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沪科版八年级数学上册总复习课件


数学
八年级上册 沪科版(HK)
luzishu

y
3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3

x

-1
-2 -3

在平面内有公共原点而且互相垂直的两条 数轴,构成了平面直角坐标系.

y

A点的坐标 记作A( 2,1 )
-3 -2

2 1 -1 O -1 -2 1

A
2 3

x

规定:横坐标在前, 纵坐标在后 B( 3,-2 )?

B

-3

由坐标找点的方法:先找到表示横坐标与纵坐标的点,然后过

这两点分别作x轴与y轴的垂线,垂线的交点就是该坐标对应的点。

三:各象限点坐标的符号
y
3

第二象限
-4 -3 -2 -1

2 1 O -1 -2

第一象限
1 2 3

x

第三象限

第四象限

-3

若点P(x,y)在第一象限,则 x> 0,y> 0 若点P(x,y)在第二象限,则 x< 0,y> 0 若点P(x,y)在第三象限,则 x< 0,y< 0 若点P(x,y)在第四象限,则 x > 0,y< 0

三:各象限点坐标的符号
1.点P的坐标是(2,-3),则点P在第 四 象限. 2.若点P(x,y)的坐标满足xy﹥0,则点P在第 一或三 象限;

3. 若点P(x,y)的坐标满足 xy﹤0,且在x轴上方, 则点P在第 二 象限.
四 象限. 4.若点A的坐标为(a2+1, -2–b2),则点A在第____

注:判断点的位置关键抓住象限内点的
坐标的符号特征.

四:坐标轴上点的坐标符号
y
3 A(3,0)在第几象限?

第二象限 2 第一象限
1
-4 -3 -2 -1 -1 O 1 2 3

x

第三象限 -2 第四象限
-3

注:坐标轴上的点不属于任何象限。

四:坐标轴上点的坐标符号
1.点P(m+2,m-1)在x轴上,则点P的坐标是 ( 3, 0 ) .

2.点P(m+2,m-1)在y轴上,则点P的坐标是 ( 0, -3 ) .
3. 点P(x,y)满足 xy=0, 则点P在 x 轴上 或 y 轴上 .
x ? 0,则点p(x,y)位于 y轴(除(0,0))上 4.若 __ y

注意: 1. x轴上的点的纵坐标为0,表示为(x,0),
2. y轴上的点的横坐标为0, 表示为(0,y)。 原点(0,0)既在x轴上,又在y轴上。

1. 已知点A(m,-2),点B(3,m-1),且直线 AB∥x轴,则m的值为 -1 。 2. 已知点A(m,-2),点B(3,m-1),且直线 AB∥y轴,则m的值为 3 。

(1). 若AB∥ x 轴, 则A( x , n ), B( x , n )
1 2

(2). 若AB∥ y轴, 则A( m, y ), B( m, y )
1 2

已知点A(10,5),B(50,5),则直线AB的位置特点是(A ) A.与x轴平行 B.与y轴平行 C.与x轴相交,但不垂直 D.与y轴相交,但不垂直

六:象限角平分线上的点
1.已知点A(2,y ),点B(x ,5 ),点A、B在一、三 5 2; 象限的角平分线上, 则x =____,y =____ 2.已知点A(2a+1,2+a)在第二象限的平分线上,试 求A的坐标。 3.已知点M(a+1,3a-5)在两坐标轴夹角的平分线上, 试求M的坐标。 (1). 若点P在第一、三象限角的平分线上,则P( m, m ). (2). 若点P在第二、四象限角的平分线上则P( m, -m ).

1.若点A的坐标是(- 3, 5),则它到x轴的距离 是 5 ,到y轴的距离是 3 .
2.若点B在x轴上方,y轴右侧,并且到 x 轴、y 轴 ( 4, 2) 距离分别是2,4个单位长度,则点B的坐标是 . 3.点P到x轴、y轴的距离分别是2,1,则点P的坐 标可能为 (1,2)、(1,-2)、(-1,2)、(-1,-2) .

1. 点( x, y )到 x 轴的距离是 2. 点( x, y )到 y 轴的距离是

y

x

1.已知A、B关于x轴对称,A点的坐标为(3,2),则 (3,-2) B的坐标为 。 2.若点A(m,-2),B(1,n)关于y轴对称,m= -1 ,n= -2 . 3.已知点A(3a-1,1+a)在第一象限的平分线上,试 求A关于原点的对称点的坐标。

(1)点(a, b )关于X轴的对称点是( a, -b )

(2)点(a, b )关于Y 轴的对称点是( - a, b)

(3)点(a, b )关于原点的对称点是(-a, -b)

平面直角坐标系的应用
1. 2. 3. 确定点的位置 求平面图形的面积 用坐标表示平移

1、如图是某市市区几个旅游景点的平面示意 图,(1)选取某一景点为坐标原点,建立平 面直角坐标系;(2)在所建立的平面直角坐 标系中,写出其余各景点的坐标。
约定: 选择水平线为x轴,

动物园 湖心岛 光岳楼

向右为正方向;
选择竖直线为y轴,
山陕会馆

金凤广场

向上为正方向.

2、海上救护中心收到一艘遇难船只的求救信号后发现 该船位于点A(5,-4),同时发现在点B(5,2)和点 C(-1,-4)处各有一艘救护船,如果救护船行使的速 度相同,问救护中心应派哪条船前去救护可以在最短时 间内靠近遇难船只? y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1O 1 -2 -3 2 3 4

B(5,2)

x

C(-1,-4)

A(5,-4)

例3 已知点A(6,2),B(2,-4)。
求△AOB的面积(O为坐标原点)
y
4 D 2 O -4 -2 -2

A

2

4

6

x

C -4

B

y

A (-2 , 8 ) (-11 , 6 ) B

C (-14 , 0 )

E

D

0 D

X

.4.如图,四边形ABCD各个顶点的坐标分别为 (– 2,8),(– 11,6),(– 14,0),(0,0)。 (1)确定这个四边形的面积,你是怎么做的? (2)如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变,横坐标 增加2,所得的四边形面积又是多少?

5、在平面直角坐标系中,点M(1,2)可由点N(1,0)怎样 平移得到,写出简要过程。

6、三角形ABC中BC边上的中点为M,在把三角 形ABC向左平移2个单位,再向上平移3个单位后, 得到三角形A1B1C1的B1C1边上中点M1此时的坐标 为(-1,0),则M点坐标为 。

知识要点: 1.函数,变量,常量; 2.函数的三种表示法; 3.正比例函数:定义,图象,性质; 4.一次函数:定义,图象,性质; 5.一次函数的应用. 6.一次函数与一元一次方程,一元一次不 等式,二元一次方程组的关系.

