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高中数学奥林匹克系列训练题(4)


高中数学奥林匹克系列训练题(4)
(2001/3/14)

命题人:王卫华
班级 姓名 学号 得分

1.三角形 ABC 的边 BC 、 CA 、 AB 的长分别用 a 、 b 、 c 表示。三角形 ABC 满 足下列条件: (1) 存在 2 以上的自然数 p 、 q ,有 a ? p ? q , b ? pq ? p , c ? pq ? 1 ; (2) 存在自然数 n , a, b, c 中有一个等于 2 ; (3)
n

? A 、 ? B 、 ?C 中有一个等于 60? 。
(2000 年日本高考题)

试求 a, b, c 的值。

2. 已 知 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 对 于 任 何 x ? [?1,1] 都 有 f ( x) ? 1 , 设

g ( x ) ? acx 4 ? b( a ? c ) x 3 ? ( a 2 ? b 2 ? c 2 ) x 2 ? b( a ? c ) x ? ac , x ? [?1,1] ,
求函数 g ( x ) 的最大值。 (1997 年“希望杯”培训题) 3.设 x ?

1 1? 1? 1 1 1?? ? 1?1

其中共有 2001 条水平分数线。 试问 x ? x ? 1 是否成立?
2

4.一条直线 DE 平分 ?ABC 的周长,同时直线 DE 平分 ?ABC 的面积。 求证:直线 DE 经过 ?ABC 的内心 I 。 5.任给 a ? 1 , b ? 1 ,则有

a2 b2 ? ? 8。 (1992 年独联体数学奥林匹克) b ?1 a ?1
1

6.在锐角 ?ABC 中, A 、 B 、 C 分别为三角形的内角。 求证: cos(B ? C ) cos(C ? A) cos(A ? B) ? cos A cos B cosC 。 7. S 是 直 线 l1 : 7 x ? 5 y ? 8 ? 0 与 l2 : 3x ? 4 y ? 13 ? 0 的 交 点 , 过 点

P(3,7), Q(11,13) 的直线上有两点 A 、 B ,其中 P 在 A 、 Q 之间, B 在 P 、 Q 之间,
并且

PA PB 2 ? ? 。不求 S 的坐标,求直线 SA 和 SB 的方程。 AQ BQ 3
8.若干个正整数的和为 2001,试确定这些正整数之积的最大值。 9.一个圆的圆心在顶点共圆的四边形 ABCD 的 AB 边上,其它三边都与圆相切。

证明: AD ? BC ? AB

(1984 年 IMO)

10.在坐标平面内,横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点。已知 m 为正整数,
2 问:在曲线 y ? x ? 4 x ? 2m ? 3 和直线 y ? 2m x 所围成的平面区域内(包括边

界)所含有的整点有多少个?

2


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