1 时,f(x)的值 域是(﹣2,+∞) . 当 x≥1 时,f(x)= 是减函数,所以 f(x)≤f(1)=0,即 x≥1 时,f(x)的值域

是(﹣∞,0]. 于是函数 f(x)的值域是(﹣∞,0]∪(﹣2,+∞)=R. (Ⅱ) 若函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的减函数,则下列①②③三个条件同时成立: ①当 x<1,f(x)=x2﹣(4a+1)x﹣8a+4 是减函数,于是 ②x≥1 时,f(x)= 是减函数,则 0<a<1. ≥1,则 a≥ .

③12﹣(4a+1)?1﹣8a+4≥0,则 a≤ . 于是实数 a 的取值范围是[ , ].

21.如图所示,已知点 A(1,0) ,D(﹣1,0) ,点 B,C 在单位圆 O 上,且∠BOC= (Ⅰ)若点 B( , ) ,求 cos∠AOC 的值; (Ⅱ)设∠AOB=x(0<x< 出 y 的最大值.



) ,四边形 ABCD 的周长为 y,将 y 表示成 x 的函数,并求

【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值. 【分析】 (Ⅰ)由三角函数的定义,写出 cos∠AOB 与 sin∠AOB 的值,再计算 cos∠AOC 的值; (Ⅱ)根据等腰三角形的知识,求出|AB|、|CD|的值,再写出函数 y 的解析式,求出 y 的 最大值即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵B( , ) , ∴cos∠AOB= ,sin∠AOB= ; ∴cos∠AOC=cos(∠AOB+∠BOC) =cos∠AOBcos∠BOC﹣sin∠AOBsin∠BOC = × ﹣ × = ;…
第 12 页(共 15 页)

(Ⅱ) 等腰三角形 AOB 中,求得|AB|=2|OB|sin =2sin , 等腰三角形 COD 中,求得 |CD|=2|OC|sin =2sin( ﹣ ) ;…

∴y=|AB|+|BC|+|CD|+|DA| =3+2sin +2sin( =3+2sin( + 由 0<x< 即 x= ﹣ )

) ;… 得,当 + = ,

时,y 取得最大值 5.…

22.已知函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 x,y∈[﹣1,1],x+y ≠0 有(x+y)?[f(x)+f(y)]>0. (1)判断 f(x)的单调性,并加以证明; (2)解不等式 ;

(3)若 f(x)≤m2﹣2am+1 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立.求实数 m 的取值 范围. 【考点】函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合. 【分析】 (1)设 x1,x2∈[﹣1,1],且 x1<x2,则 x1﹣x2<0,利用 x,y∈[﹣1,1],x+y ≠0 有(x+y)?[f(x)+f(y)]>0,可得 f(x1)+f(﹣x2)<0,根据函数 f(x)是定义 在[﹣1,1]上的奇函数,即可得函数 f(x)在[﹣1,1]上单调增; (2)由(1)知, ,解之即可;

(3)先确定函数 f(x)在[﹣1,1]上的最大值为 f(1)=1,将 f(x)≤m2﹣2am+1 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立转化为:0≤m2﹣2am 对所有 a∈[﹣1,1]恒成立,从而 可求实数 m 的取值范围. 【解答】解: (1)函数 f(x)在[﹣1,1]上单调增,证明如下 由题意,设 x1,x2∈[﹣1,1],且 x1<x2 则 x1﹣x2<0 ∵x,y∈[﹣1,1],x+y≠0 有(x+y)?[f(x)+f(y)]>0. 令 x=x1,y=﹣x2, ∴f(x1)+f(﹣x2)<0 ∵函数 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数 ∴f(x1)﹣f(x2)<0 ∴函数 f(x)在[﹣1,1]上单调增; (2)由(1)知, ,解得:

(3)由于函数 f(x)在[﹣1,1]上单调增,
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∴函数 f(x)在[﹣1,1]上的最大值为 f(1)=1 ∴f(x)≤m2﹣2am+1 对所有 x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立可转化为:0≤m2﹣2am 对 所有 a∈[﹣1,1]恒成立 ∴ ,

解得 m≥2 或 m≤﹣2 或 m=0

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2016 年 10 月 14 日

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