写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量 (1)圆的周长C 与半径 r 的关系式;

C = 2πr 2π是常量; C 与 r是变量
(2)火车以60千米/时的速度行驶,它 驶过的路程

s (千米) 和所用时间 t (时)的关系式;

S = 60t

60是常量; S与t是变量.

(3) n 边形的内角和S 与边数 n 的关系式.

S = (n-2)· 1800
1800与2是常量;S与n是变量.

图象法

列表法

s=60t;S= πR 2

解析法

简明扼要、规范准确,便于理解函数的性 明显地显示自变量的值与函数值对应,但 能形象直观显示数据的变化规律,但所画图 质,但并非适应于所有的函数 只列一部分,不能反映函数变化的全貌 象是近似、局部的,不够准确

1.下列图形中的曲线不表示是的函数的 是( C )
v y v v

0

x O A

x

0

x

0

x

B

C

D

函数的定义要点: (1)在一个变化过程中有两个变量x,y (2)X取一个确定的值,y有唯一确定的值和它对应

2.均匀地向一个如图所示的容器中 注水,最后把容器注满,在注水过程 水面高度随时间 中水面高度随时间变化的函数图象大 致是( A )
h h h h

O A.

t

O B.

t

O C.

t

O D.

t

3.某蓄水池的横断面示意图如右图,分深 注满水 水区和浅水区,如果这个注满水的蓄水池 固定的流量把水全部放出 以固定的流量把水全部放出.下面的图象 能大致表示水的深度h和放水t时间之间的 关系的是( A )
h
h

h

h

h

O A .

t O B .

tO C .

t

O D .

t

1.已知y+1与x-2成正比例,当x=3时,y=-3, (1)求y与x的函数关系式; (2)画出这个函数图象; (3)求图象与坐标轴围成的三角形面积; (4)当-1≤x≤4时,求y的取值范围; 知识点: (1)正比例函数与一次函数的关系;

(2)一次函数图象的画法;
注意点: (1)函数表达形式要化简; (2)第(4)小题解法:

(3)一次函数图象与坐标轴交点坐标求法

①代数法

②图象法

1.已知一次函数y=(m-4)x+3-m,当 m为何值时, (1)Y随x值增大而减小; m<4 (2)直线过原点; m=3 (3)直线与直线y=-2x平行; m=2 (4)直线不经过第一象限; 3≤ m<4 (5)直线与x轴交于点(2,0) m=5 (6)直线与y轴交于点(0,-1) m=-4 (7)直线与直线y=2x-4交于点 (a,2) m=5.5 m

2.已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数 值随的增大而增大,则一次函数y=kx+k 的图象大致是( ) A
y O O x x O x O x y y y

A .

B.

C.

D.

? 图象辨析
1.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则 在直角坐标系内它的大致图象是( A )

(A)

(B)

(C)

(D)

? 2、一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的 图象可能是( A )
y y y y

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

3、一次函数y=kx-k的图象可能是( C ) A B

C

D

4、直线y1=ax+b与直线y2=bx+a在同一 坐标系内的大致图象是 ( D )

a>0 ,b>0 a>0 ,b>0
b<0, a>0 b>0, a<0

a>0 ,b>0
b<0, a<0

a>0 ,b>0

b>0, a>0

5. 如图,在同一坐标系中,关于x的一次函数 y=x+b与y=bx+1的图象只可能是(C )
(A) y
(B)

y

o

x

o

x

(C)

y

(D) x

y

o

o

x

6. 一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧 5厘米,燃烧时剩下的高度h(厘米)与燃烧时 间t(时)的函数关系的图象是( D )

A

B

C

D

老师给出一个一次函数,甲、乙、丙各 指出这个函数的一个性质: 甲:函数不经过第三象限 乙:函数经过第一象限 丙:当X<2时,Y>0

请根据以上信息构造一个函数

9
1、有下列函数:①



y ? x?4

,

y ? 6x ? 5 , ④ y ? ?4 x ? 3

② y ? 2x

,

。其中过原点的直

② ;函数y随x的增大而增大的是___________ ①、②、③ ; 线是_____ ④ ;图象在第一、二、 函数y随x的增大而减小的是______ 三象限的是_____ ③ 。 2、y=kx+b的图象不经过第一象限时, y=kx+b的图象不经过第二象限时, y=kx+b的图象不经过第三象限时, y=kx+b的图象不经过第四象限时,
<0 _,b____ ≤0 ; k___ ≤0 ; >0 ,b____ k_____ ≥0 ; <0 ,b____ k_____ >0 ,b____ k_____ ≥0 。

3、一次函数y=(m+7)x -(n—4)经过原点的条件 是__________ m≠-7,n=4 。

10
4、

1,0 ),与Y轴 (1)、直线y=-x+1与x轴的交点坐标为(_______
0,1 )。 的交点坐标为( 1 _______

2 (2)、如果一次函数y=kx-3k+6 的图象经过原点,那么k的值 k=2 。 为_________
(3)、已知y-1与x成正比例,且x=-2时,y=4,那么y与x之间 3 y ? ? x ?1 的函数关系式为_________________ 。 2 (4) 直线y=kx+b与y=2x—4 平行,且过点出(-3,2),y=kx+b与 (-4,0),__________ (0,8) x轴y轴的坐标分别是____ 。

8
上 平移_____ 5 个单位过点(2, 5、(1)把直线y= -2x向_____ (1 2)。 )直线y=kx+b经过两点(-1/2,1)(1,7)则解析式为 y=4x+3 。 y1 _____ (0, 5) (3)直线y=ax+5不论a为何值都过定点____ <1 时, (4)直线y1与y2交于点P(1,2),当x_____ >1 时,y1>y2 。 y1<y2,若x_____ (5)一直线过点(0,—3)且平等于y=-2x,则此直线是 ( C ) A、y=—2x+3 B、y=2x+3 C、y=—2x—3 D、y=2x+3 (6)若ab<0,bc>0,则直线ax+by+c=0不通过( B )象限。 A、1 B 、2 C、3 D、4
y2

6、如图,直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以 线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x正半 轴上一动点(OC>1),连结BC,以线段BC为边在第四 象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E. (1)△OBC与△ABD全等吗?判断并证明你的结论;
(2)随着点C位置的变 化,点E的位置是否会 发生变化? 若没有变化, 求出点E的坐标; 若有变化,请说明理由 .

y
E A O B C
x

D
第22题图

7、某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件,该机器运行 过程分为加油过程和加工过程:加工过程中,当油箱中油量为 10升时,机器自动停止加工进入加油过程,将油箱加满后继续 加工,如此往复.已知机器需运行185分钟才能将这批工件加 工完.下图是油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函 数图象.根据图象回答下列问题: (1)求在第一个加工过程中,油箱中油量y(升)与机器运行 时间x(分)之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围); (2)机器运行多少分钟时,第一个加工过程停止? (3)加工完这批工件,机器耗油多少升?

