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关于同底指数函数与对数函数的交点问题


关于同底指数函数与对数函数的交点问题
李海淼 《数理化学习(高中版)》2008 年 17 期 【摘要】 :正函数 y=ax 与 y=logax 图像的交点问题在一些题目中经常出现,由于教科书中并 没有提到,在日常教学中,老师往往作出草图去判断,但往往出现错误.现将该问题完整解答如 下: 【作者单位】 : 浙江省绍兴市稽山中学; 【关键词】 : 方程 交点 日常教学 完整解 指数函数 对数函数 曲线 教科书 解决问题 计 算器 【分类号】 :G634.6
x 函数 y ? a 与y ? loga x 图像的交点问题在一些题目中经常出现,由于教科书中并没有

提到,在日常教学中,老师往往作出草图去判断,但往往出现错误。现将该问题完整解答如 下:
x 一、 a ? 1 时方程 a ? loga x 的解 x x 先求如图 3 所示曲线 y ? a 与y ? loga x 相切时 a 的值。设曲线 y ? a 与y ? loga x 相切

于点 M( x 0 , x 0 ),由于曲线 y ? a 在点 M 处的切线斜率为 1,
x
x0 x ? ? ?a ? x 0 , ?a 0 ? x 0 , 即 ? x ? x0 ?(a )' | x ? x 0 ? 1 ? ?a ln a ? 1 所以 ?

?a x 0 ? x 0 , 1 1 ? ln a ? 则 a ? 1 ln a ? x0 ? 所以 ? ln a
e? 1 , 所以a ? e e , 此时x 0 ? e ln a 。
1

1



x 以上说明,当 a ? e e 时,两条曲线 y ? a 与y ? loga x相切于点M(e, e) 。

因此有以下结论:
1 e ①当 a ? e , 方程(*) 无解(见图 1 所示);

②当 1 ? a ?

1 ee

,方程(*)有且只有两解(见图 2 所示);

③当 a

1 ? ee

,方程(*)有且只有一解(见图 3 所示)。

用计算器可算得

1 ee

? 1.44467 。

x 二、 0 ? a ? 1时方程a ? loga x 的解 x 先求如图 5 所示曲线 y ? a 与y ? loga x 相切时 a 的值。 x 设曲线 y ? a 与y ? loga x 相切于点 P, 由对称性知, 点 P 在直线 y ? x 上, 设 P( x 0 , y 0 ) 。 x 由于曲线 y ? loga x(或y ? a ) 在点 P 处切线的斜为 ? 1 ,
x0 ? ?a ? x 0 , ? (log a x )' | x x ? ?1 0 ? 所以 ?

?a x 0 ? x 0 , ? ? 1 ? ?1 ? 即 ? x 0 ln a
? ?1 ?1 ? 1 ?1 , , ?a ln a ? ? ? ? ln a 即? e ln a ? ? ?x ? ? 1 ?x ? 1 0 ? 0 e ? ln a ? 所以 ?

1 1 a ? ( )e x0 ? e 。此时, e。 则

1 1 1 a ? ( )e , x y ? a 与 y ? log x a e 时,两条曲线 以上说明,当 相切于点 P( e e )。
因此有以下结论:

1 0 ? a ? ( )e e 时,方程(*)有且只有三解(见图 4 所示); ①

1 a ? ( )e e 时,方程(*)有且只有一解(如图 5 所示); ②当

1 ( )e ? a ? 1 ③当 e 时,方程(*)有且只有一解(如图 6 所示)。

1 ( ) e ? 0.06599 用计算器可算出 e 。由于此数非常小,因此,人们在平时较难观察到这种
较小数值所示的函数图像,这也是人们易产生错误认识的—个重要原因。 综上所述,得:

1 a ? (0, ( ) e ) x e 时,方程 a ? loga x 有且只有三解; 当

1 a ? ( ) e 时, 方程a x ? loga x e 当 有且只有一解; 1 a ? (( ) e ,1) x e 当 时,方程 a ? loga x 有且只有一解;

1 a ? (1, e e
1 ? ee

) 时,方程 a x ? loga x 有且只有两解;

当a

x 时,方程 a ? loga x 有且只有一解;

1
x e 当 a ? (e ,?? ) 时,方程 a ? loga x 无解。

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