1. 某农户种植一种经济作物,总用水量y(米3) 与种植时间x(天)之间的函数关系式如图. (1)第20天的总用水量为多少米? (2)求y与x之间的函数关系式. (3)种植时间为多少天时,总用水量达到7000 米 3? 注意点: (1)从函数图象中获取信息 (2)根据信息求函数解析式
4000 y(米3)

1000
O 20 30 x (天)

3.三军受命,我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、 乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇,甲队先 出发,从部队基地到该小镇只有唯一通道,且路程为24km. 如图是他们行走的路程关于时间的函数图象,四位同学观 察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是( D ) A.1 B.2 C.3 D.4
24 12 0 1 2 3 4 4.5 5 6 时间(h)
4.5

路程(km)
乙 队 出 发 2.5 小 时后追上甲队 乙队到达小镇 用了 4 小时,平 均速度是6km/h

甲队比乙队早 出发2小时,但 他们同时到达

甲队到达小镇用了 6 小时,途中停顿了 1 小时

2.“5.12”汶川地震发生后,某天广安先后有两批自 愿者救援队分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往 重灾区平武救援,下图表示其行驶过程中路程随时间的 变化图象. (1)根据图象,请分别写出客车和出租车行驶过程中 路程与时间之间的函数关系式(不写出自变量的取值范 围); y(千米) (2)写出客车和出租车行 200 客车 驶的速度分别是多少? 出租车 150 (3)试求出出租车出 发后多长时间赶上客车? 100
50

O

1

2

3

4

5 x(小时)

1.如图,在边长为 2 的正方形ABCD的一边BC上, 有一点P从点B运动到点C,设BP=X,四边形APCD 的面积 为y。 (1)写出y与x之间的关系式,并画出它的图象。
(2)当x为何值时,四边形APCD的面积等于3/2。
D C

P

A

B

2.如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出 发,沿BC,CD,DA运动至点A停止.设点P 运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关 C D 于x的函数图象如图2所示, P BC=4 (1)求△ABC的面积; A B (2)求y关于x的函数解析式; 图 1
(2) y=2.5x (0<x≤4) y=10 (4<x≤9) y=-2.5x+32.5 (9< x < 13) AB=5
y

10

(3)当 △ABP的面积为5时,求x的值
X=2 X=11

O

4 图 2

9

13 x

1.用图象法解某二元一次方程组时,在同一直 角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如 图所示),则所解的二元一次方程组是 ( ) D
x? y?2 ? 0 ? A. ? ?3x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 2x ? y ?1 ? 0 B.? ?3x ? 2 y ? 1 ? 0
3 2 1 -1 O

y

? 2x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? 0 C. D. ? ? ?3x ? 2 y ? 5 ? 0 ?x? y?2 ?0

P(1,1)

-1

1 2 3

x

2.如图,已知函数y=x+b和y=ax+3的 图象交于P点, 则x+b>ax+3不等式的解 集为 X>1 .

y=ax+3

y P O 1

y=x+b x

1.如图,直线AB与y轴,x轴交点分别为A(0,2) B(4,0)
问题1:求直线AB的解析式 及△AOB的面积.
2 y A B

1 y ?? x?2 2

S?AOB ? 4

O

4

x

问题2: 当x满足什么条件时,y>0,y=0,y<0,0<y<2 当x<4时,y > 0, 当x=4时,y = 0, 当x >4时,y < 0, 当0< x<4时, 0< y <2,

问题3:
在x轴上是否存在一点P,使

S?PAB ? 3 ?

若存在,请求出P点坐标,若不存在,请说明理由.
y A

2

P(1,0)或(7,0)
P
B 4

O

1

P 7

x

问题4:若直线AB上有一点C,且点C的横坐标为0.4, 求C的坐标及△AOC的面积. C点的坐标(0.4,1.8)
2 1.6 O
y A D 2 y A

C
B x

B 4 x
O 0.4

4

问题5:若直线AB上有一点D,且点D的纵坐标为1.6, 求D的坐标及直线OD的函数解析式.

D点的坐标(0.8,1.6)

y=2x

问题6:求直线AB上是否存在一点E,使点E到x轴的 距离等于1.5,若存在求出点E的坐标,若不存在,请 说明理由.
2

y A

E

1.5

E点的坐标(1,1.5) 或(7,-1.5)
B 4

O

x

1.5 E

问题7:求直线AB上是否存在一点F,使点E到y轴的 距离等0.6,若存在求出点F的坐标,若不存在,请说明 理由.

F点的坐标(0.6,1.7)或(-0.6,2.3)

问题8: 在直线上是否存在一点G,使S ?BOG

若存在,请求出G点坐标,若不存在,请说明理由.
2 y A

1 ? S ?AOB 2

?

G(2,1)或(6,-1)
G
B 4 x

O

G

H(1,1.5)或(-1,2.5)

问题9:

在x轴上是否存在一点H,使

S ?AOH

若存在,请求出H点坐标,若不存在,请说明理由.

1 ? S ?AOB ? 4

问题10:

1 已知x点A(-4,0),B(2,0),若点C在一次函数 y ? ? x ? 2 2
的图象上,且△ABC是直角三角形,则满足条件点C
有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

C

C

x 2

CC
A O B 4 y

问题11: 如图,直线AB与y轴,x轴交点分别为A(0,2) B(4,0),以坐标轴上有一点C,使△ACB为等腰三角形
这样的点C有( )个 A.5个 B.6个 C.7个
y A B O 4 x

D.8个

2

1、某学校计划在总费用2300元的限额内, 租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动, 每辆汽车上至少要有1名教师,现有甲、乙两种 大客车,它们的载客量和租金如下表:
载客量(单位:人/辆) 租金(单位:元/辆) 甲种客车 乙种客车 ( 45 30 1 400


280

(1)共需租多少辆汽车? (2)给出最节省费用的租车方案?

要求:(1)要保证240名师生有车坐。 (2)要使每辆车至少要有1名教师。 解:(1)共需租6辆汽车. (2)设租用x辆甲种客车.租车费用为y元, 由题意得y=400x+280(6-x) 化简得y=120x+1680

?45x ? 30(6 ? x) ? 240 ? ? 120x ? 1680? 2300
∴当x=4时,Y的最小值=2160元

x ? 4 ? ? 31 解得? x? ? 6 ?

∵x是整数,∴x 取4,5 ∵k=120>O ∴y 随x的增大而增大

2.(9分)5月12日,我国四川省汶川县等地发生强烈地震,在抗 震救灾中得知,甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机,甲地 需要25台,乙地需要23台;A、B两省获知情况后慷慨相助,分 别捐赠该型号挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区.如果从 A省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.4万元,到乙地要耗资0.3万 元;从B省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.5万元,到乙地要耗 资0.2万元.设从A省调往甲地台挖掘机,A、B两省将捐赠的挖 掘机全部调往灾区共耗资y万元. ⑴请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围; 调入地 Y=-0.2x+19.7 甲(25台) 乙(23台) 调出地 ? x?0 ?26 ? x ? 0 ? ? 0.3( 26-x ) A(26台) 0.4 x ?25 ? x ? 0 ? B(22台) 0.5( 25-x) ? x ?3? 0 0.2( X-3 )

Y=0.4x+0.5(25-x)+0.3(26-x)+0.2(X-3) (3≤x≤25)

⑵若要使总耗资不超过15万元,有哪几种调运方案?

Y=-0.2x+19.7 (3≤x≤25) -0.2x+19.7 ≤15 X≥23.5 ∵x是整数.∴x取24,25

即,要使总耗资不超过15万元,有如下两种调运方案: 方案一:从A省往甲地调运24台,往乙地调运2台; 从B省往甲地调运1台,往乙地调运21台. 方案二:从A省往甲地调运25台,往乙地调运1台; 从B省往甲地调运0台,往乙地调运22台.

⑶怎样设计调运方案能使总耗资最少?最少耗资是多少万 元?

⑶由⑴知: Y=-0.2x+19.7 (3≤x≤25) ∵-0.2<0, ∴y随x的增大而减小. ∴当x=25时,∴y的最小值为14.7. 答:设计如下调运方案:从A省往甲地调运25台, 往乙地调运1台;从B省往甲地调运0台, 往乙地调运22台,能使总耗资最少, 最少耗资为14.7万元.

1.已知一次函数y=kx+b的图象经过(-1,-5),
且与正比例函数y= 1 X的图象相交于点 (2,a),求:
2

(1)a的值; (2)一次函数的解析式;
(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形

面积.

2.如图,A,B分别是x轴上位于原点左,右两侧的 点,点P(2,P)在第一象限,直线PA交y轴于点 C(0,2),直线PB交y轴于点D, S?AOP ? 6

(1)求 S?COP 的面积;
(2)求点A的坐标及P的值;

y D P(2,p) C A OB x

(3)若S?BOP ? S?DOP ,
求直线BD的函数解析式.

2 3.直线 y ? x ? 2 分别交x轴,y轴于 3
A,B两点,O为原点.
(1)求△AOB的面积; (2)过AOB的顶点,能不能画出直线把 △AOB分成面积相等的两部分?写出这 样的直线所对应的函数解析式

第13章 三角形中的边角 关系

1.三角形的概 念 不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成
的图形叫做三角形.

①三角形有三条边,三个内角,三个顶点. ②组成三角形的线段叫做三角形的边; ③相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称 角; ④相邻两边的公共端点是三角形的顶点, ④三角形ABC用符号表示为△ABC, ⑤三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写 字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.

1.三角形的概 念 不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成
的图形叫做三角形.

注意: 1:三条线段要不在同一直线上,且首尾顺 次相接; 2:三角形是一个封闭的图形; 3:△ABC是三角形ABC的符号标记,单独 的△没有意义

2.三角形的三边 关系
注意:

三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形的任意两边之差小于第三边.

1:三边关系的依据是:两点之间线段是短 2:判断三条线段能否构成三角形的方法:只要满足较小 的两条线段之和大于第三条线段,便可构成三角形; 若不满足,则不能构成三角形. 3:三角形第三边的取值范围是: 两边之差<第三边<两边之和

3.三角形的高、中线、 角平分线、
(1 )三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在 的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段.
A

表示法:① AD是△ABC的BC上的高线. ② AD⊥BC于D. ③ ∠ADB=∠ADC=90°.

B

注意:

D

C

① 三角形的高是线段;
② 锐角三角形三条高全在三角形的内部; 直角三角形有两条高是直角边,另一条在内部;

钝角三角形有两条高在三角形外,另一条在内部。
③ 三角形三条高所在直线交于一点.

3.三角形的高、中线、 角平分线、
(2)三角形中线:连结一个顶点和它对边中点的线段.
A

表示法: ① AD是△ABC的BC上的中线. ② BD=DC=?BC.

B

D

C

注意:

①三角形的中线是线段;
②三角形三条中线全在三角形的内部;

③三角形三条中线交于三角形内部一点;
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形.

3.三角形的高、中线、 角平分线、
(3)三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与它 的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段。
A
表示法: ① AD是△ABC的∠BAC的平分线. ② ∠1=∠2=? ∠BAC.
1 2

B

D

C

注意:

①三角形的角平分线是线段;
②三角形三条角平分线全在三角形的内部;

③三角形三条角平分线交于三角形内部一点;
④用量角器画三角形的角平分线.

4.三角形的分 类:
1:按边分类

?不等边三角形 ? 三角形 ? ?腰与底不相等的等腰三角形 ?等腰三角形 ? ?腰与底相等的等边三角形 ?
2:按角分类

?直角三角形 ? 三角形 ? ?锐角三角形 ?斜三角形 ? ?钝角三角形 ?

5. 对“定义” 的理解:
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义。 注意:明确界定某个对象有两种形式:

①揭示对象的特征性质;
例如:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线 作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. ② 明确对象的范围。 例如:整数和分数统称为有理数

考点一:数三角形的 个数
例1 图中三角形的个数是( B )

A.8

B.9

C.10

D.11

考点二:三角 形三边关系
例2 :已知四组线段的长分别如下,以各组线段为边, 能组成三角形的是( C ) A.1,2,3 B.2,5,8 C.3,4,5 D.4,5,10 例3:下列各组条件中,不能组成三角形的是( C ) A. a+1、a+2、a+3 (a>3) B. 3cm、8cm、10 cm C. 三条线段之比为1:2:3 D. 3a、5a、2a+1 (a>1)

考点二:三角 形三边关系
例3.△ABC的三边长分别为4、9、x, ⑴ 求x的取值范围; ⑵ 求△ABC周长的取值范围; ⑶ 当x为偶数时,求x; ⑷ 当△ABC的周长为偶数时,求x; ⑸ 若△ABC为等腰三角形,求x.

考点三:三角 形的三线 例4:下列说法错误的是( B )
A:三角形的三条中线都在三角形内。 B:直角三角形的高线只有一条。 C:三角形的三条角平分线都在三角形内。 D:钝角三角形内只有一条高线。 例5:在三条边都不相等的三角形中,同一条边上的中 线,高和这边所对角的角平分线,最短的是( B ) A:中线。 B:高线。 C:角平分线。 D:不能确定。

6.有关“命题” 的概念 用来判断它是真(正确)、假(错误)的语句或
式子叫做命题。

注意:
① 命题有真命题和假命题两种, ② 命题由题设和结论两部分组成的. 前一部分,也 称之为条件,后一部分称之为结论。 ③ 命题通常是用“如果· · · · · · , 那么· · · · · · .”的形式给出. ④ “如果p, 那么q.”中的题设与结论互换,得一个新 命题: “如果q, 那么p.” 这两个命题称为互逆命题. 其中一个命题叫原命题,另一个命题叫做逆命题. ⑤ 当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题. ⑥ 符合命题的题设,但不满足命题的结论的例子, 称之为反例. 要说明一个命题是假命题,只要举一个 反例即可.

7.有关“公理、定理、证 明、推论、演绎推理、辅助 (1)公理:从长期实践中总结出来的,不需要再作 线”等概念
证明的真命题。

(2)定理:从公理或其他真命题出发,用推理方 法证明为正确的,并被选作判断命题真假的依据 的真命题 (3)推论:由公理、定理直接得出的真命题。
(4)演绎推理:从已知条件出发,依据定义、公 理、定理,并按照逻辑规则,推导出结论的方法。

(5)证明:演绎推理的过程就是演绎证明,简称 “证明”。
(6)辅助线:为了证明的需要,在原来的图形上添 画的线段或直线。

(1)从折叠可以看出:∠A+∠B+∠C=180?

8.三角形的内角和定理:三角 形的内角和等于180°.
(2) 从剪拼可以看出:∠A+∠B+∠C=180?

(3) 由推理证明可知:∠A+∠B+∠C=180?

证明三角形内角和定理的方法
添加辅助线思路:1、构造平角
A D E 1 2 F E A

A E 1

2
D
B 图2 C

1

2 D

B
图1

C

B

C

图3

添加辅助线思路:2、构 造同旁内角
E A

E

A

F 4 C

1 2
B 图1 C

3

B

D
图2

9.三角形的外角
三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的延长线 组成的角,叫做三角形的外角.

三角形的外角与内角的关系:
1:三角形的一个外角与它相邻的内角互补;

2:三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和;
3:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 4:三角形的外角和为360°。

例3 △ABC中,∠B=

考点四:三 角形内角和定理: 1 1
3

∠A= 4 ∠C,求

△ABC的三个内角度数.

解:设∠B=x?,则∠A=3x? ,∠C=4x?,
从而:x+3x+4x=180? ,解得x=22.5? . 即:∠B=22.5? ,∠A=67.5? ,∠C=90? .

考点四:三 角形内角和定理: 例4 如图,点O是△ABC内一点,∠A=80°,
∠1=15°,∠2=40°,则∠BOC等于( A. 95° B. 120° C. 135° D. 650 )
A

分析与解: ∠O=180°-(∠OBC+∠OCB) =180°-(180°-(∠1+∠2+∠A) B =∠1+∠2+∠A=135°.

O 1 图1 2 C

巩固练习

1.在△ABC中,三边长a,b,c都是整数, 且满足a>b>c,a=8,那么满足条件的三角 形共有多少个?
a 8 8 8

b c

5 4

6 5,4,3

7 7,6,5,4,3

变式:1.已知小明家距离学校10千米,而 小蓉家距离小明家3千米.如果小蓉家到 学校的距离是d千米,则d满足 ?

变式2.用三条绳子打结成三角形(不考虑 结头长),已知其中两条长分别是3米和7 米,问这个等腰三角形的周长是多少?

2.如图,在△ABC中, ∠BAC=4∠ABC=4∠C,BD⊥AC于点 D,求∠ABD的度数。 答案∠ABD=30°

3.如图,草原上有四口油井,位于四边形 ABCD的四个顶点上,现在要建立一个维修 站H,试问H建在何处,才能使它到四口油井 的距离之和HA+HB+HC+HD最小,说明理由.

4.如图,AC∥BD,AE平 分∠BAC交BD于点E,若 ∠1=64°,则∠2= .

5.如图所示的正方形网格中,网格线的交点 称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是 图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形, 则点C的个数是( )

A.6

B.7

C.8

D .9

6.已知:如图,AB∥CD, 直线EF分别交AB、CD于点 E、F,∠BEF的平分线与 ∠DFE的平分线相交于点 P.求证:∠P=90°.

7.求证:三角形内角之和等于 180°.

8.如图1,求证: ∠BOC=∠A+∠B+∠C.

如图2,∠ABC=100°,∠DEF=130°, 求∠A+∠C+∠D+∠F的度数.

9.如图,已知,直线 AB∥CD,证明: ∠A+∠C=∠AEC.

10.已知如图所示,在△ABC 中,DE//BC,F是AB上的一 点,FE的延长线交BC的延长 线于点G,求证 ∠EGH>∠ADE.

A
3 4 1 2

例2、 如图,已知AD是 △ABD和△ACD的公共 边.

B

D

证明:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C 证法:延长AD

C

E

∵∠BDE=∠B+∠3 ∠ CDE=∠C+∠4 (三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两内角 之和) ∴ ∠ BDC =∠BDE +∠ CDE = ∠B+∠C+∠3+∠4. 又 ∵ ∠BAC = ∠3+∠4, ∴ ∠ BDC = ∠B+∠C+ ∠BAC

附加: 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等。 已知:如图,在△ABC中AB=AC,BD, CE是△ABC的角平分线。 求证:BD=CE.

第13章 全等三角形

知识梳理:
1:什么是全等三角形?一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形? 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。 2:全等三角形有哪些性质?
(1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。

(2):全等三角形的周长相等、面积相等。
(3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。 3:三角形全等的判定方法有哪些? SSS、SAS、ASA、AAS、HL(RT△)

方法指引
证明两个三角形全等的基本思路:
找第三边 (SSS) (1):已知两边---- 找夹角 (SAS) 找是否有直角 (HL) 找这边的另一个邻角(ASA) 已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角--已知一边和它的对角 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 找一角(AAS) 已知角是直角,找一边(HL) 找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS) 练习

(3):已知两角---

例1:已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,AD=BF, 求证:∠E=∠C 证明:∵ AD=FB ∴ AD+DB=BF+DB 即AB=FD 在△ABC和△FDE中 AC=FE BC=DE AB=FD ∴ △ABC≌△FDE ∴ ∠E=∠C (SSS) E A D B F C

练习1:如图,AB=AD,CB=CD.
求证: AC 平分∠BAD 证明:在△ABC和△ADC中
A

AC=AC AB=AD CB=CD ∴ △ABC≌△ADC (SSS) ∴ ∠BAC= ∠DAC

B

C

D

∴ AC平分∠BAD

例2:如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证:DC∥AB
D
O A B

C

证明:在△ABO和△CDO中 OA=OC

∠AOB= ∠COD
OB=OD ∴ △ABO≌△CDO (SAS) ∴ ∠A= ∠C ∴ DC∥AB

练习2:已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在 一条直线上求证:BE=AD E 证明: ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA B C D A

在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA

变式:以上条件不变,将

DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD

△ABC绕点C旋转一定角度 (大于零度而小于六十度), 以上的结论海成立吗?

例3:如图,OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC
AO平分∠BAC吗?为什么? 答: AO平分∠BAC
理由:∵ OB⊥AB,OC⊥AC ∴ ∠B=∠C=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中 A O B

OB=OC
AO=AO ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO (HL)

C

∴ ∠BAO=∠CAO
∴ AO平分∠BAC

练习3:△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE、DF 分别垂直AB、AC,垂足为E、F , 求证:EB=FC

A

证明: ∵ AD是角平分线
DE⊥AB DF⊥AC

E B D

F

∴ DE=DF ∠BED=∠CFD=90°
C 在RT△BED和RT△CFD中 DE=DF

BD=CD
∴ RT△BED≌RT△CFD (HL) ∴ EB=FC

例4:如图,D在AB上,E在AC上,AB=AC , ∠B=∠C,
A D B E C

试问AD=AE吗?为什么?

解: AD=AE
理由: 在△ACD和△ABE中
∠B=∠C AB=AC

∠A=∠A
∴ △ACD≌△ABE (ASA) ∴ AD=AE

练习4: 如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为 两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去, 就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以, 带那块去合适?为什么?

A B

AB

例5:已知 AC=DB, ∠1=∠2. 求证: ∠A=∠D
A 1 2 D 证明:在△ABC和△DCB中 C AC=DB

B

∠1=∠2
BC=CB ∴ △ABC≌△DCB (SAS)

∴ ∠A=∠D

练习5:如图,已知E在AB上,∠1=∠2, ∠3=∠4,那么AC等于AD吗?为什么?
C 3 A E 4 D 1 2 B

解:AC=AD

理由:在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4

EB=EB
∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD

例6:如图所示,AB与CD相交于点O, ∠A=∠B, ∠AOC=∠BOD OA=OB 添加条件 ∠C=∠D 所以 △AOC≌△BOD 理由是 AAS ASA
C O B

A

D

例7:如图所示,AB=AD,∠E=∠C
要想使△ABC≌△ADE可以添加的条 件是
∠EDA=∠B AAS A ∠DAE=∠BAC ∠BAD=∠EAC

依据是

E

B

D

C

例8:如图,已知AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,AE=CF 求证:△ABF≌△CDE

D
F E A B

证明:∵ DE⊥AC,BF⊥AC C ∴ ∠AFB=∠CED=90°

∵ AE=CF
∴ AE+EF=CF+EF 即 AF=CE

在RT△ABF和RT△CDE中
AF=CE AB=CD ∴ RT△ABF≌RT△CDE (HL)

例9:如图,已知AC∥EF,DE∥BA,若使△ABC≌△EDF,还需要补
充的条件可以是
或 DC=BF D C

AB=ED

或 AC=EF

或 BC=DF

A

E

F B

返回

练习
1:如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形?请任选一对给予证明。 E F C B

答:
D

△ABF≌△DEC △ABC≌△DEF △CBF≌△FEC

A

练2

练习
1:如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形?请任选一对给予证明。 E F C B

答:
D

△ABF≌△DEC

证明: ∵ AB∥DE
A ∴ ∠A=∠D 在△ABF和△DEC 中 AB=DE ∠A=∠D

AF=DC
∴ △ABF≌△DEC (SAS)

练习
1:如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形?请任选一对给予证明。 E F C B

答:
D

△ABC≌△DEF ∴ ∠A=∠D ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ △ABC≌△DEF (SAS)

证明: ∵ AB∥DE

A

练习
1:如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形?请任选一对给予证明。 E F C B

答:

△CBF≌△FEC ∵ △ABF≌△DEC ∴ BF=EC ∵ △ABC≌△DEF ∴ BC=EF 在△CBF和△FEC中 BF=EC BC=EF

证明:
A D

CF=FC
∴ △CBF≌△FEC (SSS)

练习
2:如图,已知,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选出两 个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确的命题。 (只写出一种情况)①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知: EG∥AF

求证: A

E B G D C F



练习
3:如图,AB∥A′B′,AC∥A′C′,且BB′=CC′你能 说明AC=A′C′的理由吗?
C C′ B B′ A′ A



4、如图,∠B=∠E,AB=EF, BD=EC,那么△ABC与 △FED全等吗?为什么? C
解:全等。∵BD=EC(已知)

F

B

D
A

E

∴BD-CD=EC-CD。即BC=ED
在△ABC与△FED中

? AB =EF (已知) ? ??B=?C(已知) ?BC=ED (已证) ?
∴△ABC≌△FED(SAS)

小明的设计方案:先在池塘旁取一个 5、如图线段 AB是一个池塘的长度, 能直接到达A和B处的点C,连结AC并延长 现在想测量这个池塘的长度,在 至D点,使AC=DC,连结BC并延长至E点, 水上测量不方便,你有什么好的 使BC=EC,连结CD,用米尺测出DE的长, 方法较方便地把池塘的长度测量 这个长度就等于A,B两点的距离。请你说 解:在△ACB和△DCE中, 出来吗?想想看。 明理由。

AC=DC

A

B

∠ACB=∠DCE

C
E D

BC=EC △ACB≌△DCE(SAS)
AB=DE
(全等三角形对应 边相等。)

6、如图,已知AB=AD, AC=AE,∠1=∠2, 求证:BC=DE
1 2

A

E B

C

D

如果△ABD≌△ACE ,∠1与∠2相等吗? 2 解∵ △ABD≌△ACE (已知) C ∴∠DAB = ∠EAC(全等 三角形的对应角相等) ∴∠DAB - ∠BAE = ∠EAC - ∠BAE 即∠1 = ∠2

A
1

D
B E

7.如图,PA=PB,PC是△PAB的 角分线,∠A=55°求:∠B的度数

解:∵PC是△ APB的角平分线
∴∠APC=∠BPC (三角形角平分线意义) 在 △APC和△BPC 中 PA=PB(已知) _ ? __________ ? ∠AP C= ∠BP C _ ? __________ ? __________ ) _ ? PC=PC(公共边 ∴△APC ≌ △BPC ( SAS

P

A

C
第12题

B

∴ ∠A=∠B( 全等三角形对应角相等 ) ∵ ∠A=55° ( 已 知 ) ∴ ∠B=∠A=55°(等量代换) )

8:如图,已知△ABC中,BE和CD分别为 ∠ABC和∠ABC的平分线,且BD = CE,∠1 = ∠2。说明BE = CD的理由。 A 解:∵∠DBC = 2∠1,∠ECB = 2∠2 (角平分线的定义) ∠1 = ∠2∴∠DBC = ∠ECB D E 在△DBC和△ECB中 BD = CE(已知) 1 2 B C ∠DBC = ∠ECB BC = CB(公共边)
∴ △DBC≌△ECB(SAS) ∴BE = CD(全等三角形的对应边相等)

知识应用:
1.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC 和△DEF全等的是(D ) A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B. ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DF C.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F

知识应用:
2.要说明△ABC和△DEF全等,已知条件为AB=DE, ∠A= ∠ D, 不需要的条件为( D ) A. ∠ B= ∠ E C. AC=DF B. ∠ C= ∠ F D. BC=EF

3.要说明△ABC和△DEF全等,已知∠A= ∠ D ,∠ B= ∠ E ,则不需 要的条件是( A) A. ∠ C= ∠ F C. AC=EF B. AB=DE D. BC=EF

知识应用:

4.两个三角形全等,那么下列说法错误的是 ( ) A.对应边上的三条高分别相等 B.对应边上的三条中线分别相等 C.两个三角形的面积相等 D.两个三角形的任何线段相等

D

拓展题
1.已知AB=AE,AC=AD,AC⊥AD,AB⊥AE; (1).观察图中有没有全等三角形? (2)怎样变换△ABC和△AED中的一个位置,可使它们重合? (3)观察△ABC和△AED中对应边有怎样的位置关系? (4)试证ED⊥BC
E A
2 1

C

B

D

拓展题
2.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.

求证:BC∥EF
F E D

A B C

拓展题
3.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA, CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由。
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法: 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段,然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 (割)

A

B

2、把一个三角形移到另一位置, 使两线段补成一条线段,再证明 它与长线段相等。(补)

总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题: (1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应 角”与 “对角”的不同含义; (2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上; (3):要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4):时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”

第15章
轴对称图形和等腰三角形

本章目录
15.1轴对称图形 15.2线段的垂直平分线 15.3等腰三角形 15.4角的平分线

15.1(轴对称图形)知识点回顾
? 1、轴对称图形: 把一个图形沿着一条直线 折叠,如果直线两旁的部分能够完全重 合,那么这个图形就叫做轴对称图形。 这条直线叫做对称轴。 ? 2、轴对称: 把一个图形沿一条直线折叠, 如果它能与另一个图形完全重合,那么 这两个图关于这条直线成轴对称。 ? 这条直线叫做对称轴。

知识回顾: 3、、轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
A

轴对称
A'

图形
B

A

区别

(1) 轴对称图形是指 (一个 ) (1)轴对称是指(两个)图形 具 有特殊形状的图形, 的位置关系,必须涉及 只对( 一个 ) 图形而言; ( 两个 )图形; 不一定 (2)对称轴( ) 只有一条 (2)只有( 一条)对称轴. 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称. 如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体,那 么它就是一个轴对称图形.

C

B

C

C'

B'

联系

4、轴对称的性质:
①: 如果两个图形关于某条直线对称,那

么对称轴是任何一对对称点所连线段的 垂直平分线。 ②: 如果两个图形的对应点连线被同条直 线垂直平分,那么这两个图形关于这条 直线对称。

1.下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能 指出它的对称轴吗?

2、国旗是一个国家的象征,观察下面的国旗,是轴对称 图形的是( C ) A.加拿大、韩国、乌拉圭 B.加拿大、瑞典、澳大利亚

C.加拿大、瑞典、瑞士

D.乌拉圭、瑞典、瑞士

加拿大

韩国

澳大利亚 乌拉圭

瑞典

瑞士

3、练练你的眼力

哪一面镜子里是他的像?

4、小明照镜子的时候,发现T恤上的英 文单词在镜子中呈现“ ”的样子, 请你判断这个英文单词是( A ) (A) (C) (B) (D)

5、△ABC与△DEF关于直线L成轴 对称,则∠C是多少度?
L

A
650
40?

D
65?

750

B

C

F

E

15.2(线段的中垂线)知识点回 顾
1、线段中垂线的性质定理: 线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
2、逆定理: 线段中垂线上的点与线段两端点的距离相等。

练习
如图:在△ABC中,DE是AC的垂直平 分线,AC=5厘米,△ABD的周长等于 13厘米,则△ABC的周长 是 18厘米 。
B D

A E

C

15.3(等腰三角形)知识点回顾
1、性质①: 等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) 推论: 等边三角形的三个角都相等,并且每个 角都等于600 。 2、性质②: 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高互相重合。(三线合一)

3、等腰三角形的判定: 判定定理: 如果一个三角形有两个角相等,那么这 两个角所对的边也相等。(等角对等边) 推论①: 三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论②: 有一个角是600的三角形是等边三角形。 推论③: 在直角三角形中,300的锐角所对的直角 边等于斜边的一半。

练习:
1、如图,在△ABC中,AB=AC时,

A

(1)∵AD⊥BC
∴∠ ____= BAD ∠_____;____=____ CAD BD CD (2) ∵AD是中线 ∴____ BAD ∠_____ AD ⊥____; BC ∠_____= CAD (3) ∵ AD是角平分线 ∵____ AD ⊥____;_____=____ BC BD CD

B

D

C

2、“有一个等腰三角形的两条边长 20cm 分别是4cm和8cm,则周长为

3、若等腰三角形的一个角为400, 则另外两个角的度数为 700,700 或 400,1000

4、已知,如图: AB=AC AD=DC=BC 0 36 则∠A=
A

D
B

C

5、已知,如图AB=AB=CD AD=BD 则∠BAC= 1080
A

B

D

C

15.4角平分线的性质与判定: 1、性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2、判定定理: 到角两边距离相等的点在角的平分线。

1、如图,在△ABC中,∠ABC的角平分线交 AC于P,一个同学马上就得到PA=PC,你觉 得对吗?

A E

P
B FC

2、如图:在△ABC中,∠C =900,AD 平分∠ BAC,DE⊥AB交AB于E, BC=30,BD:CD=3:2,则 DE= 12 。 c
D

A

E

B

课堂练习:
1、哪个在镜子中的像跟原来的一样?(直 线表示进镜子、垂直放置在纸条前)

口 木 E 目 人 晶
★ ★ ★ ★ ★

S

N 中 田
★ ★

2、等腰三角形的对称轴最多有 3 条,最少有 1 条,圆 的对称轴有 无数 条,它的对称轴是 直径所在的直线 。

3、以下是部分常用的交通标志图,仔细观察哪些是轴对称图 形?

(1) ( 2) (3) (4) (5) (6) 答:轴对称图形是: (1)(2)(3)(5)(6)。 4、如图,画出所示图形关于直线l的对称图形。 l l C A l A

B

l
(1)

B
(2)

5、如图,已知AD是BC的中垂线,: 你能根据现有条件,推得 ∠ABD=∠ACD吗?
A

B

1 3

2 4

C

D

6、如图,在△ABC中, AB=AC=16cm,AB的垂直平分线 交AC于D,如果BC=10cm,那么 26cm △BCD的周长是_______cm.
A

E

D B
C

7、如图,P、Q是△ABC边上的两点, BP=PQ=QC=AP=AQ, 求∠BAC的度数。 A

B

P

Q

C

8、 如图, ∠ABC、∠ACB的平分线相 交于F,过F作DE//BC交AB于D,交AC于E, 若AB=9cm, AC=8cm,则△ADE的周长是 多少? A

D
B

F

E
C

9、某开发区新建了两片住宅区:A区、B区(如 图)。现在要从煤气主管道的一个地方建立一 个接口,同时向这两个小区供气.请问,这个接 口应建在哪,才能使得所用管道最短?

.


.

B 小区

A小区

煤气主管 道 )

10、 如图:设L1,L2是平行且镜 面相对的两面镜子,把一个小球A 放在L1,L2之间,小球在镜L1中的 像为A1,A在镜L2中的像为A2,当L1, L2间的距离为18厘米。 (1)试求A1与A2间的距离; A1

L1

L2

B

A

C A2

(2)若小球在L1,L2间运动, A1 与A2 间的距离改变吗? 解:如图,∵ A 与 A1关于L1对称, A 与 A2关于L2对称 ∴ A1 B=AB, A2 C=AC ∴A1A2=2BC=36厘米 答:A1与A2间的距离为36厘米。

11、 已知如图:一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶,M、 N分别表示位于公路AB两侧的村庄, (1)当汽车行驶到什么位置时距村庄M最近?行驶到什么 M 位置时距村庄N最近?

A

P1
当汽车行驶到P2时,距村庄N最近。

P2 N

B

答:如图 ,当汽车行驶到P1时,距村庄M最近,

根据:直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,
垂线段最短。

11、 已知如图:一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶,M、 N分别表示位于公路AB两侧的村庄, (2)当汽车行驶到什么位置时,与村庄M、N的距离相等? M

A

N 答:如图 ,当汽车行驶到P3时,与村庄M、N的距离相等。

P3

B

根据:线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等。

例2 已知如图:一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶,M、 N分别表示位于公路AB两侧的村庄, (3)当汽车行驶到什么位置时,到村庄M、N的距离之和 M 最短?

A

N 答:如图 ,当汽车行驶到P4时,到村庄M、N的距离之和最短。

P4

B

根据:两点之间线段最短。

又问:若村庄M,N在公路AB的同侧,则又如何解决此题? M
N

A P5 B N1 答:若村庄M,N在公路AB的同侧时,当汽车行驶到P5时,到村庄

例2 已知如图:一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶,M、 N分别表示位于公路AB两侧的村庄, (4)是否存在一点P,使汽车行驶到该点时,汽车到村庄M、 N的距离之差最大?如果存在,请指出该点的位置;如果不存 在,请说明理由。 M N1 A N 答:如图 ,当汽车行驶到P 时,到村庄M、N的距离之差最大。 P B

我思,我进步1

1、下列图形中,不是轴对称图形的是( C ) A 角 B 线段 C 任两边都不相等的三 角形 D 等边三角形 2、下列图形中,只有一条对称轴的是( C )

A

B

C

D

3、点P(1,-2)关于y轴对称点的坐 (-1,-2) 标是________

4、如图四边形ABCD是轴对称图形,BD所在的直 线是它的对称轴,AB=1.6cm,CD=2.3cm,则四边 形ABCD的周长为( ) B
A D B C 4题 3.9cm A 4.6cm B D 7.8cm C B 5题 C 4cm A D

5、如图,∠B = ∠D
求证:AB=AD

BC=DC

6、等腰三角形的一个角为100°, 底角为_____ 7、等腰三角形的周长为16cm,腰比 底长2cm,则腰长为_______ 8、等腰三角形的一边长为3cm,另一边 长为8cm,则它的周长是 。
A

9、如下图△ABC中, AC=16cm,DE为AB的垂直平 D 分线, △BCE的周长为26cm, 求BC的长。
B

E
C

9、如图,在等腰直角三角形ABC中, ∠ACB=90°,点D为BC的中点,DE⊥AB, 垂足为点E,过点B作BF∥AC交DE的延长线 于点F,连接CF, (1)求证:AD ⊥CF (2)连接AF,试判断△ACF的形状,并 C 说明理由。
D F A E

B

F

10、已知,如图:△ABC中 AB=AC E为AC延长线上的 一点且CE=BD DE交BC于F 求证:DF=EF A (提示:过D作DG∥AE交BC于G 证△DFG≌△EFC即可)

D C
E

B

G F

祝同学们考出好成绩!

再 见


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